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記事No.5452に関するスレッドです
★ 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
こんにちは。今回も東進の問題についての質問です。
問題は画像の通りで、(２)について解説をお願いします。

与式＝lim(n→∞)1/n〜〜＝int_{0}^{1}〜dxという形にしなくてはいけないと思うんですけど、与式からどう変形すればよいのでしょうか？
No.5452 - 2010/08/28(Sat) 00:25:21
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
masakiさん、おはようございます。

(２)の極限の中身は、
（Σk^2）×（Σk^3）/Σ（k）×Σ（k^4）ですよね。
分子分母をそれぞれn^○で割ることを考えてみてください。
区分求積が使える形になると思います。
No.5454 - 2010/08/28(Sat) 06:33:10
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
おはようございます。
それぞれのn^○でくくった場合、
lim(n→∞){(n^2n^3)/(nn^4)}{(k/n)^2(k/n)^3}/{(k/n)(k/n)^4}
k/n=xとおいて区分求積の形にしようとすると
xが約分されて
＝lim(n→∞){1/n}・nのような形になってしまい、結果的に積分しても答えに行き着かないような気がするのですが、どうすれば良いのでしょうか？
No.5456 - 2010/08/28(Sat) 08:56:36
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
分子・分母から、共にn^5が共通にくくり出せると思います。

Σの記号を忘れていませんか？
lim(n→∞){(n^2n^3)/(nn^4)}{Σ(k/n)^2Σ(k/n)^3}/{Σ(k/n)Σ(k/n)^4}で
最初の部分に関して、(n^2n^3)/(nn^4)＝1ですから
（与式）＝lim(n→∞){Σ(k/n)^2Σ(k/n)^3}/{Σ(k/n)Σ(k/n)^4}になります。
それぞれのΣの前に1/nをかけてみるとどうでしょうか。
No.5457 - 2010/08/28(Sat) 09:26:25
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
まだわかりません…。もしかしたら基本がわかってないということも…。

lim(n→∞){(1/n)Σ(k/n)^2・(1/n)Σ(k/n)^3}/{(1/n)Σ(k/n)・(1/n)Σ(k/n)^4}
=int_{0}^{1}({x^2・x^3}/{x・x^4})dx
ということにはなりませんよね？
No.5458 - 2010/08/28(Sat) 11:07:58
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
簡単に基本を確認してみましょう。

区分求積法は、最も簡単な場合を例に出しますと、
lim(n→∞)1/nΣf（k/n）＝ ∫f(x)dx　…?@（左辺のΣは1≦k≦n、右辺の積分区間は0≦x≦1）として計算する方法です。

今のmasakiさんの解答を?@にあてはめてみますと、?@の右辺について、f(x)＝(x^2・x^3）/（x・x^4)としたものになっていますよね。
しかし、このf(x)に対して、x＝k/n とすると、?@の左辺の極限部分は与式と違う形になってしまうのが分かると思います。

ですから、
lim(n→∞){(1/n)Σ(k/n)^2・(1/n)Σ(k/n)^3}/{(1/n)Σ(k/n)・(1/n)Σ(k/n)^4}を計算する場合、４つのΣの部分に関してそれぞれ区分求積を行わなければなりません。
No.5459 - 2010/08/28(Sat) 11:42:50
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
なるほど。それぞれを区分求積法にあてはめるということだったんですね!
答えまでたどりつけました。迅速かつ丁寧な解説ありがとうございました。
No.5460 - 2010/08/28(Sat) 11:55:38