 | こんにちは。5回目の質問になります。神戸大学の問題です。
座標平面上の
円：x^2+y^2-6x-4y+10=0 ・・・・・・○1
直線：y=mx ・・・・・・・・・・・・○2
について、円○1と直線○2とが相異なる2点で交わるとき、それらの
交点を結ぶ線分の中点をPとする。点Pはどのような図形をえがくか。
私の解答は
○1、2を連立して、(m^2+1)x^2-2(2m+3)x+10=0 ・・・○3
○3の判別式から相異なる2解をもつとき、判別式＞0
これより [6-(√30)]/6＜m＜[6+(√30)]/6 ・・・・・○4
○3の2解をα、βとおくと解と係数より α+β=2(2m+3)/(m^2+1)
よってPはP((2m+3)/(m^2+1)、(2m+3)m/(m^2+1))=(X、Y)とおける
Y=mXとなり○4からm＞0だからX＞0 m=Y/XとしてPの(2m+3)/(m^2+1)
に代入 X=・・省略・・・・
よって、[x-(3/2)]^2+(y-1)^2=13/4 Pの軌跡は(3/2、1)を中心とする
半径(√13)/2の円周上となりました。
解答をみるとmの範囲は○1と○2が交わる条件だからPの軌跡は(3/2、1)を
中心とする半径(√13)/2の円周のうち○1の内部に含まれる部分
となっていました。軌跡の問題の場合xの変域とかを求める必要がよくある
ので私の場合範囲の部分を示していなかったのが誤りであったのは分かった
のですがなぜ"○1の内部に含まれる部分"というものがでてくるのかよく
わかりません。おそらく判別式のmの関係から出てくると思うのですが
X＞0、Y＞0だから円周のうちx＞0、y＞0の部分じゃないのか？などと困惑
しています。よろしくおねがいいたします。
図示の様子はペイントで作ってみました。数学の問題より疲れました。
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No.5481 - 2010/09/03(Fri) 13:36:57
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