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記事No.5550に関するスレッドです
★ 平面の方程式と球 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
こんにちは7回目の質問になります、新潟大学の問題です。

(x,y,z)を座標とする空間に点A(1,0,1)を中心とする
半径1の球Sと点B(3,0,3)がある。BからSに接線をひいた
ときの接点の全体は一定の平面上にあって、円になっている。

(1)この平面の方程式を求めよ。
(2)この円の半径を求めよ。

平面の方程式は近年の受験範囲外？かもしれませんが、平面上の通る点
とその平面の法線ベクトルにより表せることは理解しています。

接点をP(x,y,z)としてPはS上だから球の半径を考えて
(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1・・・・○1

→BPと→APは垂直だから内積を考えて
(x-3)(x-1)+y^2+(z-3)(z-1)=0・・・・○2

○1と○2からx,y,zの二乗の項を消去して 求める答えは　2x+2z-5=0
となるようですがこれは平面上の一部である接点P(x,y,z)だから
x,y,xの一次式で表せば平面の方程式となることを意味している
のでしょうか？イマイチ消去するという意味が理解しがたいです

また(2)は平面の円の中心をQとして三角形APQで三平方の定理から
半径を求めるのですがAから平面に降ろした垂線の足がQつまり
円の中心Qになるという理解で正しいのでしょうか？球はどこで
切っても円になるので正しいと思うのですが問題集の解答には
図でも表されていないので自分なりに考えたものです。

特に二乗の項を消去するところが分からなくて困っています。
よろしくお願いいたします。
No.5550 - 2010/09/15(Wed) 11:36:48
☆ Re: 平面の方程式と球 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
あっくわんさん、こんばんは。河童です。

まず、前半、あっくわんさんにとって肝心なところから参りましょう。

(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1・・・・○1
(x-3)(x-1)+y^2+(z-3)(z-1)=0・・・・○2

この「○1かつ○2（今後は(1) (2) と記します）」が点(x,y,z)が接点であるための必要十分条件であることはよろしいですね。
これは後の議論で出てきますので覚えておいてください。
さて、

(1) - (2) によって　2x+2z-5=0　……(3)　が得られたということは、つまり、

「(1) かつ (2)」ならば (3)

を意味します。
言い換えると、(1) と (2) をともに満たす x, y, z は (3) も満たす、ということです。
(1) と (2) をともに満たす x, y, z というのは先に述べたように接点に他ならないのですから、
結局、「接点は(3)を満たす」つまり「接点は曲面(3)上にある」ということになります。
ところが(3)というのは平面を表しますので、「接点は平面(3)上にある」つまり、求めるべき平面は(3)に他ならない、というわけですね。

以上が消去の意味なのですが、恐らくあっくわんさんは、「消去しっぱなし」であることに違和感を持たれているのだと思います。

最初に(1) -(2) によって (3) を導きましたね。
逆に、(1) - (3) をすると (2) が得られますから、「(1)かつ(2)」は「(1)かつ(3)」と同値です。これはお分かりでしょうか？
つまり、消去しっぱなしでなく、(3)と(1)を組んだものが元の連立方程式と同値だというのです。
これが分かれば最初に「覚えておいてください」と言ったことを思い出してください。
「(1)かつ(2)」が「(1)かつ(3)」と同値であるということは、

「(1)かつ(3)」が、点(x,y,z)が接点であるための必要十分条件であることを意味している

ということになりますよね。
つまり「(1)かつ(3)」というのは、接点の集合を球面(1)と平面(3)との交点の集合として表現し直した、ということになります。
お分かりになりましたでしょうか。
No.5552 - 2010/09/16(Thu) 02:04:17
☆ Re: 平面の方程式と球 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
河童先生、回答ありがとうございます。必要十分条件とか
でてきてあせりますが(3)の集合とは(1)かつ(2)の集合の
部分に他ならないという理解でよろしいのでしょうか？

(1)かつ(2)ならば(3)へと(3)ならば(1)かつ(2)である。
したがって(1)式と(2)式からだした(3)は必要十分条件
をみたしている式変形であると考えてよいことになると
解釈してみたのです。

よくみかける式変形で、必要条件→必要条件→で攻めて
逆に十分性を確認するといった作業がこの場合必要十分条件
であるから特に断りもなく進めているということなのでは？
とも考えました。

まだあやふやな部分も残っていますが、私の解釈に間違いが
あればアドバイスがあればありがたいです。

「消去しっぱなし」であるという違和感はまさに私の理解できていない
部分にズバリと刺さりました！解答をみると特にことわりもなく
(1)と私の場合は内積でとらえたのですが、(1)とBPの長さから
(1)-(2)は(3)を満たすから求める平面は　2x+2z-5=0　……(3)となって
ました。

問題(2)は図形的な意味でとらえるしかならないのでしょうか？
解答をみると点と平面の距離という考えで解いているみたいなのです。
こちらからの注文となりすみません。
No.5553 - 2010/09/16(Thu) 10:33:37