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記事No.5706に関するスレッドです
★ (No Subject) / こん ♂ [関東] [高校3年生]
こんばんは。一つ下の問題で質問させていただきました、こんと申します。よろしくお願いします。

テイラー展開についての質問です。

図の式が成立するとき

?@三次関数y=ax^3＋bx^2+cx^+dのグラフは点対称であることを示し、点対称の中心を求めよ。

?A四時間数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eのグラフがy軸に平行な対称軸を持つための条件、およびその方程式を求めよ。(やさしい理系数学　例題１８)

図の式を使って(文字区別のため、図の式の文字をαとしました)それぞれの式を立てるまでは分かったのですが、その後が全く分かりません；

解説を読むと、αの値を微分した式の中から選び、降べきの順にならべて解いていましたが、さっぱり分かりませんでした。

文字の値の決定などについて、テイラー定理について教えていただけないでしょうか？

漠然となってしまい、すみません；
よろしくお願いします。
No.5706 - 2010/10/22(Fri) 22:59:46
☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]
こんにちは、ゆうです。

まず、テイラーの定理に関しては高校数学の範囲を越えてしまうため、ここでの解説は控えさせていただきます。
ここでは、図の式が成り立つことを前提として解説したいと思います。どうかご理解下さい。
また、その問題集でどのような解法を用いているか分からないため、完全に私の解法になりますので、問題集とは違うかも知れません。

f(x)＝ax^3＋bx^2+cx+dに対して図の式(αではなくtとさせていただきます)を用いると、
f(x)＝a(x-t)^3＋(3at+b)(x-t)^2+(3at^2+2bt+c)(x-t)+f(t)となります。

いま、f(x)が点対称であることを示したいので、f(x)が奇関数の形になるようにtの値を定めます。
奇関数の形を目標にしているので、(x-t)^2の係数を0とするため、3at+b＝0つまりt＝-b/3aとします。
このとき、f(x)＝a(x+b/3a)^3＋(-b^2/3a+c)(x+b/3a)+f(-b/3a) となります。

これはf(x)＝ax^3＋(-b^2/3a+c)xをx軸方向に-b/3a、y軸方向にf(-b/3a)だけ平行移動したグラフです。
f(x)＝ax^3＋(-b^2/3a+c)xはf(-x)＝-f(x)が成り立ちますので奇関数です。
またf(x)＝Ax^3+Bxの形のグラフは原点に関して点対称であることが容易に確かめられます。

よって、もとのf(x)も点対称であることがわかりますね（点対称のグラフを平行移動させたグラフもまた点対称です）。
対称の中心となる点は、原点に対して前と同じ平行移動をすれば良いことは分かりますね。

いかがでしょうか。
さっぱり分からない、ということでしたが、図の式を用いた証明の仕方やtの値のとり方は理解していただけましたでしょうか。

?Aの四次関数のほうは「偶関数」に着目して、問題集の解説と見比べながら考えてみて下さい。
No.5710 - 2010/10/24(Sun) 17:06:27
☆ Re: / こん ♂ [関東] [高校3年生]
引用ミスで投稿してしまいました。すみませんでした。



返信遅れました；；

ご回答ありがとうございます。

奇関数にすることで点対称をいう条件をクリアーできるわけですね。平行移動を点対称の関連性があるのかとずっと考えていました；；

完璧理解できました。ありがとうございます
No.5720 - 2010/10/25(Mon) 22:22:22