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記事No.592に関するスレッドです
★ こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
サイクロイドx=θ-sinθ,y=1-cosθ(0≦θ≦2π)をCとするとき、
(1)C上の点(π/2-1,1)における接線Ｌの方程式をもとめよ。
(2)接線Lとy軸およびCで囲まれた部分の面積をもとめよ。

サイクロイドの形はわかるのですがサイクロイドは一つの式でまとめられないので、どうすれば良いのか分かりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.580 - 2008/07/12(Sat) 22:37:49
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [高校１年生]
亮さん，こんばんわ。

パラメータ表示された曲線の接線の求め方は分かりますでしょうか？
これは必ず数?Vの教科書に書いてあるはずなので，その辺をまずは調べて見てください。
すると，x=θ-sinθ, y=1-cosθのとき，dy/dxをθを用いて表せるはずです。
ちょっとやってみて頂けますか？
No.581 - 2008/07/13(Sun) 01:07:14
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
dy/dx=sinθ/(1-cosθ)で、接線Lがy=x-π/2+2ですか？？
No.591 - 2008/07/13(Sun) 22:58:49
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
亮さん，こんばんわ。

> dy/dx=sinθ/(1-cosθ)で、接線Lがy=x-π/2+2ですか？？

その通りです。では，(2)に移りましょう。図を参照してください。色のついた「あ」の部分の面積を求めればよいわけです。まず，
「あ+い=台形=(1/2)×(-π/2+2+1)×(π/2-1)=(1/2)(-π+3)(π/2-1)」
となることについてはOKかと思います。あとは，これから，斜線部分「い」の面積を引けばよいわけです。そこで，積分を使ってみえると，
「い=∫(0〜π/2-1)ydx=……」
となるわけですが，この……の部分は出来ますでしょうか？
ちょっとやって見てください。（※ヒントは置換積分です）
No.592 - 2008/07/14(Mon) 03:03:23
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
い=∫(0〜π/2-1)ydx=∫(0〜π/2)(1-cosθ)(1-cosθ)dθ
=∫(0〜π/2)(cos^2θ-2cosθ+1)dθ
=∫(0〜π/2){(cosθ2θ)/2-2cosθ+3/2}dθ
=[sin2θ/2-2sinθ+3θ/2](0〜π/2)
=-2+3π/4
ですか？？
No.606 - 2008/07/15(Tue) 00:01:43
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
亮さん，こんばんわ。ゴールはあと少しです。


> い=∫(0〜π/2-1)ydx=∫(0〜π/2)(1-cosθ)(1-cosθ)dθ

ここまでは，考え方があっていますが，

> =∫(0〜π/2)(cos^2θ-2cosθ+1)dθ
> =∫(0〜π/2){(cosθ2θ)/2-2cosθ+3/2}dθ

ここで計算間違いを起こしている模様です。

> =[sin2θ/2-2sinθ+3θ/2](0〜π/2)
> =-2+3π/4
> ですか？？

正しくは，添付の式のようになるかと思いますので，再度，自分の手で計算してみて下さい。
No.608 - 2008/07/15(Tue) 01:01:19
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
すいません、、計算ミスではなくタイプミスでした、、

・・・ということは、求めたい面積は

(-π^2+8π-12)/8-(-2+3π/4)=(-π^2+2π+4)/8

ですね？？
No.615 - 2008/07/15(Tue) 22:50:25
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
亮さん，こんばんわ。

> すいません、、計算ミスではなくタイプミスでした、、
>
> ・・・ということは、求めたい面積は
>
> (-π^2+8π-12)/8-(-2+3π/4)=(-π^2+2π+4)/8
>
> ですね？？

その通りです。よく出来ました。パラメータ表示された曲線に関しては，座標軸とで囲まれた部分の面積を求めるにしろ，座標軸を中心にして回転して出来た立体の体積を求めるにしろ，結局置換積分に持ち込むことが多数なので，類題をよく練習して確実に出来るようにして下さい。
No.620 - 2008/07/16(Wed) 01:03:48
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
わかりました！！
ウルトラマン先生ありがとうございました！！
No.624 - 2008/07/16(Wed) 05:13:52