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記事No.5961に関するスレッドです
★ よろしくお願いします / mm ♀ [関東] [高校2年生]
円に内接する四角形ABCDにおいてAB=１、AD=３、∠BAD=120°。対角線AC、BDの交点をE
とする。
(１)対角線ACが、∠BADの２等分線であるときBEの長さを求めよ
(２)四角形ABCDの面積が最大になるときの対角線ACの長さを求めよ
で(１)でBDが√13になることしかわからなくてそれ以降がわかりません。
よろしくお願いします。
No.5956 - 2011/02/05(Sat) 02:59:06
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
mmさん，こんばんは．
早速いきましょう！

比 BE:ED はどうなりますか？
分からないようであれば，数学Aの教科書や参考書で「三角形の内角の二等分線」を調べると分かりますよ，
No.5957 - 2011/02/05(Sat) 18:54:15
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校2年生]
ありがとうございます。
答えは４分の√１３ですよね？

（２）はまず何をしてらよいのでしょうか？

　よろしくお願いします。
No.5958 - 2011/02/05(Sat) 20:46:32
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
>答えは４分の√１３ですよね？
はい．okですよ．

(2)ですが，次の問をクリアしてからとりかかりましょう．
私が下に示した点C',C'',C'''の中で，点A,Dと結んだときにできる三角形の面積が一番大きくなるのは，どの点ですか？
理由を添えてお答えをいただきたいです．

申し訳ありませんが，次の回答は明日になります．ご了承ください．
No.5959 - 2011/02/05(Sat) 21:22:28
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♀ [関東] [高校2年生]
全て同じ大きさになると考えました。同じこから出ている円周角は等しいのでＣの角は全て同じになるから同じ面積になると考えました。

よろしくお願いします。
No.5960 - 2011/02/06(Sun) 04:33:45
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
はい．ではいきますね．
まず，円周角をθとすると，面積は1/2×CD×CA×sinθとなります．
しかし，θの値は一定ですがCの場所でCD×CAの値が異なるので，残念ながら面積は変わります．

まず左下の図を見てください．円が邪魔なので，取り去っておきました．
底辺をDAと見ると，それぞれの三角形の高さは点線の長さとなります．これを見れば，C''で最大であることがわかりますね．
次に右下の図ですが，DAと平行な直径を引いておきました．
直径とDAと平行ですから，DA上のどの点を選んでも，直径までの距離は同じですよね．
すると，「面積最大となる場所」は「高さが最大の場所」で「直径から点までの距離の最大の場所」．
すなわち，『中心を通りDAと垂直となる直線』と『円』との２交点のうち，DAから遠い方で面積が最大となります．

いかがですか？
No.5961 - 2011/02/06(Sun) 08:32:55
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
わかりました。ありがとうございます。
でも（２）の問題にどうつながるのかがわからないのですが。
No.5962 - 2011/02/06(Sun) 12:52:01
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
あ，間違えていました．図でAとしたのを本当はBとすべきでした．猛省（汗）

では本題．△ABDの面積は，点Cがどこにあろうとも一定です．
四角形ABCDを△ABDと△BCDに分割すると，△BCDの面積が最大となるとき
>四角形ABCDの面積が最大になる
になります．

どうでしょうか？
No.5963 - 2011/02/06(Sun) 17:45:01
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
三角形ABDは問題文の条件をそのまま使うから一定ってことですか？
三角形BCDの面積を出す上で∠BCD＝60°しか条件がわからないのですが。
よろしくお願いします。
No.5964 - 2011/02/06(Sun) 18:56:24
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
>三角形ABDは問題文の条件をそのまま使うから一定ってことですか？
そうですね．
>∠BCD＝60°しか条件がわからないのですが。
△BCDの面積について，点Cが最大値をとる場所にあるとき，BC=CDという条件が加わります．
そうすると，△BCDはかなり特徴的な三角形で，計算せずにBC（=CD）の値も求まると思います．
No.5965 - 2011/02/06(Sun) 20:00:35
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
三角形BCDは正三角形ですよね。そうすると答えは2分の13√3ですよね？
よろしくお願いします。
No.5966 - 2011/02/06(Sun) 20:43:42
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
>そうすると答えは2分の13√3ですよね？
どうやって求めました？
No.5967 - 2011/02/06(Sun) 21:12:44
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
間違いました。三角形BCDの面積は2分の13√3ですよね。四角形ABCDの面積は4√3になりました。
対角線ACって三角形BCDの高さの２倍の2√39ですか？
よろしくお願いします。
No.5968 - 2011/02/06(Sun) 22:04:05
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
面積はokです．

ACですが，∠ABC＋∠CDA=180°であることを利用して△ABCと△CDAの両方で余弦定理を使い，求めます．

もし分からなかったら，その旨書いてくださいね．
No.5969 - 2011/02/07(Mon) 03:08:54
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
∠ADCまたは∠ABCの角度ってでるのですか？？
よろしくお願いします。
No.5970 - 2011/02/07(Mon) 11:26:56
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
対角線ACの長さが√13ってでました。
合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.5971 - 2011/02/07(Mon) 11:58:16
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♂ [関東] [高校１年生]
∠ADCまたは∠ABCの角度ってでるのですか？？
よろしくお願いします。
No.5972 - 2011/02/07(Mon) 12:17:48
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
>対角線ACの長さが√13ってでました。
？BDと一緒ですか？
>∠ADCまたは∠ABCの角度ってでるのですか？？
出ないですが，以下のようにすれば，対角線の長さが出ます．

見やすくするために∠ABC=θ，AC=x とします．
△ABCで余弦定理を用いて，cos∠ABC=cosθ=frac{1^2+sqrt{13}^2-x^2}{2･1･sqrt{13}}
また∠ADC=180°-θ から cos∠ADC=cos(180°-θ)=-cosθ
よって，△ACDの面積はcos∠ADC=-cosθ=frac{3^2+sqrt{13}^2-x^2}{2･3･sqrt{13}}
したがって，−frac{1^2+sqrt{13}^2-x^2}{2･1･sqrt{13}}=frac{3^2+sqrt{13}^2-x^2}{2･3･sqrt{13}}
この式からx=ACの値が出てきます．

いかがですか？
No.5973 - 2011/02/07(Mon) 18:02:37
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♀ [関東] [高校１年生]
ACの答えは４であっていますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.5974 - 2011/02/08(Tue) 03:30:49
☆ Re: よろしくお願いします / londontraffic [教育関係者]
>ACの答えは４であっていますでしょうか？
私もそうなりました．

４辺の長さから対角線を求めるこの手順は，大切です．
是非しっかりと身につけてください．
No.5975 - 2011/02/08(Tue) 06:55:07
☆ Re: よろしくお願いします / mm ♀ [関東] [高校１年生]
ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。
No.5976 - 2011/02/08(Tue) 12:57:15