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記事No.6054に関するスレッドです
★ 数学?J / ガガガ ♂ [近畿] [新高校2年生]
初めて質問させていただくガガガです。以後よろしくお願いします

早速質問なのですが２次式x^2+axy+2y^2-2x-5y-3が２つの１次式の積に因数分解されるとき定数aの値をもとめよ。という問題なのですが解法がまったくわからず答えを見るとｘの２次方程式とみて解き、このときの判別式=0が重解をもつのでaが定まるみたいなんですけど
判別式=0が重解を持つというところがまったくわかりません。なぜ判別式=0が重解を持つのか教えてください。ちなみにこの問題は文英堂の「実力強化問題集数学?J+A」の40ページに載っている問題です。
どうかよろしくお願いします。
No.6051 - 2011/03/19(Sat) 18:05:26
☆ Re: 数学?T / kinopy [塾講師]
ガガガさん，はじめまして。久々の回答のkinopyです^^

さて，ガガガさんは　「x^2-2x+3を因数分解せよ」
という問題は大丈夫ですか？

大丈夫でなければ，類題が載ってるので教科書を見てください。
大丈夫であれば，これと同様に本問の式を因数分解していただけますか？

本問は「その因数分解した式が x,yの一次式の積になるように」
ということです。

ここまでのヒントで一度取り組んでみてください。
詰まったらどこまでできたか書き込んでくださいね。

では，頑張って！
No.6052 - 2011/03/19(Sat) 23:44:54
☆ Re: 数学?J / ガガガ ♂ [近畿] [新高校１年生]
kinopyさん。返信ありがとうございます。1次式の積に因数分解することは、たぶん出来たと思うのですが、やっぱり判別式=0が重解を持つというところがまったくわかりません。
それとkinopyさんが出してくださった　「x^2-2x+3を因数分解せよ」という問題を解いてみたのですが?浮ﾌ中が虚数になってしまったのですが正解なのか不安なので答えを教えていただけると幸いです。最後に自分が理解できたところまでをファイルとして公開します。
解説をどうかよろしくお願いします。
No.6054 - 2011/03/20(Sun) 00:59:43
☆ Re: 数学?T / kinopy [塾講師]
こんにちは。

>　「x^2-2x+3を因数分解せよ」
失礼しました。問題文に不備がありました。
通常「因数分解せよ」とは「（有理数の範囲で）因数分解せよ」という意味ですから，
私の意図した出題なら「複素数の範囲で因数分解せよ」とせねばなりません(^_^;)

ですから，ガガガさんが出した答えの通り
x^2-2x+3=(x-1+√2i)(x-1-√2i)
で正しいです。

さて，本問の方ですが，ここまでOKです。
この最後の式が「一次式の積」になるようなaを求めたいのです。

(ay-2)/2の部分は一次式ですから問題なしで，
√{(a^2+8)y-4(a-5)y+16}を一次式にしたいのです。
この√が外れるのはどんなときでしょうか？
No.6055 - 2011/03/20(Sun) 14:16:24
☆ Re: 数学?J / ガガガ ♂ [近畿] [新高校2年生]
kinopyさん。返信ありがとうございます。
?浮ｪ外れるのは?浮ﾌ中が非素数の場合や?浮ﾌ中が0であるときですよね。
ですが?浮ﾌ中が0になってしまうと「2つの1次式の積に因数分解される」という問題に矛盾していて(x-α)(x-β)という形にならないのでルートの中が非素数のときですか？
No.6056 - 2011/03/20(Sun) 15:55:06
☆ Re: 数学?T / kinopy [塾講師]
こんばんは。

＞√の中が非素数の場合や√の中が0であるときですよね。
非素数ではだめですよ。√6とか…
整数の話に限定すれば「平方数のとき」ですね。

この場合は，整式の話ですから「完全平方式」という言葉があります。
(a^2+8)y-4(a-5)y+16=(a^2+8){…}^2
の形になるということですが…

どうですか？これで判別式との絡みが見えてきませんか？

なお，a^2+8の部分は√の中に残っても構いません。
例えば(x+√2y+√3)とかも一次式ですからね。
No.6059 - 2011/03/20(Sun) 20:14:00
☆ Re: 数学?J / ガガガ ♂ [近畿] [新高校2年生]
kinopyさん。返信ありがとうございます。?浮ﾌ中が平方数になる。⇒?浮ﾌ中が(y-α)^2の形になる。⇒重解を持つ。ということですよね。ようやく自分で理解できました。前までは判別式＝0ばかり考えてしまい判別式＝0⇒２つの1次式に因数分解されないと勝手に式を勘違いしていました。ご丁寧にご指導していただきありがとうございました。
No.6062 - 2011/03/21(Mon) 16:14:17