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記事No.6219に関するスレッドです
★ 確率 / alen ♀ [関東] [大学生]
こんにちは、公務員試験の模試を解いていて、教養・数的推理の確率の問題がわかりませんでした。

4×4の碁盤の目状の道路があり、左下角(0,0)をPとする地点にAが、右上角(4,4)をQとする地点にBがいる。AはQへ、BはPへ向かって同時に出発したとき、2人が(3,1)の地点Rで出会う確率はいくらか。2人の速さは等しく、一定のペースで移動している。また、両者とも最短経路を使って目的地へ移動しているものとする。
＊問題には碁盤目状の図がありますが、座標で表示させていただきます。

私は、AがQへ向かう場合の数のうちRをとおる（Bと会う）場合の数として、4/70、
Bも同様に考えて最終的に　4/70×4/70　と式をたてました。

しかし解答を見ると、AがBと出会う地点を(0,4)(1,3)(2,2)(1,3)(4,0)として挙げ、
これら各地点への行きかたの計を分母に、そのうちRへの行きかたの場合の数を分子に、
、というようにしていました。

この解説を見て初めて条件付の確率であるとわかったのですが、問題を最初に見たときは
全くそのように思わず上記の式をたててしまいました。
解説を見ればなるほど、と思えるのですが、私のたてた式の場合どのような問題があるのかが、わかりません。

そもそも私の問題をこなす数が足りていないせいもあり、私には問題文中に、「2人が出会う場合のうち、R地点で出会う場合はいくらか」というニュアンスがあるようには受け取れませんでした。

また、この問題で条件付確率だとわかるヒントはどこにあるのか、教えていただければありがたいです。

よろしくおねがいします！
No.6198 - 2011/05/26(Thu) 17:17:10
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
alenさん，こんばんは．

早速です．
>「2人が出会う場合のうち、R地点で出会う場合はいくらか」というニュアンスがあるようには受け取れませんでした。
そうですね．私も感じ取ることができませんでした．
で，
1)答え
2)4/70と計算した過程
の２つを教えてください．
よろしくお願いいたします．
No.6199 - 2011/05/26(Thu) 18:34:50
☆ Re: 確率 / alen ♀ [関東] [大学生]
おはようございます、ご回答ありがとうございます！
遅くなってしまい、すみませんでした。

１）AがBと出会う可能性のある地点を(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)とし、これらそれぞれの地点への最短経路数が、1,4,6,4,1なので、全て足し合わせて分母は16です。
このうち地点Rは上記のとおり最短経路数4なので、分子は4です。

Bも同様にして4/16となるので、最終的に答えは1/16です。

２）私はAが地点Qへ行く場合の数のうち、Aが地点Rへ到達する（＝地点RでBと出会う）場合の数が求める確率だと考えたので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分母― 8!/4!4!　　分子― 4!/1!3!
として4/70と計算しました。

しかし今考えると分子の方は、Aが地点Rから地点Qへ行く場合の数が含まれていないので、もしかして分子はさらに　4!/1!3!　をかけなければならないのですか？！

今日からまた家を離れるので、書き込みが遅れてしまうと思うのですが、引き続きご回答よろしくお願いいたします。
No.6202 - 2011/05/28(Sat) 08:48:10
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
はい．ありがとうございました．

>もしかして分子はさらに　4!/1!3!　をかけなければならないのですか？！
まあ，4/70では分母が「Qまで行く」ことを考えているのに分子はRで止まっていますからね．でも，これを掛けても正解にはなりません．

確率において『同様に確からしい』ことはとても重要ですが，ご存じですよね．
例えば２枚のコインを同時に投げるとき，「１枚が表，１枚が裏」である確率は
目に見える３つの現象
「２枚表」「２枚裏」「１枚が表，１枚が裏」
を分母としたものではなく，『同様に確からしい』４が全事象の数になりますよね．

今回の場合，alenさんは全事象を【70】としました．確かに目に見える現象は70通りですが，『同様に確からしい』かといえば，残念ながらそうとは言えません．
本問では数が多すぎたので，３×３で下に図を挙げておきました．
左はP-X-Y-Z-Q，右はP-X-Y-R-Z-Qのルートです．
左はP,X,Yの３カ所で上・右の２つから１つを選ぶ必要があるので，確率1/8．
右はP,X,Y,Rの４カ所で上・右の２つから１つを選ぶ必要があるので，確率1/16．
・・・ということは，alenさんが分母にした【70】は『同様に確からしい』ことを踏まえた数ではないということになります．

ここまでどうですか？
No.6208 - 2011/05/29(Sun) 18:48:23
☆ Re: 確率 / alen ♀ [関東] [大学生]
遅くなりました、お答えありがとうございます。

なるほど！問題によっては文中の最後に「同様に確からしい」と書かれていますね、恥ずかしながらこれまで特に真の意味を意識せず、漫然と公式をあてはめて解いていました。実は本問も、このような格子状の最短距離移動問題を見たら、反射的に同じものを含む順列の公式を使うという、高校時代来身につけてしまった悪い習慣からの解法でした。

コインの例や3×3のルートの例により、何となく意味が分かりました。
しかし、同じものを含む順列の公式により求めた70通りは、同様に確からしい数ではないとすると、同様に確からしい数の解法は数え上げて求めるしか、今のところ思いつきません、、
No.6215 - 2011/05/31(Tue) 09:30:43
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
おおかたご理解いただいたようで，よかったです．
ではもう少し．

下に挙げた２つのうちの左側について．
本問において黒丸でマークした８点に達した後，移動できる次の点は１カ所しかなく，当然確率は１．
他の点では，次に移動できる点は上または右の２カ所あるので，それぞれ確率が1/2です．

続いて右側の図です．
「同じ移動回数で動ける点」は斜めに引いた直線上の点で，今回の５点(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)は（丸印をつけました），４回の移動で移れるすべての点になります．
左図の確認をふまえれば，この５点への移動は「どのルートを通っても同じ確率」となります．

>同様に確からしい数の解法は数え上げて求めるしか、今のところ思いつきません
確かにそうなのですが，右図の斜めに並んだ点に書いたそれぞれの点への移動方法の数をご覧になってください．
どこかで見たことありませんか？数Aの教科書に書いてあった「パスカルの三角形」です．

ここまでどうでしょう？
No.6219 - 2011/06/01(Wed) 06:49:10
☆ Re: 確率 / alen ♀ [関東] [大学生]
お答えありがとうございます。すみません、部分ごとには理解できたのですが、全体として上手くまとめあげることができませんでした、、

私の頭の中で起こっていることは、
・(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)には1/2の確率で到達するので、5つの点それぞれに到達する確率は(1/2)^4
・パスカルの三角形に沿って計算すると、地点Qへの行き方は70通り
（まさかこのようなところでパスカルの三角形にお目にかかるとは！）
・右側の図の丸印から地点Qへも4回の移動で移れる
・(0,4)と(4,0)から地点Qへ行く確立は1

と、考えました。正しいですか？！
No.6221 - 2011/06/01(Wed) 16:44:34
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
大方okですよ．

>・(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)の5つの点それぞれに到達するどの経路も確率は(1/2)^4
ですね．
そうすると，Rに到達する経路は４通りで，そのおのおのの確率は1/16
ゆえに，AがRに行く確率は1/4となります．
そしてBも同様ですね．
ですから，答えは1/16になります．

いかがですか
No.6230 - 2011/06/02(Thu) 06:54:17
☆ 解決しました！！ / alen ♀ [関東] [大学生]
なるほど！わかりました！どうも公式に当てはめようとしたり公式に頼ってしまうクセがあるようなので、根本から１つずつ考える習慣をつけたいと思います。
いつも書き込みが遅くなりご迷惑おかけしましたが、迅速にそしてご丁寧に解説してくださり、本当にありがとうございました。
No.6237 - 2011/06/03(Fri) 13:46:41