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記事No.6275に関するスレッドです
★ (No Subject) / da ♂ [関東] [高校3年生]
数学青チャート基本例題183の問題についてです。

この問題は
解説の途中でα＝9+√33/6を使って場合わけしてるいくんですが
なぜ1≦a≦3、3≦aのように3を使わず、αを使うかがわかりません。
回答おねがいします.。
No.6261 - 2011/06/12(Sun) 16:04:03
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
daさん，おはようございます．
londontrafficと申します．
はじめに，この問題は数学IIの微分を利用するのですが，「高校１年生」で間違いないですか？

さて，２次関数の学習は当然終わっていますよね．
では，
問　aを定数とするとき，関数f(x)=x^2 (a≦x≦a+1)の最大値を求めよ．
の解をカキコしてもらえますか．

よろしくお願いいたします<(_ _)>
No.6269 - 2011/06/13(Mon) 06:42:17
☆ Re: / da ♂ [関東] [高校3年生]
> daさん，おはようございます．
> londontrafficと申します．
> はじめに，この問題は数学IIの微分を利用するのですが，「高校１年生」で間違いないですか？
>
> さて，２次関数の学習は当然終わっていますよね．
> では，
> 問　aを定数とするとき，関数f(x)=x^2 (a≦x≦a+1)の最大値を求めよ．
> の解をカキコしてもらえますか．
>
こんばんは。高校１年生ではないです。
回答ありがとうございます。
解は
a<0のときx=aで最大値a^2
0≦aのときx=a+1で最大値(a+1)^2
です。
No.6273 - 2011/06/14(Tue) 01:51:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．ありがとうございます．
下に図を挙げました．ご覧ください．

両方ともa<0の場合ですが，
左は，x=-2/3（x=a）で最大値4/9（x=a^2）
右は，x=2/3（x=a+1）で最大値4/9（x=(a+1)^2）
となり，
> a<0のときx=aで最大値a^2
とは限りませんね．

何故こうなるのかというと，場合分けのポイント（位置，数）が違うからです．

２次関数では対称軸からの距離を利用できるのですが，３次関数では残念ながら両端の数（関数の値）の比較が必要になります．
極小値をとる３が，区間a≦x≦a+1に含まれるとき，両端のf(a)とf(a+1)の大きい方が最大値となるので，
方程式 f(a)=f(a+1) の解のうち，9+√33/6を利用するのです．

いかがですか？
あと，掲示板がなるべく見やすくなるように，引用は必要最小限でお願いします．
No.6275 - 2011/06/14(Tue) 17:43:16
☆ Re: / da ♂ [関東] [高校3年生]
了解しました。
> a<0のときx=aで最大値a^2
とは限りませんってのはわかったんですけど、そのあとが理解できません。
No.6280 - 2011/06/15(Wed) 16:36:04
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．では，２次関数の方から．

今回私が出したのは，グラフが 下に凸の放物線になります．
グラフが下に凸の放物線になる２次関数は，
最小値をとる場所は頂点もしくは端点となりますが，最大値は左右どちらかの端点です．
２次関数のグラフは，軸に関して左右対称なので，下に凸の放物線であれば，
「軸からの距離が遠い端点」
と判断ができます．
そうすると，「軸から遠い」を決定する「定義域中央の値と軸の比較」．
私が出したモノであれば，定義域中央の値は
{a+(a+1)}/2=a+1/2
これと，軸 x=0 との比較になるので，
(1) a+1/2<0 (2)a+1/2=0 (3)a+1/2>0
すなわち(1)a<-1/2 (2) a=-1/2 (3)a>-1/2
【(2)a=-1/2 は(1)や(3)のどちらかに含めてもokです】
で場合分けになります．

ここまでどうでしょう？
No.6281 - 2011/06/15(Wed) 18:42:41
☆ Re: / da ♂ [関東] [高校3年生]
返事が遅くすいません。
とてもわかりやすい説明ありがとうございます。ここまでは理解できました。
No.6282 - 2011/06/16(Thu) 00:00:49
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
よかったです．
では本題に．

また下に図を入れましたので，ご覧ください．
まず，左側です．
極小値をとる場所に，x軸に垂直となる線を入れました．
ご覧いただければ分かるとおり，曲線はこの線に関して対称にはなりません．
よって，２次関数のような「軸からの距離が遠い端点」などという議論は無意味です．
ですから，定義域両端の関数の値を実際に調べて，大小を比較する必要があるのです．
（右側の図では，x=a+1で最大）

おわかりいただけますか？
No.6283 - 2011/06/16(Thu) 06:47:07
☆ Re: / da ♂ [関東] [高校3年生]
はい。
わかりました。ありがとうございます.
No.6284 - 2011/06/17(Fri) 00:12:13