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記事No.6330に関するスレッドです
★ 一般化 / lkj ♀ [地球外] [浪人生]
おはようございます。
この問題は理解できたのですが、初期値がa＜0のときも
この数列はαに収束すると思うのです。（ｙ＝ｘとｙ＝(1/2)e^-xのグラフを書いて考えました。）
しかし証明ができません。a＜0だと平均値の定理を使ってもうまく評価できないし…
どうすればいいのでしょうか？
No.6330 - 2011/07/09(Sat) 05:03:46
☆ Re: 一般化 / londontraffic [教育関係者]
lkjさん，おはようございます．
londontrafficと申します．

このテキスト，何だか不思議ですね．
興味深いです．テキスト名を教えていただけるとありがたいです．

さて本題に入るまえに，解答の
(α＞0，a_n＞0より，c_n＞0)
ここの黒いところを考えてみましょう．
これは確かに事実なのですが，証明しろと言われたら，どう証明しますか．
No.6331 - 2011/07/09(Sat) 07:38:59
☆ Re: 一般化 / lkj ♀ [地球外] [浪人生]
勇者を育てる数学３Cという本です。

以下a_n＞0　を数学的帰納法で示す。（n≧1)
a_1=a>0,a_k>0と仮定すると、与えられた漸化式よりa_(k+1)=(1/2)e^-a_k>0
∴すべての自然数nについてa_n＞0が示された。

ということは、あるn以上でa_n＞0が言えれば、解答がそのまま使えますね。
a_1=a＜0のとき、
a_2=(1/2)e^-a_1>0
よって帰納的にa_n＞0(n≧2）
あとは解答と同様にしてやればこの数列はαに収束することが分かる。
でどうでしょうか？

あと、この類の問題では、問題集によって、a_n≠α（∀n)のときと
あるnでa_n＝αになるときとで場合分けしてる本がありますが、
これは論理的に必要なことですか？
No.6332 - 2011/07/10(Sun) 01:25:52
☆ Re: 一般化 / londontraffic [教育関係者]
書名ありがとうございました．

本題ですが，おわかりいただけたようでよかったです．
どうせ極限をとるのですから，n≧2で・・・としてやればいいのではと思われます．

>問題集によって、a_n≠α（∀n)のときと
>あるnでa_n＝αになるときとで場合分けしてる本がありますが、
そうですか．私は今初めて知りました．
>これは論理的に必要なことですか？
いらないと思いますよ．
それよりこの解答で，「g(x)が定義域内で連続」とか「f(x)が定義域内連続かつ微分可能であるから」とか書く方が大切だと思いますね．
No.6333 - 2011/07/10(Sun) 02:46:49
☆ Re: 一般化 / lkj ♀ [地球外] [高校１年生]
この問題であるnでa_n＝αになるときはn=1のとき（＝初期値がαのとき）しかあり得ないと思いますが、
その場合を考慮して場合分けしなくてもよいのでしょうか？
＞「g(x)が定義域内で連続」とか「f(x)が定義域内連続かつ微分可能であるから」
中間値の定理と平均値の定理が使える条件を満たしていることを明示するということですね。（変な言い方になってたら添削してくださいm(__)m）

>問題集によって、a_n≠α（∀n)のときと
>あるnでa_n＝αになるときとで場合分けしてる本がありますが、
画像の問題は大学への数学という参考書です。
>これは論理的に必要なことですか？
>いらないと思いますよ．
この辺りをもう少し詳しくお願いします。
No.6334 - 2011/07/11(Mon) 22:20:06
☆ Re: 一般化 / londontraffic [教育関係者]
>中間値の定理と平均値の定理が使える条件を満たしていることを明示するということですね。
はい．その通りです．

>この辺りをもう少し詳しくお願いします。
はい．では，私が思ったことを書きますね．
まずは，lkjさんの書いた
>この問題であるnでa_n＝αになるときはn=1のとき（＝初期値がαのとき）しかあり得ない
この通りですので，どうせ極限をとるのですから・・・というのが１つめです．
２つめに，この答案の中での重要性です．優先順位としては，場合分けするより，連続性や微分可能であることの方が上だと思うからです．

しかし，どうしてもパーフェクトな解答が欲しいならば書かなければならないですね．逆に，lkjさんが，そこに気がついているから，「書くだけの資格のある人」と思えてきました．

わざわざ写真をupしてくださってありがとうございました．私も勉強になります．
No.6335 - 2011/07/12(Tue) 00:50:38
☆ Re: 一般化 / lkj ♀ [地球外] [浪人生]
londontrafficさんありがとうございました。
No.6336 - 2011/07/15(Fri) 01:21:40