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記事No.6534に関するスレッドです
★ 2つの級数 / T ♂ [再受験生]
初めまして、Tと申します。

問題は黄色チャート数学3のp54 問題番号62の(2)です。

無限級数の収束、発散を調べ、収束すればその和を求めよ。

1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・・

という問題です。


これをそれぞれ

(1/2+2/3+3/4+・・・) - (2/3+3/4+4/5+・・・)と分けて和を求めようとしたのですが

ここから先が分からず

解答では、和を S2n-1,S2n の様に表しているのですが

なぜこのように表せるかが分かりませんでした。


あれこれ紙に書いてやってみたのですがイマイチ分かりませんので
よろしくお願い致します。




No.6531 - 2011/10/03(Mon) 16:33:49
☆ Re: 2つの級数 / londontraffic [教育関係者]
Tさん，こんばんは．
londontrafficと申します．
再受験生とのことですが，すごいですね．
是非，頑張ってもらいたいと思います．

さて，下に挙げた２つはご存じでしょうか．
勿論，黄チャートにも載っているはずです．
右側のことから

>(1/2+2/3+3/4+・・・) - (2/3+3/4+4/5+・・・)と分けて和を求めようとしたのですが
は無理なことがわかります．
なぜならば，「1/2+2/3+3/4+・・・」も「2/3+3/4+4/5+・・・」も収束しないからです．

>解答では、和を S2n-1,S2n の様に表しているのですが
そうですね．s_{2n-1}とs_{2n}がともに同じ値に収束すれば，それが級数の（収束する）値になります．
これは，基本的でとても大切なテクニックです．
今回は，奇数項までの和s_{2n-1}=1/2 で，偶数項までの和s_{2n}=1/2-(n+1)/(n+2)で，
ともに1/2に収束するので，この級数の和は1/2となります．

Tさんは今現在，塾や予備校に通うとか家庭教師など，数学を教えて貰える環境にありますか？
No.6534 - 2011/10/03(Mon) 21:01:31
☆ Re: 2つの級数 / T ♂ [高校１年生]
初めまして、londontraffic さん
返信ありがとうございます。


恥ずかしながらs_{2n-1}が奇数項までの和で

s_{2n}が偶数項までの和だと知りませんでした。

解説していただいてs_{2n-1}の時は最初の 1/2以降は奇数項まで

全て＋ ー で0になるので ∴ s_{2n-1}=1/2

s_{2n}は1/2と -(n+1)/(n+2)までの間がすべて0になるので ∴ s_{2n}=1/2-(n+1)/(n+2)

n→∞のときs_{2n-1}≠s_{2n}なので発散すると理解出来ました。


経済状況から予備校や家庭教師の利用が出来ず、

教科書で調べたり、似たような質問がないか探してみましたが

あまり理解出来なかったので、こちらの掲示板に質問させて頂きました。


解説していただきありがとうございました。
No.6535 - 2011/10/03(Mon) 22:33:38
☆ Re: 2つの級数 / londontraffic [教育関係者]
あ．
ひどい間違いしてましたね．
恥ずかしくて涙が出そうです．
でもご理解いただけてよかったです．

>経済状況から予備校や家庭教師の利用が出来ず、
ちょっと心配でしたが，今回のレスを拝見させていただいて，それが消えました．
お一人で努力されても大丈夫そうですね．

>こちらの掲示板に質問させて頂きました。
私以外の先生方は，とても頼りになりますよ．機会がありましたら，またご利用ください．

ところで新矢先生，この記事消してもらえますか・・・もらえませんよね（笑）
No.6536 - 2011/10/04(Tue) 03:40:40
☆ Re: 2つの級数 / T ♂ [再受験生]

いえいえ、答えではなく途中の考え方が知りたかったので助かりました。


そう言っていただけるとありがたいです。

基礎事項を見直して、似たような質問をみても理解が出来なかった時は

またこちらを利用させて頂きますね。



解決していただいたのでスレッドを削除してもらっても構いませんよ。
No.6537 - 2011/10/04(Tue) 11:15:37