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記事No.6840に関するスレッドです
★ (No Subject) / みなみの [高校１年生]
よろしくお願いします。
早速添付した問題（東京出版　ショートプログラム）なのですが、解法の指針は、
（?@）-1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、または、-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める方針で解きたいと思います。
（?@）の条件はf(-1)f(2)＜=0 で良いのでしょうか。これも等号成立時を調べる必要があるのでしょうか。あるのなら、f(-1)=t＾2+t-2=(t+2)(t-1),f(2)=t＾2-2t+1=(t-1)＾2
f(-1)f(2)＜=0 は、(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0となり、等号成立時でt=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0で重解、つまり、２つの解をもつことになります。
どうか、ご指導の方宜しくお願いします。
No.6840 - 2012/02/25(Sat) 07:53:37
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
みなみのさん、こんにちは、ITです。
いっしょに考えましょう。

> 早速添付した問題（東京出版　ショートプログラム）なのですが、解法の指針は、
> （?@）-1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、または、-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める方針で解きたいと思います。
> （?@）の条件はf(-1)f(2)＜=0 で良いのでしょうか。
「（?@）」とは-「1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、または、-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ」でしょうか？「1＜=x＜=2 に一つの解をもつ」でしょうか。（文脈からすると前者のようですが念のため）
「一つの解をもつ」とは「ただ一つの解（重解を除く）をもつ」、「ただ一つの解（重解を含む）をもつ」、「少なくとも一つの解をもつ」のいずれでしょうか？（文脈からすると１番目か２番目だと思いますが念のため）

なお、この種の問題は、「平方完成する。頂点の座標を調べる。グラフで考える。」がセオリーです。
No.6841 - 2012/02/25(Sat) 10:34:13
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
>さっそくご返答ありがとうございます

早速添付した問題（東京出版　ショートプログラム）なのですが、解法の指針は、
(?@）-1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、(ただ一つの解（重解を含まない）をもつ)
(?A)または、-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める方針で解きたいと思います。

> なお、この種の問題は、「平方完成する。頂点の座標を調べる。グラフで考える。」がセオリーです。
セオリー通りの解法だと煩雑で、この解放の指針でときたいのでどうにかおつきあいください
No.6842 - 2012/02/25(Sat) 15:21:20
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
>（?@）の条件はf(-1)f(2)＜=0 で良いのでしょうか。
「条件」と書いておられるのは、「必要十分条件」「必要条件」、「十分条件」のいずれですか？「必要条件」ということで良いでしょうか？

「（?@）の必要条件はf(-1)f(2)＜=0」は、正しいと思います。
　　（十分条件ではないことに注意）
「f(-1)f(2)＜=0は、（?@）の必要条件」あるいは「（?@）ならばf(-1)f(2)＜=0」
の方が良いかなと思います。

みなみのさんは、どういう考え方で「（?@）ならばf(-1)f(2)＜=0」を見つけ、説明（証明）しますか？、グラフで考えたのではないですか？　
No.6843 - 2012/02/25(Sat) 15:56:43
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
早速のご返事ありがとうございます。

> みなみのさんは、どういう考え方で「（?@）ならばf(-1)f(2)＜=0」を見つけ、説明（証明）しますか？、グラフで考えたのではないですか？　
本サイトのレスNo.6830 で考えたように解けないかと考えたのですが、グラフで考えたわけではありません。
No.6844 - 2012/02/25(Sat) 18:32:52
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
>（?@）の条件はf(-1)f(2)＜=0 で良いのでしょうか。これも等号成立時を調べる必要があるのでしょうか。
（?@）の「必要十分条件」を求めるなら、等号成立時を調べる必要があります。
No.6845 - 2012/02/25(Sat) 18:57:36
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
宜しくお願いします。
f(-1)=t＾2+t-2=(t+2)(t-1),f(2)=t＾2-2t+1=(t-1)＾2
f(-1)f(2)＜=0 は、(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0となり、等号成立時でt=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0で重解、つまり、２つの解をもつことになります。これは、除外していいのでしょうか。…質問?@、又、、f(-1)f(2)＝(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0　、
(t-1)＾2＞=0から,(t+2)(t-1)＜=0から求める範囲は-2＜x＜=1、逆にこのとき、f(-1)f(2)＜=0
求める（?@）の範囲は-2＜x＜=1でいいのでしょうか。…質問?A
No.6846 - 2012/02/25(Sat) 19:17:21
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> f(-1)f(2)＜=0 は、(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0となり、等号成立時でt=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0で重解、つまり、２つの解をもつことになります。これは、除外していいのでしょうか。…質問?@
（?@）を満たす範囲としては、除外です。（元の問題は２つの解を持つときでも良いのですが）

> (t-1)＾2＞=0から,(t+2)(t-1)＜=0から求める範囲は-2＜x＜=1、逆にこのとき、f(-1)f(2)＜=0
> 求める（?@）の範囲は-2＜x＜=1でいいのでしょうか。…質問?A
「-2＜t＜=1」　の書き間違いですね？
t=1のとき、解はどうなりますか？
No.6847 - 2012/02/25(Sat) 19:41:11
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
宜しくお願いします。
> 「-2＜t＜=1」　の書き間違いです
> t=1のとき、解はどうなりますか？もとの方程式はt＾2-t-2=0,(t-2)(t+1)=0
t=-1,2でこれも（?@）には、不適でした、では、求める（?@）の範囲は-2＜x＜1でいいのでしょうか。…質問?A
No.6848 - 2012/02/25(Sat) 19:54:17
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> > t=1のとき、解はどうなりますか？もとの方程式はt＾2-t-2=0,(t-2)(t+1)=0
> t=-1,2でこれも（?@）には、不適でした、では、求める（?@）の範囲は-2＜x＜1でいいのでしょうか。…質問?A
t＾2-t-2=0,(t-2)(t+1)=0 は、x^2-x-2=0,(x-2)(x+1)=0でx=-1,2　　の間違い
-2＜x＜1は、-2＜t＜1　の間違い　ですね？（ｔとxを混同しないよう注意が必要です！）
また、はっきり「２つの解を持つので（?@）を満たさない」と記述すべきです。

さて、-2＜ｔ＜1は（?@）の必要条件であることが示せた（？）だけです。十分条件であることも言わなくてはいけません。
No.6849 - 2012/02/25(Sat) 20:14:48
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
よろしくお願いします。
>
> さて、-2＜ｔ＜1は（?@）の必要条件です。十分条件であることも言わなくてはいけません。十分条件ですが。
-2＜ｔ＜1において、
f(2)=t＾2-2t+1=(t-1)＾2>0
f(-1)=t＾2-t-2=(t-2)(t+1) …質問、これは、どうしていいのかわかりません。
No.6850 - 2012/02/25(Sat) 20:37:55
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> f(-1)=t＾2-t-2=(t-2)(t+1) …質問、これは、どうしていいのかわかりません。
f(-1)=(-1)^2-t(-1)+t^2-3 = t＾2+t-2=(t+2)(t-1) ではないですか？
No.6851 - 2012/02/25(Sat) 20:57:16
☆ Re: / みなみの [高校１年生]

> f(-1)=(-1)^2-t(-1)+t^2-3 = t＾2+t-2=(t+2)(t-1) ではないですか？
計算ミスも多く申し訳ありません。
f(-1)= t＾2+t-2=(t+2)(t-1)＜0
十分条件を確かめた結果、等号が入らないのですが、どうすればいいのでしょうか
No.6852 - 2012/02/25(Sat) 21:08:43
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
追記
（?A）から出てくる範囲は、自分でグラフを使って調べたところ,1＜t＜=2になりました。答えは、-2＜=t＜=2で,（?@）で求めた範囲が違っている気がするのですが、よろしくお願いします。
No.6853 - 2012/02/25(Sat) 21:27:15
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> f(-1)= t＾2+t-2=(t+2)(t-1)＜0
> 十分条件を確かめた結果、等号が入らないのですが、どうすればいいのでしょうか
必ずしも等号が入るとは限りません。
(?@）f(x)=0が-1＜=x＜=2 にただ一つの解（重解を含まない）をもつ
⇔　-2＜ｔ＜1　で良いと思います。（もう少ししっかり論証の必要があると思いますが）
No.6854 - 2012/02/25(Sat) 21:33:25
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> （?A）から出てくる範囲は、自分でグラフを使って調べたところ,1＜t＜=2になりました。答えは、-2＜=t＜=2で,（?@）で求めた範囲が違っている気がするのですが、よろしくお願いします。
t=１のときは、6847、6848で調べたとおり異なる２つの解を持つので（?A）の範囲に含まれるのでは？
No.6855 - 2012/02/25(Sat) 21:37:40
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
今日は長い時間ありがとうございました。もう一度自分で考え直してみますので、明日以降できれば、また、教えてください。
No.6856 - 2012/02/25(Sat) 21:43:03
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
宜しくお願いします。さっそく
（?A）ですが、
まず、
判別式t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＞=0から、-2＞=t＞=2…?@
軸　　-1＜=t/2＜=2から、-2＜=t＜=4…?A
端点　f(-1)＞=0からt＾2+t-2=(t+2)(t-1)＞=0で、t＜=-2,t＞=1…?B
端点　f(2))＞=0からt＾2-2t+1＞=0,(t-1)＾2＞=0で、,t＞=1…?C
共通範囲は,1＜=t＜=2
また、(?@）f(x)=0が-1＜=x＜=2 にただ一つの解（重解を含まない）をもつ
⇔　-2＜ｔ＜1　で良いと思います
すると、求める範囲は,-2＜t＜=2 となり、答えとあいません、
どこが、間違っているのでしょうか。
No.6858 - 2012/02/27(Mon) 20:40:34
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
基本的ミスがあるようです。再確認してください。
> （?A）ですが、
> 判別式t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＞=0から、-2＞=t＞=2…?@
-2 ＜= t ＜= 2…?@ ですね。　（不等号の向きが反対です）

> 端点　f(-1)＞=0からt＾2+t-2=(t+2)(t-1)＞=0で、t＜=-2,t＞=1…?B
t＜=-2　または　t＞=1…?B　（「かつ」か「または」か明記しましょう）

> 端点　f(2)＞=0からt＾2-2t+1＞=0,(t-1)＾2＞=0で、,t＞=1…?C
任意の実数 tについて　(t-1)＾2＞=0　ですよね！

> 共通範囲は,1＜=t＜=2
?@、?B、?C（特に?C）を直してもう一度考えてみてください。
No.6859 - 2012/02/27(Mon) 22:42:45
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
宜しくお願いします。

（?A）ですが、
判別式　t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＞=0から、-2=＜t=＜2…?@ ですね
軸　　-1＜=t/2＜=2から、-2＜=t＜=4…?A
端点　f(-1)＞=0からt＾2+t-2=(t+2)(t-1)＞=0で、 t＜=-2　または　t＞=1…?B
端点　f(2)＞=0からt＾2-2t+1＞=0,(t-1)＾2＞=0で、任意の実数 tについて　
(t-1)＾2＞=0…?C
共通範囲は,1＜=t＜=2
になります。
> ?C）を直してもう一度考えてみてください、ですが、扱いがわかりません、宜しくお願いします。
No.6861 - 2012/02/29(Wed) 19:38:37
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 判別式　t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＞=0から、-2=＜t=＜2…?@ ですね
３つめは不等号の向きを変えないといけません。（−３で割っているので）

> > ?C）を直してもう一度考えてみてください、ですが、扱いがわかりません。
任意の実数 tについて　(t-1)＾2＞=0　なので、
「端点　f(2)＞=0からt＾2-2t+1＞=0,(t-1)＾2＞=0であるが、任意の実数 tがこの条件を満たす。」とでもしておけば良いでしょう。
No.6862 - 2012/02/29(Wed) 20:02:42
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
よろしくお願いします。
細かいミスがあり、申し訳ありません。
（?A）ですが、共通範囲は,1＜=t＜=2は誤りなのでしょうか。
No.6863 - 2012/03/02(Fri) 17:16:52
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> （?A）ですが、共通範囲は,1＜=t＜=2は誤りなのでしょうか。
まちがっていると思います。
みなみのさん自身が前(6846)に次のように書いておられますよ！
>f(-1)f(2)＜=0 は、(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0となり、等号成立時でt=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0で重解、つまり、２つの解をもつことになります。

?@、?A、?Bをもう一度ならべて書いて、数直線上にも表して考えて見てください。
※特に?Bの範囲に注意を
No.6864 - 2012/03/02(Fri) 19:51:03
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
よろしくお願いします。
再度、数直線に表し考える前に確認なのですが、
ITさんからご指摘のあった(6846)は、（?@）の条件なのですが、条件（?A）の範囲を数直線で考える場合に含める必要はあるのでしょうか。 （?A）
>
> みなみのさん自身が前(6846)に次のように書いておられますよ！
> >f(-1)f(2)＜=0 は、(t+2)(t-1)(t-1)＾2＜=0となり、等号成立時でt=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0で重解、つまり、２つの解をもつことになります。
No.6865 - 2012/03/03(Sat) 16:18:16
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> ITさんからご指摘のあった(6846)は、（?@）の条件なのですが、条件（?A）の範囲を数直線で考える場合に含める必要はあるのでしょうか。
（?@）の条件を、条件（?A）の範囲を数直線で考える場合に　含めて考えてはいけません。

（?@）の条件を考える過程で次のことが分っている。
「t=-2のとき、もとの方程式は、x＾2+2x+1=(x+1)＾2=0となり x=-1で重解、つまり、２つの解をもつ」　すなわち 「t=-2は（?A）の十分条件を満たす」にもかかわらず「t=-2が含まれていないので　1＜=t＜=2　だけでは間違いなのでは？」ということです。

「?@、?A、?Bをもう一度ならべて書いて、数直線上にも表して考えて見てください。」
というのは、条件（?A）を満たすための必要条件?@、?A、?Bを数直線上に表して考えて見てくださいということで、条件（?@）のことは何も言っていないのですが！。

説明が分りにくかったらごめんなさい。（何度か推敲していますが。）　
No.6866 - 2012/03/03(Sat) 16:51:25
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
お願いします。
数著直線に、ご指摘のあった、「t=-2は（?A）の十分条件を満たす」を入れても、答え
-2＜=t＜=2という答えにはならず、何度も見直しております、どうか、宜しくお願いします。
No.6868 - 2012/03/05(Mon) 19:34:04
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 数著直線に、ご指摘のあった、「t=-2は（?A）の十分条件を満たす」を入れても、答え
> -2＜=t＜=2という答えにはならず、
どういう答えになるのですか？
No.6869 - 2012/03/05(Mon) 19:44:02
☆ Re: / みなみの [高校１年生]
宜しくお願いします。
答えが、 -2＜=t＜=2になることに納得できました。ありがとうございます。
ただ、t=-2(２つの解である重解)という条件が、(?A)-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める過程ではでてこず、(?@）の-1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、(ただ一つの解（重解を含まない）をもつ)を調べる過程で出てくることに難しさ？をかんじました。　

やはりITさんが、始めに言われた通り、
> なお、この種の問題は、「平方完成する。頂点の座標を調べる。グラフで考える。」がセオリーです。
なのだと思いました。
No.6871 - 2012/03/08(Thu) 18:14:30
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
みなみのさん　こんにちは。
> ただ、t=-2(２つの解である重解)という条件が、(?A)-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める過程ではでてこず、(?@）の-1＜=x＜=2 に一つの解をもつ、(ただ一つの解（重解を含まない）をもつ)を調べる過程で出てくる
この認識は、間違っています。
t=-2(２つの解である重解)は、(?A)-1＜=x＜=2 に２つの解をもつ範囲を求める過程で出ます。　( (?@）の過程でも判りましたが。)

みなみのさんの誤解を解くため、「みなみのさんの　No.6861」を添削します。
不明な箇所をお知らせください

> （?A）ですが、
> 判別式　t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＞=0から、-2=＜t=＜2…?@
→判別式　t＾2-4(t＾2-3)＞=0,-3t＾2+12＞=0,t＾2-4＜=0, から、-2=＜t=＜2…?@

> 軸　　-1＜=t/2＜=2から、-2＜=t＜=4…?A
　ＯＫ
> 端点　f(-1)＞=0からt＾2+t-2=(t+2)(t-1)＞=0で、 t＜=-2　または　t＞=1…?B
　ＯＫ
> 端点　f(2)＞=0からt＾2-2t+1＞=0,(t-1)＾2＞=0で、任意の実数 tについて　
> (t-1)＾2＞=0…?C
※表現は修正が必要（No.6862　参照） 　

> 共通範囲は,1＜=t＜=2
→共通範囲は,　t=-2　および　1＜=t＜=2
　※t=-2は?@、?A、?B、?Cの全てを満たします。一つずつ確かめてみてください。
No.6873 - 2012/03/11(Sun) 10:44:18
☆ Re: / みなみの [高校１年生]

詳しく解説して頂き、有難うございます。
（?A）ですが、
共通範囲は,　t=-2　および　1＜=t＜=2
であることは、しっかり確認できました。最後まで丁寧にご指導して頂きありがとうございました。感謝いたします。
No.6874 - 2012/03/11(Sun) 20:12:33