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記事No.7466に関するスレッドです
★ (No Subject) / otty ♂ [東北] [高校3年生]
学校のニューアクションセンター問題集　数学?T＋Ａ，?U＋Ｂセンター対策　の問題です。


f(x)=|x^2+ax+2a| について考える問題で，

xについての方程式　f(x)=a+1 が異なる２つの実数解をもつときの aを求めるという問題です。

答えを見ると，a=-1, 6-2sqrt(10) < a < 2, 2 < a < 6+2sqrt(10) ということになっています。


|x^2+ax+2a|=a+1 を考えると

x^2+ax+2a = ±(a+1)　かつ　a+1≧0

a+1≧0 より　a≧-1

x^2+ax+2a = a+1 より　x^2+ax+a-1=0
異なる２つの実数解をもつには，D＞0よりa≠2

x^2+ax+2a = -(a+1) より　x^2+ax+3a+1=0
同様にD＞0より　a < 6-2sqrt(10) , 6+2sqrt(10) < a

・・・という感じでストップしてしまいました。

途中までも合っているのかわかりません。

よろしくお願いします。
No.7461 - 2012/10/11(Thu) 23:36:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ottyさん，こんにちは．londontraffic と申します．
早速いきましょう．

>|x^2+ax+2a|=a+1 を考えると
>x^2+ax+2a = ±(a+1)　かつ　a+1≧0
ここなんですけど，x^2+ax+2a = ±(a+1) の意味をもう一度確認してみましょうか．

例えば
a=0のとき，与えられた式は
|x^2|=1
となり，x^2= ±1 すなわち x^2=1 と x^2=-1 となります（2次方程式が２つ）．
この場合，x^2=1が異なる２つの実数解をもち，x^2=-1は実数解をもたないので，題意を満たします．
a=-1のとき，与えられた式は
|x^2-x-2|=0
となり，これは　x^2-x-2=0　と同値．x=-1,2の2つの実数解をもつので，題意を満たします．

すなわち　a の値によって2次方程式の数が異なり，それをまとめると下のようになります．
(i)　a+1<0　のとき　|x^2+ax+2a|<0　となり，題意を満たすことはなく不適
(ii)　a+1=0　のとき　|x^2+ax+2a|=|x^2-x-2|=0　⇔　x^2-x-2=0　（2次方程式が１つのみ）
(iii)　a+1>0　のとき　|x^2+ax+2a|=a+1 　⇔　x^2+ax+2a=a+1　と　x^2+ax+2a=-(a+1)　（2次方程式が２つ）

このこととottyさんの調べた結果を合わせると，a>-1のとき，添付した表のようになります．

どうですか？
No.7466 - 2012/10/13(Sat) 15:44:35
☆ Re: / otty ♂ [東北] [高校１年生]
londontrafficさん　こんばんは

ご説明頂いてから返答が遅くなりすいません。
書いていただいた内容を見てからしばらくまた考え込んでました。

何度かx^2+ax+2a = ±(a+1) の意味をもう一度確認するところから見直して
ようやくわかりました。

場合分けして考えた場面では、a+1＞０とa+1＜０の条件別々に考えておりましたが
同時に考えた結果での「異なる２つの実数解」ということなんだと
気づかされました。

ありがとうございました。
No.7470 - 2012/10/15(Mon) 19:45:24