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記事No.7491に関するスレッドです
★ グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校3年生]
はじめまして。マチと申します。
さっそくなのですが、問題と私の回答(未完成)を示します。
(出典：2013年入試必修問題集)


結果、おかしなグラフが出来上がりました(赤い矢印で示した部分がおかしい)
解けていない方程式があるので、それが原因かと考えています。

よろしくお願いします。
No.7491 - 2012/10/18(Thu) 20:12:10
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
こんばんは、ITです。いっしょに考えて見ましょう。

一次導関数ｆ’の計算の最初も２つめもまちがっている（転記ミス？）のでは？　もういちど検算してみてください。
二次導関数も計算がまちがっているようです。１ステップずつ書いてみて下さい。

x^3/(x^2-1) = x + x/(x^2-1) として微分したほうが計算が少し簡単かも知れません。
またxの絶対値が大きいところでは、ｙ＝xに漸近することが分かります。　
No.7492 - 2012/10/18(Thu) 21:03:09
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
返信ありがとうございます。
本当ですね。計算ミスしていました。
直したらまともな式とグラフになりました。
また、f(x)を変換してから計算した方が確かに楽でしたね。ありがとうございます。

そういえば漸近線のことを忘れていました。
y=xの漸近線を求めようとしましたが、私はlimが非常に苦手で、求められませんでした。
計算過程を画像で示します。
No.7493 - 2012/10/18(Thu) 22:22:57
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
(x^3)/(x^2-1)は
１、−１に近づくとき　右から近づくか、左から近づくかによって
分母(x^2-1)の正負が異なるので、分ける必要があると思います。

lim f(x)-x の２つめ以降の計算が違っています。

ｙ＝ｘ＋　ｘ/(x^2-1)　で　　limｘ/(x^2-1)　＝　lim１/(x-1/x)→ 0　（ｘ→±∞）
かつ　x＞１のときｘ/(x^2-1)　＞　０、Ｘ＜−１のときｘ/(x^2-1)　＜　０　なので
y　＝　ｘ　は　漸近線になりますね。

それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。
No.7494 - 2012/10/18(Thu) 22:40:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
このように回答すれば良いということでしょうか？
No.7495 - 2012/10/18(Thu) 23:44:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
良いと思います。

limf(x)/x　＝　１　は示さなくても、いきなり　lim f(x)-x　＝　0　を示しても良いと思います。

右側極限　ｘ→1+0　左側極限　ｘ→1-0　などの表記は習っておられませんか？習っておられたら　簡潔に表記できます。
No.7496 - 2012/10/19(Fri) 00:13:37
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>x→1-0
ありがとうございます。
たしかこれを表す表記があったなとは思ったのですが思い出せませんでした。

無事回答を完成させることができました。

さて、これは興味本位での質問なのですが、解けなかったと私が言っていた方程式（一番最初の画像参照）6x+(x^2-3)(x^2-1)=0
これはどうすれば解くことができるのでしょうか？
そもそも、解は存在するのでしょうか？
No.7497 - 2012/10/19(Fri) 00:25:55
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。

私には解法の方針が全く立ちませんでした。
過去に概形をかく問題でそれを示した記憶もありませんし…。
No.7498 - 2012/10/19(Fri) 00:31:54
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> >>それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。
>
> 私には解法の方針が全く立ちませんでした。
原点に関して対称（すべてのx∈定義域でf(-x)=-f(x)）を示す
f(-x)=((-x)^3)/((-x)^2-1)=(-(x)^3)/((x)^2-1)=-f(x)

>過去に概形をかく問題でそれを示した記憶もありませんし…。
問題に指定してないので必須ではないかも知れませんが
このグラフについて「原点に関して対称」であることはかなり重要な特徴だと思います。
No.7500 - 2012/10/19(Fri) 07:37:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>無事回答を完成させることができました。
それは良かったです。念のためグラフをUPしてください。

> さて、これは興味本位での質問なのですが、解けなかったと私が言っていた方程式（一番最初の画像参照）6x+(x^2-3)(x^2-1)=0
> これはどうすれば解くことができるのでしょうか？
> そもそも、解は存在するのでしょうか？

１ 代数学の基本定理
「ｎ次の代数方程式は複素数の範囲で解（実数とは限らない）を持つ」
２　「４次以下の代数方程式は一般的な解の公式がある（５次以上ではない）」
ですが、いずれも高校数学の範囲外です。

３　6x+(x^2-3)(x^2-1)=0　が　実数解を持つことは、適当な２つのｘでの値を調べれば
それぞれf(X)=正、負となるので示せます。
y=6x と y=(x^2-3)(x^2-1)のグラフを描いても概要は調べられます。興味があればやってみて下さい。
No.7501 - 2012/10/19(Fri) 07:52:08
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>6x+(x^2-3)(x^2-1)=0　が　実数解を持つことは、適当な２つのｘでの値を調べれば
>>それぞれf(X)=正、負となるので示せます。
>>y=6x と y=(x^2-3)(x^2-1)のグラフを描いても概要は調べられます。興味があればやっ>>てみて下さい。

はい。私も先ほどそれに気づきました。
6x+(x^2-3)<x^2-1)=0
(x^2-3)<x^2-1)=-6x
この解は
y=(x^2-3)<x^2-1)
y=-6x
の2つのグラフの交点のx座標であると言えるので、図?@からも解が存在することがわかりますね。

それはそうと、4次方程式の解の求め方について調べてみました。

/*以下引用
４次方程式 Ｘ4＋ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ＝０　において、Ｘ に Ｘ−ａ/4 を代入することにより、Ｘ3 の項を消滅させることができるので、はじめから、４次方程式は、
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ4＋ｐＸ2＋ｑＸ＋ｒ＝０
の形としてよい。このとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　ｑ2−４（２λ−ｐ)(λ2−ｒ）＝０

を、４次方程式の分解方程式という。

　もし、このような解λがあれば、

　　　　　　　　　　　　　（Ｘ2＋λ）2＝Ｘ4＋２λＸ2＋λ2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２λ−ｐ）Ｘ2−ｑＸ＋λ2−ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(ｍＸ＋ｎ）2

となる ｍ，ｎ が存在し、４次方程式の問題は、２つの２次方程式　
Ｘ2＋λ＝±(ｍＸ＋ｎ）
の問題に帰着される
*/以上引用

とのことでした。
さっそくこの方針で解こうとしましたが、今度は3次方程式が解けないというこの不始末…。（図?A）
因数の1つを求めて(x-因数)で3次式をくくろうとしたのですが、因数が見つかりません…。
地道に1つずつ試して見つけるしかないのでしょうか？


完成したグラフは図?Bで示しました。
No.7509 - 2012/10/20(Sat) 00:23:04
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
グラフがまちがっていたので修正しました。
No.7510 - 2012/10/20(Sat) 00:30:28
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> グラフがまちがっていたので修正しました。
・y軸との交点（0,4)は間違いでは？　計算を確かめて下さい。

・xの絶対値が大きいところで曲線の傾きの絶対値がどんどん大きくなるので、x＜０でy=(x^2-3)(x^2-1)とy=-6xが２度交わります。
もう少し表示範囲を広げてそれを表した方が良いと思います
No.7511 - 2012/10/20(Sat) 06:56:35
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> それはそうと、4次方程式の解の求め方について調べてみました。
４次方程式の解を求める問題が誘導なしで大学入試に出ることはないと思います。
高校数学の範囲外なので、ここではこれ以上深入りしませんが、ひとつだけ気になったのでお知らせします。
> さっそくこの方針で解こうとしましたが、今度は3次方程式が解けないというこの不始末…。（図?A）
> 因数の1つを求めて(x-因数)で3次式をくくろうとしたのですが、因数が見つかりません…。
> 地道に1つずつ試して見つけるしかないのでしょうか？
有理数解があるとは限りませんので、この方法で解が見つかるとは限りません。
（３次方程式の解を求める問題は、誘導つきで大学入試に出ていることもあるようですがこれ以上深入りしません。）
>
> 完成したグラフは図?Bで示しました。
良いと思います。
No.7520 - 2012/10/21(Sun) 08:38:45
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
グラフは、解があるかどうかが知りたかっただけなので、細かい所は気にしません。
入試を意識しているわけではなく、興味本意で質問しました。
3次方程式には解の公式があると聞いており、調べてみました。
最初見た時、置き換えられた文字ばかりで結局どうすればいいのかわかりませんでしたが、下記サイトと2日間程にらめっこして把握し、そしてその理論にも納得しました。
http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicEquation/
あとはこの公式に実際の数をあてはめて3次方程式を解くとλが求まるので、そこから2つの2次方程式に帰着させれば解けますね。
3次方程式の解の公式を使えば求まるとは言っても、こんな式、計算する気が起こりません…。

目的は達しましたし4次方程式の解の求め方もわかったので、これで解決とさせて頂きます。
ご教授ありがとうございました。
No.7521 - 2012/10/22(Mon) 21:10:34