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記事No.7549に関するスレッドです
★ 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
はじめまして、質問の回答をおねがいします。

河合出版　理系数学の良問プラチカ?TA?UB
の問題106の群数列について質問させて頂きます。

最初から分からないので回答お願いします。
No.7549 - 2012/10/28(Sun) 15:09:10
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
初めまして．
yoshikiさん，初めまして．早速，本題に入りましょう．

最初から分からないということですので，以下の順に解決していきましょう．

(A-1)
[具体的に書いてみる]
組は
(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),([ア]),([イ]),([ウ]),([エ]),([オ]),…
と続きますが，[ア]〜[オ]を埋めて下さい．

(A-2)
[規則性を発見する]
最初の組は(1,1)でその和は1+1=2です．2番目の組では2+1=3です．このように，(0-1)にある11個の組について順番に和を並べて下さい．この際，気づいたことも述べて下さい．

(A-3)
[規則性の確認]
一般に和がk(kは自然数)となるような2つの自然数の組はいくつありますか．この結果は(0-2)で得た結果と合っていますか．
No.7550 - 2012/10/28(Sun) 15:34:44
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
回答ありがとうございます。

(A-1)
> [具体的に書いてみる]
> 組は
> (1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),(4.1),(3.2),(2.3),(1.4),(5.1),…
> と続きますが，[ア]〜[オ]を埋めて下さい．
> (A-2)
> [規則性を発見する]
> 最初の組は(1,1)でその和は1+1=2です．2番目の組では2+1=3です．このように，(0-1)にある11個の組について順番に和を並べて下さい．この際，気づいたことも述べて下さい．
2.3.3.4.4.4.5.5.5.5です。
2が1個3が2個4が3個と増えていっています。


> (A-3)
> [規則性の確認]
> 一般に和がk(kは自然数)となるような2つの自然数の組はいくつありますか．この結果は(0-2)で得た結果と合っていますか．

分からないです。
No.7551 - 2012/10/28(Sun) 16:04:09
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
(A-1),(A-2)ともそれで正解です(もっとも(A-2)の最後の6が抜けていますが)．
数列のルールは理解できているようです．また，規則性もokです．

(A-3)が分からないのですね．同じ和を持つ自然数の組が幾つあるかということですが，

和が2の自然数の組と言えば(p,q)=(1,1)しかあり得ません．他の組を探してみましょう．
p=2とすると，p+q=2であるためには，q=0でなければならず，これはもはや自然数ではありません．さらにp=3とするならば，q=-1となってしまいます．
このように，自然数p,qがp+q=kを満たすとき，p≦k-1かつq≦k-1でなければならないのです．こう考えると，k=2の場合は，p≦1かつq≦1なのだから(p,q)=(1,1)しかありませんね．
そして，もう1つ重要なことはpが決まればqがただ1通りに決まるという点です．
しかも，q=k-pであり，k,pが自然数よりその差qは整数であり，さらに1≦p≦k-1なので，1≦q≦k-1となり，qが自然数であることが保証されます．
これが意味するところは，1≦p≦k-1であれば，(p,q)=(p,k-p)は自動的に解である，逆に言えば，1≦p≦k-1を満たす自然数pと同じ数だけ解があるということです．
若干，難し目になったかもしれませんが，実際に具体例を考えてみると一目瞭然です．
k=10の場合を考えてみましょう．
p=1に対してq=9；適
p=2に対してq=8；適
p=3に対してq=7；適
p=4に対してq=6；適
p=5に対してq=5；適
p=6に対してq=4；適
p=7に対してq=3；適
p=8に対してq=2；適
p=9に対してq=1；適
p=10に対してq=0；不適
p=11に対してq=-1;不適
…
確かに，1≦p≦9の場合，その時のqも必ず自然数になっており，解は9組です．


では，ここで(A-3)をもう一度考えてみて下さい．
No.7552 - 2012/10/28(Sun) 16:32:06
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
k-1組だと思うんですが、合っていますか？
No.7553 - 2012/10/28(Sun) 16:39:03
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
>k-1組だと思うんですが、合っていますか？
はい，その通りですよ．

では，今，この数列はルール(A)により和が小さい方から並べられています．
これは(A-2)で答えていただいたとおりで，和が2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,…と並びます．
確かに，和が2となる自然数の組は1つ，3となる組は2つ，4となる組は3つ，5となる組みは4つとなっているのがわかります．同様に，和がkとなる組はk-1個あることになります．

次の問題までが，本題に入る前の準備になります．が，この準備の過程こそがこの問題に限らず群数列の問題を解く時に重要な考え方になるので，重点を置きます．逆に，この準備が済めば，本題は簡単に解決します．

(B-1)
和が2となる組は第1項〜第1項です．和が3となる組は第2項〜第3項です．和が4となる組は第4項〜第6項です．(A-2)で見つけたように和が同じグループに属する組の数には規則性があったので，同じ和を持つグループに分けると良さそうです(群数列)．
和がkとなる組は第L(k)項〜第U(k)項に存在することになりますが，このL(k)(とU(k))を求めるのが重要となります．まずは，L(k)から求めたいと思います．L(2)=1,L(3)=2,L(4)=4です．L(5),L(6),L(7)を求めて下さい，また，どうすればL(k)が求まるでしょうか(言葉での説明でも構いません)．

(B-2；補)
U(k)はL(k)とkを用いてどのように表されるでしょうか．
No.7554 - 2012/10/28(Sun) 16:54:36
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
L（5）=7、L（6）=11、L（7）=16

L（k）=1/2（k-1）（k-2）+1です。

u（k）=L（k）+（k-2）だと思います。
No.7555 - 2012/10/28(Sun) 17:35:42
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
素晴らしい！全て正解ですよ．

ここまで来れば，あとはこの問題に適用してやるだけです．もう一息です，頑張りましょうo(^▽^)o

本題の(1)ですが，組(m,n)というのはそもそも
(1-1)和が幾らのグループに属するでしょうか，
(1-2)そのグループに含まれる組を最初から順に全て並べて下さい．ただし，最初の3組と最後の3組の間は…で構いません．
(1-3)そのグループに含まれる組において(m,n)は何番目に来るでしょうか，
(1-4)そのグループは数列の第何項から始まるでしょうか，
(1-5)(1-3)と(1-4)を考え合わせると，結局(m,n)は第何項に来るでしょうか．

もし分からないときは，例えば(5,3)について同じことをやってみるなりして下さい．大体において具体例から一般の場合に進むのがわかりやすい方法です．

本題の(2)
まずはノーヒントでやってみて下さい．
No.7556 - 2012/10/28(Sun) 17:48:51
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
ありがとうございます！

解くことが出来ました。

物凄くわかりやすい説明でした！

また、機会がありましたらお願いします。
No.7557 - 2012/10/28(Sun) 20:35:42
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
お力になれて幸いです．
今後も勉学に励んでくださいね．
No.7558 - 2012/10/28(Sun) 21:13:19