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記事No.7629に関するスレッドです
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。福山大の過去問です。
直線束を使って解く問題なのですが、最初から手のつけ様がありません。
No.7615 - 2012/11/02(Fri) 07:08:28
☆ Re: / minamino [高校１年生]
どなたか、お願いします。
No.7621 - 2012/11/03(Sat) 12:05:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは．

ひとつ質問なのですが，直線束を使って，というのはどういうことでしょうか．本問は使わなくても解けますが，敢えて使って解く方法を知りたいということですか．
No.7623 - 2012/11/03(Sat) 12:32:50
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難う御座います。
その通りです。直線束を使って考えるように言われました。
途中までの答案を添付します。
No.7625 - 2012/11/03(Sat) 12:49:50
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付答案に書かれている分については若干不正確ですが概ねあっています．

2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0　…(ア)

は直線2x+3y-5=0と3x+4y+2=0の交点Pを通る直線のうち「3x+4y+2=0以外の」xy平面上の直線を表せます．

今，5x+ky-3=0という直線が交点Pを通るようにkを決めたいのでした．

つまりは「5x+ky-3=0が交点Pを通る」という仮定のもとでkを求めるのです．

5x+ky-3=0が交点Pを通るならば，どのような形で表される直線に属するはずでしょうか．

↓返信を↑の回答に答える形に変えてください．ごめんなさい．
No.7626 - 2012/11/03(Sat) 12:54:45
☆ Re: / minamino [高校１年生]
平面上で交点を通るすべての直線の集合
No.7627 - 2012/11/03(Sat) 12:57:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
No.7626の回答を変えたので，改めて返信お願いします．ごめんなさい．
No.7628 - 2012/11/03(Sat) 13:08:18
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
添付のような形で表される直線に属すると思います。
No.7629 - 2012/11/03(Sat) 13:21:17
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付答案は正解ですよ．

そうです，5x+ky-3=0は(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属するんです．「属する」という言葉を使っていることからもわかるように，
(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0
はmの値によって様々な直線を表し得ます．では，5x+ky-3=0を表せる可能性があるmを求めてみて下さい．
No.7630 - 2012/11/03(Sat) 13:27:45
☆ Re: / minamino [高校１年生]
5x+ky-3=0を表せる可能性があるmを求めてみました。
No.7631 - 2012/11/03(Sat) 13:39:54
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
今回の場合，結果としては正解です．ただし，m=1とした場合に，xの係数だけでなく「定数項も一致すること」を必ず確認してください．

しかし，この解き方で良いでしょうか．例えば，次の問題はどう解きますか．

直線10x+ky-6=0が交点Pを通るとき(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属します．可能性のあるmを求めて下さい．
No.7632 - 2012/11/03(Sat) 13:44:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
直線10x+ky-6=0が交点Pを通るとき(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属します．可能性のあるmを求めて下さい．
ですが、うまくいきません。
No.7633 - 2012/11/03(Sat) 14:00:05
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
素晴らしいです，比をとることに気がつきましたね．
ただ，途中で計算ミスしていて，正しくは
(2+3m)/10=(-5+2m)/(-6)
⇔-6(2+3m)=10(-5+2m)
⇔-3(2+3m)=5(-5+2m)
⇔(-9-10)m=-25+6
⇔-19m=-19
∴m=1
ですね．

これでわかったかと思いますが，単にxの係数比較2+3m=10　定数項比較-5+2m=-6を解くとmの値が異なり答えが得られません．問題を読み替えると，今やっているのは

直線10x+ky-6=0と(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0が等しくなるようなmとkの組を求める

ということです．これは係数の比が等しければ良いので

(2+3m)/10=(3+4m)/k=(-5+2m)/(-6)

であれば良いということです．この最左辺と最右辺から上で計算したようにm=1が導かれ，これを代入すると

5/10=7/k=-3/(-6)

なので，k=14と分かります(注：今は最初の課題(福山大の過去問)とは違う式10x+ky-6=0の場合をやっているのでkの値が違っています)．

では，元の福山大の問題に戻って

5x+ky-3=0と(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0が同じ直線になるようにmとkを定めましょう．

(2+3m)/5=(3+4m)/k=(-5+2m)/(-3)

最左辺と最右辺よりm=1で，代入して計算してやるとk=7も得られます．


…さて，この方法でしても解けない場合はないでしょうか．実はあります．これは，直線束が表せる範囲に関係しているのですが，次の場合はどう解きますか．

直線6x+ky+4=0が交点Pを通るようにkを定めよ．
No.7634 - 2012/11/03(Sat) 14:16:43
☆ Re: / minamino [高校１年生]
御願いします。
前回の問題の計算ミスは確認しました。
No.7635 - 2012/11/03(Sat) 14:39:05
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
そもそも

2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0　…(ア)

というのは，?@と?Aの交点を通る(xy平面上の)直線という認識に不備があります．mにどのような値を入れても決して3x+4y+2=0という直線は表せないのです．つまり，(ア)式の正しい認識は

「?@と?Aの交点を通るxy平面上の直線のうち，直線3x+4y+2=0を除く直線群」

です．では，最後に出した問題を見てみましょう．

6x+ky+4=0と2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0が等しくなるようにmとkを求めようとしましたが，6x+ky+4=0が2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0と等しくなるなんて有り得ないことです．だからこそ，mの係数が0になって答えが得られません．

直線6x+ky+4=0と2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0が同じ直線になるようなmが存在しない，これはつまり，両者は同じ直線になりえないことを意味しています．
考えられる原因は2つ
(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない
(2)直線6x+ky+4=0が直線3x+4y+2=0と一致する

前者の場合，2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0は交点Pを通る直線しか表せないのだから，元から交点Pを通りえない直線と一致するはずがありません．

後者の場合，2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0は交点Pを通る直線を表しますが，唯一，直線3x+4y+2=0だけは表せません．よって，直線6x+ky+4=0が直線3x+4y+2=0と一致するなら，当然，両者を等しくするmが存在するはずはありません．

今回の場合は，原因(2)です．よく考えてみて下さい．k=8とすると直線?Aと一致します．つまり，直線3x+4y+2=0と一致するのです．2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0はどんなmを入れても直線3x+4y+2=0にはならないから，mが存在しないのは当然なのです．mの係数が0になり，かつ右辺に0でない数字が残ってしまう場合は，解なしと判断し，与えられた式は直線3x+4y+2=0に等しいと仮定して係数kを求めれば良いのです．

以上から，元の問題(福山大学の問題)を解く手順は

直線束の式(ア)を立て

5x+ky-3=0

との係数の比が等しいとしてm,kを求める．また，

5x+ky-3=0

が直線3x+4y+2=0に一致するkを求める(この場合のkは直線束の式との比較では求められないことは前述のとおり，直線束の式は直線3x+4y+2=0を表せない)．

一般には以上で求まったkが全て解となります(ちなみに普通に交点Pの座標を求めて，5x+ky-3=0のx,yに代入するとkの一次方程式になるので．解kが1個しかないのは(ほぼ)自明です)．
No.7636 - 2012/11/03(Sat) 14:59:04
☆ Re: / minamino [高校１年生]
丁寧なご指導本当に感謝いたします。
ただ、(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない
の所が具体的につかめず、何度と読み返しております。
両者が同じ直線にない得なりえない理由として、なぜ、、(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない。を吟味するのですか？教えてください。
No.7637 - 2012/11/03(Sat) 15:39:17
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
実は直線6x+ky+4=0は原点を通りえないのですよ．ということは，もし問題が

直線?@：x+y=0　直線?A：x-y=0　の交点Q(0,0)を直線?B：6x+ky+4=0が通るように定めよ．

だったらどうでしょう．?@と?Aの交点を通る直線で，x-y=0以外の直線は

x+y+m(x-y)=0　つまり(1+m)x+(1-m)y=0　…(イ)

ですよね．じゃあ，?Bと(イ)が同じ直線を表すようにk,mを求めてみましょうか．

係数の比について

(1+m)/6=(1-m)/4=0/4

よって，これらを同時に満たすmは存在しませんね．それでは，6x+ky+4=0が直線束で唯一表されない直線x-y=0に一致するのか(つまり原因(2))，と考えますが，定数項の違いから一致するはずがありません．じゃあどういうことか，と申しますと，要は6x+ky+4=0はどうあがいても交点Q(0,0)を通りえないんです(原因(1))．ですから，Q(0,0)を必ず通る直線の式(1+m)x+(1-m)y=0と一致するはずがありません．これが解mが存在しない理由です．逆に言えば，原因(1)によって解mが存在しないこともあるということなんです．ですから，一般論としては原因(1)も立派な吟味対象となります．


上では原点を通りえない直線を例に挙げましたが，6(x-1)+k(y-1)+4=0つまり6x+ky-2-k=0などは点(1,1)を通りえない直線です．偶然，その通りえない点が?@と?Aの交点Pに一致するならば，どんなkを選んでもPを通るはずがないので，解なしとなりますね．
No.7638 - 2012/11/03(Sat) 16:30:28
☆ Re: / minamino [高校１年生]
どうにか、今回の説明で理解できそうです。これから塾で、考える時間がないので、夜もう一度しっかり考えて返信します。今日は長い時間、丁寧で分かりやすい解説有難う御座いました。
No.7639 - 2012/11/03(Sat) 16:53:37
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
[補足]
>実は直線6x+ky+4=0は原点を通りえないのですよ．

と書きましたが，原点以外は通りうる，と誤解をされると困るので補足しておきます．点(X,Y)を通るときのkを求める式は
6X+kY+4=0
より，
kY=-(6X+4)　…(ウ)
特にY≠0の時は，
k=-(6X+4)/Y　(Y≠0)…(エ)
です．逆にこのkのとき，点(X,Y)を通ります．このようなkが存在しないとき，点(X,Y)を通りません．では，どのような時にこのkは存在しないでしょう．考えてみますと，「X≠-2/3かつY=0の時」です．よって，点(-2/3,0)以外の点(x,0)は全て通りえないということですね．

この理由をもっと図的に理解するとこうです．よく式6x+ky+4=0を見て下さい．この式は

(6x+4)+ky=0

と書けるんです．つまり，直線6x+4=0と直線y=0の交点R(-2/3,0)を通る直線で直線y=0以外の直線群です．(6x+4)+ky=0というのは，前述のように直線y=0以外の直線ですから，x軸との共有点は必ず1個であり，そして既に点R(-2/3,0)というx軸上の点を通ることが保証されているので，確かにそれ以外のx軸上の点(x,0)(x≠-2/3)は通らないという結論が導かれるわけです．

ということで，今回の福山大の過去問にある5x+ky-3=0という式もそうですが，ただ単に係数の1つが文字で置かれているなぁ，と思うだけでなく，(5x-3)+ky=0という直線束という見方もできると視野が広がるかもしれません．
No.7648 - 2012/11/04(Sun) 16:58:03
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後まで本当に丁寧にご指導して頂き感激です。ちなみに、朱雀先生は大学生とありましたが、もちろん大学受験時にも直線束一つとってもこれくらいの知識、数学力をもっていたはずですから、これから自分がどれだけ勉強しても受験時に朱雀先生のような数学力を持つのは無理だなと大変へこみました。よく聞かれるとおもうのですが、どのような参考書で高校時代そんなに数学をきわめられたのですか、また、自分はどうしたらいいでしょうか。直線束についても自宅にある参考書をすべて調べてみました。とても、どれも朱雀先生が教えてくれた内容などは書かれていませんでした。これから先の勉強がとても不安になりました。
No.7651 - 2012/11/05(Mon) 12:49:14
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
>どのような参考書で高校時代そんなに数学をきわめられたのですか

別に数学を極めていると言えるほどではありませんが，高校時代に使っていた問題集・参考書は全て高校(県立です)が指定したもので，
オリジナル数学(I/A/II/B)　4STEP(III/C)　オリスタ(3年後期の受験対策用授業で使用)
本質の解法(I/A/II/B/III/C)
入試問題集[理系](数研出版)(3年の夏休みに使用)
でした．これで成績は出ていましたから，特に自主的に購入した参考書等はなかったと思います(過去問除く)．

>どれも朱雀先生が教えてくれた内容などは書かれていませんでした

数学用語や式を覚えることも大切なことですが，意味と適用可能範囲を正確に押さえることもまたそれ以上に重要です．直線束でしたら，

(ax+by+c)+m(dx+ey+f)=0　；a,b,c,d,e,f,mは実数

上式の意味するところを，「直線?@ax+by+c=0と直線?Adx+ey+f=0の交点を通る直線のうち直線dx+ey+f=0を除くxy平面上の直線群」と正確に理解することです．そしてこの直線群をAと名づけます．
上記の意味を正確に理解できていれば，逆に直線群Aに属さない直線もわかるわけで，それが次の2通りです．
・直線?@と?Aの交点を通らない直線群B
・直線?A

よって，全ての(xy平面上の)直線は
直線群A，直線群B，直線?Aの3グループに分けられます．このうち，直線?@と?Aの交点を通るのは直線群Aと直線?Aです．直線群Bは通りません．

ですから，まずは直線?Bと直線束の式が一致しうるかを係数比をとって調べます．そして，そのようなmが存在すれば，直線群Aに属する解が得られます．しかし必ずしも解が1つであるとは限りません．直線?Bと一致する場合も解になるので，一致しうるかをまた係数比を調べて吟味します．ここで一致するようなmがあればそれも解となります．
以上の操作の中で解mが1つも存在しないとき，初めて，直線?Bはいかなるmに対しても直線?@と?Aの交点を通らない，つまり直線群Bに属するということが分かります．
もちろん調べる順番は自由で，最初に直線?Bが直線?@と?Aの交点を通らないことを証明すると，瞬時に解なしと導け，直線群Aに属する場合と直線?Aに一致する場合を調べなくても良いです．

以上，自然な論理の流れではありませんか．覚えるべき事項というよりは，「図を描けば」自然と導かれる結果です．どうやってそういう変換や式変形を思いついたんだ？と言いたくなるような奇抜なアイデアは一切含まれていませんね．

で，この問題，回答が付くのが遅かったかと思いますが，実は投稿された日にこの問題を見ていました．しかし，直線束という文字を見て，それが何か分からず(恥，躊躇しましたが，次の日も回答がなかったので調べました．すると，高校でやった2直線の交点を通る直線群ということで，ax+by+c+k(dx+ey+f)=0というなんとも懐かしい式が出てきました．はっきり言います，覚えていませんでした(´･_･`)．
もちろん，潜在的な記憶の助けもあるでしょうが(全く初めて見たのとはまた違うでしょうから)，回答中に書いたことは当時，本当に理解していたかは分かりません．書きながらに思いついたことも書いています．受験という時間との戦いの中では，既知な基本的な結果を一から導いている時間はないので覚えるべきでしょうが，こういうことは図を描いたりしているうちに分かってくることだと思います．予備知識としてあれば便利でしょうが，無理に覚える必要もないかと思います．習いたてだとすれば，まだ慣れていないので難しいかもしれませんが，時を置くと分かってくるものです．

私は当時，数学にせよ物理にせよ公式が嫌いでした．というのは，ある授業で公式を習うわけですが，それを使って直ぐに問題を解くのが嫌だったのです．数学の場合，公式を使わないで，公式を導く過程を使って問題を解きました．そして公式の導き方，意味が分かったかな，あるいは慣れたところで公式を使っていました．
特に物理は突然に公式だけが出てくるのでまったく意味が分からず，公式を使う気になれません．ただ数字を当てはめているだけで何をしているのかわからないのが無茶苦茶気持ち悪いわけです．しかし微積分の知識がない高一当時，その公式が導けるはずもなく，嫌だなあと思いながらも観念して最終的には公式を使っていましたが，こういう時間が公式を覚えるでなく，理解するのにつながったのかなとは思いますが，どうでしょう．

>また、自分はどうしたらいいでしょうか

ここにはプロの指導者がたくさんおられるようですので，その方たちに訊かれるのが良いかと思いますが，少しだけ(素人が)アドバイスするとすれば，
>朱雀先生のような数学力を持つのは無理だなと大変へこみました
まず諦めないでください．今回の解説で全く意味がわからないというのだとアレですが，自然な流れについてきてくれたので，基本的な力はあると思いますから，考え方を磨けば大丈夫だと思います．ちゃんと勉強さえ続ければ，時間が経った時に，あの時のあれはこういうことだったのか，などと分かってきます．そしてそういうのってなぜか忘れにくい．覚える，っていうのとはまた違う感覚ですね(うまく言えないけど「経験」というか)．そういうこともあるので，諦めて手をつけなくなるのではなく，とにかく続けて下さい．そして分からなければ，先生やここに質問して，一緒に考え，回答を熟読してください．その積み重ねです．

より良い人生・受験の先輩からのご意見は，勉強法の質問版があるようなのでそちらにされると得られると思います．

長文乱文ごめんなさい．
No.7652 - 2012/11/05(Mon) 17:03:31
☆ Re: / minamino [高校１年生]
朱雀先生の言うとおり、最後まで諦めず、日々数学の問題を解いていこうとおもいます。朱雀先生、本当に有難うございました。
No.7653 - 2012/11/06(Tue) 08:52:23