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記事No.7673に関するスレッドです
★ 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
問題
nを整数とし，n≧３とする．
整式x^n−x^n-1−1は整式x^2-x-1で割り切れないことを示せ．

＜方針＞
f(x)=x^n-x^n-1-1とおく．
f(x)をx^2-x-1で割ったときの商をQ(x),余りをax+bとすると
f(x)=(x^2-x-1)Q(x)+ax+b……?@

x^2^-x-1=0の解をx=α、βとおくと
f(α）＝aα＋bより、α^n-α^n-1-1=aα＋ｂ……?A
f(β）＝aβ＋bより、β^n-β^n-1-1=aβ＋ｂ……?B
ここまでは考えてみましたが、その後の方針がわかりません
というか方針自体も合っているかわかりませんが……

よろしくお願いします．
No.7654 - 2012/11/06(Tue) 16:12:58
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
ももかさん，こんばんは．
3年生とのことなので，大きな記述模試も終了し，あとはセンター模試と対策ですね．

これ出典は何でしょう？よかったら教えてください．

>x^2^-x-1=0の解をx=α、βとおくと
>f(α）＝aα＋bより、α^n-α^n-1-1=aα＋ｂ……?A
>f(β）＝aβ＋bより、β^n-β^n-1-1=aβ＋ｂ……?B
他のアプローチの仕方があるかもしれませんが，
f(α)=α^n-α^(n-1)-1
だけで済みそうです．

αはx^2-x-1=0の解ですから，α^2-α-1=0ですよね．
これから，α^n-α^(n-1)=□ の□にはどんなαの式が入るでしょう？
レスお願いしますm(_ _)m
No.7655 - 2012/11/06(Tue) 18:39:09
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ
遅くなってすいません
塾の課題です

α＾n−α＾（ｎ−１）＝□
こんな考え方なのでしょうか？
α＾2＝α＋１
α＾3＝α＾2＋α＝2α＋１
α＾4＝α＾3α＝（２α＋１）α＝3α＋２
α＾5＝5α＋３
…………
ってやっていけばいいのでしょうか？
No.7656 - 2012/11/07(Wed) 00:39:35
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
おはようございます．
書いていただいたように，次数下げを順次おこなって規則性を見つける方法もあるかと思いますが，今回は厳しそうです．

α^2-α-1=0の両辺にα^(n-2)を掛けてみると，□に当てはまる式が見つかります．
No.7657 - 2012/11/07(Wed) 06:42:57
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちは
>α^2-α-1=0の両辺にα^(n-2)を掛けてみると

α^n-α^n-1-α^n-2=0になります

α^n-α^n-1＝α^n-2
なので、□にはα^n-2が入ればよいのでしょうか？
No.7658 - 2012/11/07(Wed) 13:11:52
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
そうですね．
では続きです．

f(α)=α^n-α^(n-1)-1
ですから
f(α)=α^(n-2)-1
となります．
αはα^2-α-1=0の解なので，α=(1±√5)/2（実数）
n≧３であるとき，実数αに対してα^(n-2)-1=0となるαは
nが偶数のとき±1，nが奇数のとき1のみ
であるから，f(α)キ0

というわけで証明が完了するワケですが，いかがでしょう？
No.7659 - 2012/11/07(Wed) 18:51:16
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちは
こんな感じで答案は書けばよろしいでしょうか？

x^n-x^n-1-1をx^2-x-1で割った商をQ(x)、余りをax+bとおく
x^n-x^n-1-1=(x^2-x-1)Q(x)+ax+b……?@

x^2-x-1=0の１つの解をαとおくと，α^2-α-1=0……?A

?@にx=αを代入すると
α^n-α^n-1-1=(α^2-α-1)Q(α)＋aα+b……?B

?A式の両辺にα^n-2をかけると、α^n-α^n-1-α^n-2=0
α^n-α^n-1=α^n-2……?C

?B?Cより、α^(n-2)-1=(α^2-α-1)Q(α)＋aα+b……?D
ここで、f(x)はx=αを解にもつので、f(α）=0
よって、α^(n-2)-1=0
ｎが偶数のとき α=±１
ｎが奇数のとき　α=1

nが偶数のとき±1，nが奇数のとき1のみ
であるから，＜f(α)キ0＞←ここがイマイチしっくりこないのですが、よろしくお願いします
No.7669 - 2012/11/09(Fri) 13:05:43
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
すみません
α^(n-2)-1=0となるのは
x^n-x^(n-1)-1=0がx=αを解にもつからですよね？
それとα＝(1±√5)/2なのに、
ｎが偶数の時はα=±1
ｎが奇数の時はα=1
となり
このときは割り切れてしまうので、矛盾が生じるというような考え方でOKでしょうか？

よろしくお願いします
No.7672 - 2012/11/09(Fri) 13:42:36
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
基本的にご理解頂けていますね．
ただ，いろいろあって答案にするのが難しそうなので解答例を添付しました．
ご参考にどうぞ．
納得であればレス不要です．
No.7673 - 2012/11/09(Fri) 19:40:57