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記事No.7684に関するスレッドです
★ (No Subject) / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
円の接線が半径にたいして垂直のなることを証明したいのですが、よく分かりません。
おしえてください。
No.7683 - 2012/11/10(Sat) 21:57:51
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
コルムさん，おはようございます．
背理法を使うと，以下の方法で証明できます．

直線lが点Oを中心とする円の接線とする．
接点をPとし，直線lとOPが垂直に交わらないと仮定する．
このとき，点Oから直線lに垂線OHを下ろすことができて，直線l上に点Hに関してPと対称な点をP'とする．

△OHPと△OHP’において，
OP共通　∠OHP=∠OHP'=90°　HP=HP'
であるから，この２つの三角形は合同

よってOP=OP'となり，点P'は円周上に存在する．
したがって，直線l上に円周上の2点P,P'が存在することとなり，直線lが接線であることに矛盾（接線は円と共有点を1つしかもたないから）．

ゆえに，直線lとOPは垂直

いかがでしょう？
No.7684 - 2012/11/11(Sun) 06:57:17
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
最後の、直線ｌとOPは垂直であることがよく分かりません。
No.7685 - 2012/11/11(Sun) 13:03:55
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
「垂直じゃない」と仮定して矛盾がおきるので，「垂直」なのですが．
もしかして背理法をご存じありませんか？
No.7691 - 2012/11/11(Sun) 16:01:03
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
背理法はわかるのですが、図からなぜ直線ｌはOPに垂直になるのかが分かりません。
No.7695 - 2012/11/11(Sun) 17:22:49
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
円に直線が接しているときのイメージは思い浮かぶと思ったので，
「直線lとOPが垂直に交わらないと仮定」
したときの図を添付しました．

誤解は解けたでしょうか？
No.7697 - 2012/11/11(Sun) 19:16:01
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
あの、図はどこですか？
No.7698 - 2012/11/11(Sun) 19:31:48
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
No.7684に添付したものですけれど・・・
No.7699 - 2012/11/11(Sun) 20:24:28
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
ゆえに、直線ｌとOPは垂直であるという最後の意味が分かりません。
No.7702 - 2012/11/12(Mon) 21:40:31
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
No.7691に書きましたが，もう一度．


命題「AならばB」を証明するのに
『Aを否定するとBではなくなった．だから「AならばB」は正しい』
とするのが背理法です．

今回私は
A「直線lとOPが垂直」B「直線lは円の接線」
として，
Aの否定「直線lとOPが垂直に交わらない」
と仮定．その結果
B（直線lが接線であること）に矛盾
となるとして証明しました．

どうでしょう？
No.7703 - 2012/11/13(Tue) 06:31:01
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
わかりました。ありがとうございました。
No.7706 - 2012/11/13(Tue) 20:08:48