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記事No.7836に関するスレッドです
★ (No Subject) / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
期末テスト直前プリントからの質問です。
ａを正の定数とする。次の問いに答えよ。
（1）ａｓｉｎＸ＋ｃｏｓＸ＝２が　0≦Ｘ＜２πで異なる２つの解を持つためのａの条件を求めよ。
（2）（1）の２つの解をＸ₁,Ｘ₂とする。ｓｉｎ（Ｘ₁＋Ｘ₂）をａの式で表せ。


三角関数の合成を使って　　√ａ²＋1　ｓｉｎ（Ｘ＋α）としてから　どうするか分かりません。よろしくお願いします。
No.7830 - 2012/11/30(Fri) 01:27:47
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
まなさん，おはようございます．
まず本題に入る前に，学年は高校1年生とのことですが，間違いありませんか？
あと，三角関数の和積や積和の公式を学習していますよね．

では本題．合成はokです．
(あ)cosαとsinαの値
(い)αのとりうる値の範囲
(う)sqrt{a^2+1}sin(x+α)のとりうる値の範囲
これらの中でわかるものがあったら，カキコしてください．
お願いします．
No.7831 - 2012/11/30(Fri) 10:57:09
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
中高一貫校なので　今、三角関数と指数を習っています。

ａｓｉｎＸ＋ｃｏｓＸ＝２より
　√ａ²＋1　ｓｉｎ（Ｘ＋α）＝２　　ｓｉｎ（Ｘ＋α）＝２/√ａ²＋1

（あ）ｃｏｓα＝　ａ/√ａ²＋1　　　ｓｉｎα＝１/√ａ²＋1
（い）0≦Ｘ＜２πから　　α≦Ｘ＋α＜２π＋α
（う）　　　　　　　−√ａ²＋1≦ｓｉｎ（Ｘ＋α）≦√ａ²＋1
　　　　　ここから分かりません。よろしくお願いします。

　
No.7832 - 2012/11/30(Fri) 15:09:31
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．レスありがとうございます．

（あ）と（う）はokです．
（い）ですが，これだとx+αのとりうる値の範囲ですね．
sinα>0ですから0<α<πが範囲になります．

では次です．
>−√ａ²＋1≦ｓｉｎ（Ｘ＋α）≦√ａ²＋1
ですから，少なくともsqrt{a^2+1}が2以上でないと，ダメですよね．
で，ちょうど2だとすると，xの値は何個になるでしょう？
これが分かれば見えてきますよ．

追記です．
a>0なので，cosα>0ですから
誤「0<α<π」正「0<α<(π/2)」
ですね．
No.7833 - 2012/11/30(Fri) 17:36:10
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
Xは　２個だと思います。
No.7835 - 2012/11/30(Fri) 17:46:12
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．下にsqrt{a^2+1}が2であるときのグラフと，直線y=2のグラフを挙げておきました．

前回まなさんが書いた
>α≦Ｘ＋α＜２π＋α
の通り，周期は1周期分です．
sinθの値が1になるのは，1周期でθ=π/2のときだけです．
sqrt{a^2+1}=2
であるとき，
sqrt{a^2+1}sin(x+α)=2
を満たすxは
x+α=π/2
を満たすxの1つだけとなります．

ここまでどうでしょう？
No.7836 - 2012/11/30(Fri) 18:04:29
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
このグラフは　Ｘ＝0を代入したら　sqrt{a^2+1}sin(0+α)=sqrt{a^2+1}sinα‥?@
?@にｓｉｎα＝１/√ａ²＋1を代入すると　1になるので、　Ｘ＝0のとき　１を通っているということですか？　
sqrt{a^2+1}＝２のとき、ａ＝√３　　sin(Ｘ+α)=1　　Ｘ＋α＝1/2π　Ｘ＝1/2π−α
　　異なる２つの解を持つためのａの条件は　　ａ≧√３
これで　いいですか？
No.7837 - 2012/11/30(Fri) 23:18:21
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>このグラフは・・・ことですか？
そうですね．
y=sqrt{a^2+1}sin(x+α)
のグラフですが，最初の式の方
y=a sinx+cosx
が，分かりやすいかもしれませんね．

ちなみにa=sqrt{3}のとき，α=π/6です．
>sqrt{a^2+1}＝２のとき、ａ＝√３　　sin(Ｘ+α)=1　　Ｘ＋α＝1/2π　Ｘ＝1/2π−α
からa=sqrt{3}のとき，x=π/3の１つのみ．
なので，異なる2つの解を持つのはa>sqrt{3}のときとなります．
No.7838 - 2012/11/30(Fri) 23:43:08
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
よくわかりました。　（2）の問題ｓｉｎ（Ｘ₁＋Ｘ₂）は　加法定理を使うのですか？
No.7839 - 2012/12/01(Sat) 00:43:20
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
いえ．私も初見はそう思いましたが，残念ながら加法定理ではありません．

sqrt{a^2+1}sin(x_1+α)=sqrt{a^2+1}sin(x_2+α)
が成り立つので，ここからx_1とx_2の関係を導き出します．
勿論sqrt{a^2+1}キ0ですから，
sin(x_1+α)=sin(x_2+α)
続きはどうなりますか？
No.7840 - 2012/12/01(Sat) 04:45:25
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
sin(x_1+α)=sin(x_2+α)になるのは、
ｓｉｎθ＝ｓｉｎ（π−θ）より　Ｘ₂＋α＝π−（Ｘ₁＋α）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝π−Ｘ₁−α
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ₁＋Ｘ₂＝π−２α
ｓｉｎ（Ｘ₁＋Ｘ₂）＝ｓｉｎ（π−２α）＝ｓｉｎ２α
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα　
ｃｏｓα＝　ａ/√ａ²＋1　　　ｓｉｎα＝１/√ａ²＋1より
ｓｉｎ２α＝２・１/√ａ²＋1・ａ/√ａ²＋1＝２ａ/ａ²＋１
　でいいですか？
No.7841 - 2012/12/01(Sat) 09:19:04
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
厳密にやろうとすると結構大変なのですが，素晴らしいです．
それでokですよ．
No.7842 - 2012/12/01(Sat) 09:33:59
☆ Re: / まな ♀ [近畿] [高校１年生]
ありがとうございました。うまく導いていただいたので　解くことができました。
No.7843 - 2012/12/01(Sat) 09:40:01