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記事No.7866に関するスレッドです
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　京都大
宜しくお願いします。
No.7844 - 2012/12/05(Wed) 11:24:09
☆ Re: / minamino [高校１年生]
途中まで考えました。添付しますので、どうか宜しくお願いいたします。
No.7845 - 2012/12/05(Wed) 11:26:01
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
minaminoさん　こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。
まず、左辺の最高次数を調べ１次式になる条件を求める方針は良いと思います。
(?@)2n-1　≧ n+1　(?A)2n-1　≦ n+1　のように、2n-1　＝ n+1が両方に含まれる場合分けは良くありません。
※「重複なく漏れなく分けること」が場合分けの重要なポイントです。
　
(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1　の３つの場合に分けます。
(?@)、(?A)、(?B)それぞれの場合について左辺の最高次数（簡単のため「左辺の次数」と記述）を調べます。
　・ｎの範囲を求める
　・左辺の次数を調べる
　※特に(?A)で　は１つめと２つめの各最高次の項が相殺される場合を検討する必要があるので注意してください。

　・左辺の次数が１になる可能性があるnについて
例えば（n＝2の場合）ｆ(x)＝aｘ^2 + bx + c
　　　　 （n＝1の場合）ｆ(x)＝aｘ + b
　 　　　（n＝0の場合）ｆ(x)＝a
　　　　　などとおいて、左辺を計算し、左辺＝右辺となるa、b、cを求める。

「x=1のとき ∫＝０、右辺＝０なのでｆ(1)ｆ'(1)＝0」を使うと計算が楽になるかも知れません。

（なお解答の記述は不正確な点がありますが、それは後で補正しましょう。）
No.7847 - 2012/12/05(Wed) 18:10:13
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難うございます。
途中まで答案を作成しました。n>=3について全くわかりませんでした。宜しくお願いします
No.7848 - 2012/12/06(Thu) 05:53:32
☆ Re: / minamino [高校１年生]
答案の続きです。最後a,b,cの条件式が多すぎて手がつけられませんでした
No.7849 - 2012/12/06(Thu) 05:57:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 途中まで答案を作成しました。n>=3について全くわかりませんでした。宜しくお願いします
n>=3　のときは　左辺の次数が1となることはありえないと思います。理由を考えておいてください。
No.7851 - 2012/12/06(Thu) 07:23:50
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
>x=1のとき ∫＝０、右辺＝０なのでｆ(1)ｆ'(1)＝0」を使うと計算が楽になるかも知れません
今回の解き方の場合は、これは使わなくても出来ます。ひとまず忘れてください。
問題集の解答解説は、かえって混乱しますの無視します。消してください。
きちんと計算すればそんなに難問ではありません。明日、いっしょに解決していきましょう。
No.7853 - 2012/12/06(Thu) 21:41:00
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 答案の続きです。最後a,b,cの条件式が多すぎて手がつけられませんでした
a≠０として議論を進めるべきです。条件式は一つずつ使って絞って行きましょう。
No.7854 - 2012/12/06(Thu) 21:59:17
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >n>=3　のときは　左辺の次数が1となることはありえないと思います。理由を考えておい>てください。
> 考えましたが分かりませんでした。
もう少し自分で考えてみて下さい。
n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
No.7855 - 2012/12/06(Thu) 23:15:10
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=2 のときの自分の解答一部変更しました。No.7849
No.7856 - 2012/12/07(Fri) 05:13:59
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
ｎの式で表すというのがわかりませんでした。
　それと、夜(毎晩)５時半以降は夜の１０時半まで塾で、その後宿題などをするので朝しか返信できません。昼は、学校にパソコンを持っていっているのでいつでも可能です。
No.7857 - 2012/12/07(Fri) 05:16:16
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
> ｎの式で表すというのがわかりませんでした。
がんばってますね。（私は職場では無理なので夕方細かく拝見しますが取り急ぎ）
具体的に調べ表にすることは非常に良いことですそこから一般の法則が見つけやすくなりますし、納得もし易いです。

さて一般の多項式ＡとＢについて
Ａの次数＞Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数＝Ａの次数
Ａの次数＜Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数＝Ｂの次数
Ａの次数＝Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数≦Ａの次数＝Ｂの次数です
言い換えると
Ａの次数とＢの次数が異なるとき（Ａ＋Ｂ）の次数＝max（Ａの次数、Ｂの次数）
Ａの次数とＢの次数が等しいとき（Ａ＋Ｂ）の次数≦max（Ａの次数、Ｂの次数）＝Ａの次数＝Ｂの次数　です
※この問題ではＡ＝ｆｆ’、Ｂ＝∫ｆです
　例えば
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-x^2）の次数は３

　（x＋1）＋（x^2）の次数は２

　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（x^3）の次数は３
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3）の次数は２
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3-x^2）の次数は１
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3-x^2-x）の次数は0　です
ここまではいいですか？

そうすると元の問題で(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1のうち
(?@)　と　(?B)　の場合の（ｆｆ’＋　∫ｆ）の次数は分かる（ｎの式で表される）と思いますがどうでしょうか？　

それとｆの次数ｎ＝０のときも調べる必要があると思います。（f(x)=c定数も多項式の一種と考えるべきなので）
No.7858 - 2012/12/07(Fri) 07:05:20
☆ Re: / minamino [高校１年生]
朝早くから返信有難うございます。何度と読んだのですが、良く分かりませんでした。
ただ、n>=3のとき、右辺が１次式にならない理由を書いてみたので読んでください。
No.7859 - 2012/12/07(Fri) 13:25:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=1,n=0のときの吟味です。宜しくお願いしますs。
No.7860 - 2012/12/07(Fri) 14:40:34
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=2 のときです。宜しくお願いします.
No.7861 - 2012/12/07(Fri) 14:54:08
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 朝早くから返信有難うございます。何度と読んだのですが、良く分かりませんでした。
> ただ、n>=3のとき、右辺が１次式にならない理由を書いてみたので読んでください。
まちがいではないですが、答案では途中の「n=3のときは」から「・・最高次数の差１つずつ大きくなっていく。」までの記述はなくても良いと思います。
No.7862 - 2012/12/08(Sat) 00:01:23
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> n=1,n=0のときの吟味です。宜しくお願いしますs。
「n=0のとき　Aはx^-1=1/x」はまちがってます。f'(x)=0ですからf(x)f'(x)=0です。
したがって、その後の結論もまちがいです。AとBの和が一次式になることはあります。
No.7863 - 2012/12/08(Sat) 00:08:14
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> n=2 のときです。宜しくお願いします.
一番最後の式は、間違ってます。　＝4/9ではなく　＝-4/9です

a(2a+1/3)=0, a≠0なのでa=-1/6…?@　
※最高次の係数ですからa≠0です。f(x)=ax^2+b+cとおくときにa≠0も明記しておきます

b(3a+1/2)=0,これは?@a=-1/6のとき成立

b^2+c(2a+1)=4/9　
　これに a=-1/6を代入して整理すると
（計算してください）…?B

c(b-1)-a/3-b/2=-4/9
　これに　a=-1/6を代入して整理すると
　(b-1)(c-1/2)=0。途中の計算は自分で確認してください
　よってb=1またはc=1/2

b=1のとき　　b=1を?Bに代入　cだけの式になります、計算して解いてください。
c=1/2のとき　c=1/2を?Bに代入　bだけの式になります、計算して解いてください。
以上整理すると・・・・
No.7864 - 2012/12/08(Sat) 00:27:52
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>「n=0のとき　Aはx^-1=1/x」はまちがってます。f'(x)=0ですからf(x)f'(x)=0です。
>したがって、その後の結論もまちがいです。AとBの和が一次式になることはあります。
間違いを正しました。見てください。宜しくお願いします
No.7865 - 2012/12/08(Sat) 06:02:33
☆ Re: / minamino [高校１年生]
先生の誘導にそってa,b,cを求めてみました。
昨日作成したn>=3,n=0,n=1の自分の議論はグタグタで、もっとちゃんとしたものにしたいのですが、こんな答案でいいのでしょうか？先生の模範解答をしりたいのですが。
No.7866 - 2012/12/08(Sat) 06:08:42
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
おはようございます。
ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。

ｎ＝２のときは、だいたいできましたね。
・最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。

・２行め　「?@からａ≠０なので　２ａ＋1/3＝0」は「?@からａ≠０」と誤解されます。
「?@とａ≠０から　２ａ＋1/3＝0」あるいは「?@から２ａ＋1/3＝0(∵ａ≠０）」の方が良いでしょう。
No.7867 - 2012/12/08(Sat) 07:28:51
☆ Re: / minamino [高校１年生]
おはようございます。

> ・minaminoさんは微積分（数?V？）は、どこで（どうやって）習っておられますか？
まだ、高１なので数?Vはやってません。高２からはじめると思います。
> ・それと、ずいぶん昔の入試問題ですが出典（問題集）名は何ですか？
問題集は、研数書院の　解法のクルー　数学?Uｐ２４８　佐藤恒雄　著
これから、病院なので、指摘された箇所を夕方までには、直してレスします。
No.7868 - 2012/12/08(Sat) 08:02:47
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1　の３つの場合
としてますが、n=0の場合はf(x)f'(x)の次数は０であり2n-1ではないので、別にしたほうがよかったかも知れません。

とはいえ、受験本番では、限られた時間（1問20〜30分）内で答案に表現していくのですから、完璧を求める必要はないと思います。自然な流れの考察を大切にした方がいいと思います。
途中で例外などの見落としに気づいた場合、元に戻って書き直すと手戻りになり時間不足のおそれもあります。大きな流れを大切にし、重要性と残り時間を考えて補正する方が良いでしょう。できれば行間を空けるなど補正しやすい答案にし、消しゴムで消さずに直すのが良いでしょう。
No.7869 - 2012/12/08(Sat) 09:32:57
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。
正して、添付しましたが、１つ質問ができました。添付の中に書いてあります。おねがいします。
>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
どこの式か探すことができません。何番目のレスでしょうか。
>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
これは、正しておきました
No.7870 - 2012/12/08(Sat) 12:30:09
☆ Re: / minamino [高校１年生]
それと、大変あつかましいのですが、この問題の類題で見てほしい問題があるんです。
出展　東邦大　解法のクルー?U　
No.7871 - 2012/12/08(Sat) 12:35:10
☆ Re: / minamino [高校１年生]
この答案で考え方は正しいでしょうか。すみません。何度も。これも本の解説がn>=3のときは、適さないとだけ書かれているので、見てください。
No.7872 - 2012/12/08(Sat) 12:38:53
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。
> 正して、添付しましたが、１つ質問ができました。添付の中に書いてあります。おねがいします。
(ax^0)'=a'=0　でも間違いではないですが、採点者が間違うおそれがありますし、時間のむだで、しつこい感じがします。教科書かメイン参考書の記述法はどうなっていますか？
(ax^0)'=0とした方がいいと思います。
最初に（なお解答の記述は不正確な点がありますが、それは後で補正しましょう。）いったのは、この定積分の計算と、ｎは自然数とされた（０を含んでいない）ところです。）

>>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
>どこの式か探すことができません。何番目のレスでしょうか。
7866です。

類題も見ておきます。問題集の解答（解説？）は省略しすぎですので本番では不十分だと思います。（もう少し解答・解説がていねいなものを使われたほうが良いですよ。まあ、そのためにこのサイトが役に立つわけではありますが）
No.7873 - 2012/12/08(Sat) 16:02:39
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> この答案で考え方は正しいでしょうか。
良いと思います。
ここは、あまり時間を掛けずにメイン部分（n=2のとき）に時間と紙面を使う方が良いと思います。
No.7874 - 2012/12/08(Sat) 16:33:58
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
答案（案）　ひとつの解答例です。（※積分範囲は省略しています）
g(x)=f(x)f'(x) + ∫f(t)dt とおくと（※記述量を減らすためですおかなくてもいいです）
g(x)=(4/9)x + (4/9) より　g(x)は１次式である
f(x)の次数をｎとしたときの　g(x)の次数を調べる。

f'(x)の次数はｎ−１なので　※この京大入試の場合、証明なしに使って良いと思います。
f(x)f'(x)の次数はｎ+ｎ−１＝２ｎ−１である。（※ただし、ｎ＝０のときはf(x)f'(x)＝０で次数は０）※このことは後で気づいたのでここに書きました。もう一つ前で場合分けしたほうが厳密です。

∫f(t)dtの次数はｎ+１である。※この京大入試の場合、証明なしに使って良いと思います。

（１）f(x)f'(x)の次数＞∫f(t)dtの次数;（２ｎ−１＞ｎ+１）　すなわちｎが３以上のとき
　　　g(x)の次数は２ｎ−１であり５以上となり不適

（２）f(x)f'(x)の次数＝∫f(t)dtの次数;（２ｎ−１＝ｎ+１）　すなわちｎ＝２のとき
（f(x)f'(x)と∫f(t)dtの３次２次の項がそれぞれ相殺される場合がある）
　　　f(x)=ax^2+bx+c,(a≠0)とおくと
　　　f(x)f'(x)=(ax^2+bx+c)(2ax+b)=2(a^2)(x^3)+3ab(x^2)+(b^2+2ac)x+bc
　　　∫f(t)dt=[(a/3)(t^3)+(b/2)(t^2)+ct]=(a/3)(x^3)+(b/2)(x^2)+cx - (a/3)-(b/2)-c
よってg(x)=(2a^3+1/3)x^3 + (3ab+b/2)x^2 + (b^2+2ac+c)x + (cb-a/3-b/2-c)
一方　g(x)=(4/9)x + (4/9)なので、係数を比較すると
　　　?@・・
　　　以下はminaminoさんの最終答案で良いと思います。
No.7875 - 2012/12/08(Sat) 18:12:50
☆ Re: / minamino [高校１年生]
おはようございます。7866の転記ミスみつけることがきました。今回は、実践的な答案の書き方まで丁寧に指導して下さり有難うございました。今後は本番を意識した答案を練習するようにします。また、類題にまで目を通して頂き今回は本当に有難うございました。
No.7876 - 2012/12/09(Sun) 06:02:01