リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

引用

３つの集合のド・モルガンの法則について詳しく教えてください。ネットでも検索したのですが、詳しく扱っているサイトはありませんでした。宜しくお願いします。

No.7878 - 2012/12/11(Tue) 12:53:18

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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こんばんは．
3つの集合の場合も基本的には2つの集合の場合に落とせます．

例えば(x+y+z)(x+y-z)を計算する時どうでしょう．知っている公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2が使えそうですよね．そのためにはx+y=wと置けば(w+z)(w-z)となり，答えは新しく置いた文字wを用いてw^2-z^2と求まりますね．ここに，w=x+yを代入して(x+y)^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2と簡単に答えが求められます．

今，minaminoさんは2つの集合の場合のド・モルガンの法則を知っています．上の例を参考にしてminaminoさんが挙げられた青字の4つの例に対して同じようなこと(置き換え，計算，置き換えを元に戻す)をしてみて下さい．

No.7880 - 2012/12/11(Tue) 17:58:47

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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宜しくお願いします。置き換え，計算，置き換えを元に戻すとやってみましたが、まったく違うことをやっているような気もするので、１例だけやって添付しました、見てください。

No.7885 - 2012/12/12(Wed) 05:38:17

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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こんばんは＼(^▽^)／！回答が遅くなって申し訳ありません．

>まったく違うことをやっているような気もするので
大丈夫です，完璧ですよ．

以下，Aの補集合を[A]と書きます(いわゆる「Aバー」)．

集合に関する交換法則が成り立つから
[A∪[B]∪C]=[A∪C∪[B]]
だし，結合法則が成り立つから
=[(A∪C)∪[B]]
ですね．()内を集合Dとして，ドモルガンの法則を用いると
=[D]∩B
=[A∪C]∩B
=[A]∩[C]∩B
交換法則より
=[A]∩B∩[C]

他にもA∪[B]をEと置くと
[A∪[B]∪C]
=[(A∪[B])∪C]
=[E∪C]
=[E]∩[C]
=([A∪[B]])∩[C]
=[A]∩[[B]]∩[C]
=[A]∩B∩[C]
ともできますね(当然，どのように置き換えても同じ結果にあります)．

さて，以上が本当にあっているのかを確認する方法があります．3つの集合の場合のベン図は描けるでしょうか？実際に，[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]の部分を塗ってみると一致しているのがわかります．3つの場合のベン図を知らなければ調べるか，その旨，書き込んでください，対応します．

3つ以上のものを扱うときには，２つの場合について知っている公式を使えるように，一部を別の文字で置き換えて２つの場合に落とし込むというのは有効な手段の1つです．これを機に，こういう考え方も頭に入れておくと良いでしょう．

余談ですが，No.7880では，ただ単に一部を置き換えてやってくださいと書きましたが，こういうことができるのは，

[A∪[B]∪C]=[(A∪[B])∪C]が成り立つ

つまり集合に関する結合法則が成り立つからです．そして，minaminoさんのようにA∪C=Dと置けるのは，回答に書かれているように交換法則が成り立つからですね．こういった性質があるから，今回のような交換や置き換えができるということも意識してください．

さて，以上までが理解できていればminaminoさんが最後に挙げられた問題

[A∩[B∩C]]

も解けますね．

No.7887 - 2012/12/12(Wed) 19:08:23

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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宜しくお願いします。解説にあった「集合に関する結合法則が成り立つからです」が大変勉強になりました。[A∩[B∩C]]についてやってみましたので見てください。
　それと、３つの集合のベン図は今までずっと逃げてきまして、今から少し勉強して
，[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図を描いてみようとおもいますので宜しくお願いします。

No.7889 - 2012/12/13(Thu) 05:10:56

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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宜しくお願いします。[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図を描いてみたので見てください。

No.7890 - 2012/12/13(Thu) 14:55:04

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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こんにちは．

No.7890のベン図については正しく描けていますね．

No.7889ですが，集合の性質に誤解があるようです．

(P∩Q)∪RとP∩(Q∪R)が違う集合であるというのはわかりますか？P=φ(空集合)とすると，

(P∩Q)∪R=(φ∩Q)∪R=φ∪R=R
P∩(Q∪R)=φ∩(Q∪R)=φ

となりますから，明らかに違いますね．もちろんベン図を塗りつぶして比較しても全く違う集合だというのがわかります．ですから，P∩Q∪Rと書いたのではどちらに解釈して良いのかわからないので通例，カッコを用いて意味をはっきりさせます．

(P∩Q)∩R=P∩(Q∩R)=P∩Q∩R
(P∪Q)∪R=P∪(Q∪R)=P∪Q∪R
は結合法則より正しいです．しかし∩と∪が混ざっている場合
(P∩Q)∪R=(P∪R)∩(Q∪R)
(P∪Q)∩R=(P∩R)∪(Q∩R)
のように分配法則により展開されます．

以上を踏まえて，もう一度，例5を解いてみて下さい．

No.7891 - 2012/12/13(Thu) 15:39:11

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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宜しくお願いします。今回も自信がありません。。無茶苦茶なことをやっている気がします。集合の分配法則については、今までに一度も練習したことがなく、どのような問題(場面)で利用するのかもわかりません。ただ、前から集合の分配法則については勉強しようと思っていたので、是非この機会に教えてください。

No.7892 - 2012/12/14(Fri) 05:05:41

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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こんにちは(^。^)／毎朝早いですね．

早速質問に答えていきますね．

各ベン図を四角で囲っていますが，この意図はなんでしょうか？この四角が全体集合Uを表しているとすれば，[A]∪Bは(ア)でも(イ)でもありません．これについては添付図をご覧下さい．周囲の四角が単なる図の見やすさのために設けたものである，すなわち全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属するならば，(ア)が正しいです．

以下，四角は単に図の見やすさのために区切っているものだと解釈してお答えします．

[A∩[B∩C]]，[A]∪(B∩C)のベン図はいずれも正解です．

添付ファイルの右側の緑枠内に書かれている[A]∪(B∪C)は[A]∪(B∩C)の書き間違いだと思うので，そのように解釈します．

[A]∪(B∩C)=([A]∪B)∩([A]∪C)の式変形は正しいですし，ベン図も正しく描けています．

緑点線枠内の式変形，ベン図とも正しいですよ．

最後の「疑問」についてですが，一般に[A]∪B=Bは正しくありません．すべての要素がAまたはBに属する，すなわち[A∪B]=φであれば，[A]∪B=Bは正しいです．

No.7893 - 2012/12/14(Fri) 16:02:20

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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おはようございます。実はこの問題でベン図を描くとき、先生が例であげられたベン図を描き考え始めました。、すると、[A∪B∪Ｃ]の部分を塗りつぶしていたら汚い図になり考えずらく、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属すると解釈してベン図をかきました。問題によって明らかにわかるときもあるのですが、この問題のように全体集合Uを考えるのか、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属する[A∪B∪Ｃ]=φと解釈していいのかわかりません。

No.7894 - 2012/12/15(Sat) 05:55:39

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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>問題によって明らかにわかるときもあるのですが、この問題のように全体集合Uを考えるのか、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属する[A∪B∪C]=φと解釈していいのかわかりません。

とのことですが，一般の場合は前者の解釈です．後者の解釈は[A∪B∪C]=φという条件があるような特殊な場合に過ぎません．こういう意味からは，前者の解釈，すなわち全体集合を考えておく方が安全と言えます．実際に，両方の解釈でベン図を描いてみると分かりますが，後者の解釈で塗りつぶされた部分は，前者の解釈で塗りつぶされた部分のうち，[A∪B∪C]を取り除いた領域になっているはずです．これは後者の解釈では[A∪B∪C]=φのために，元から考えていなかった領域だからですね．
よって，(前者の解釈で得られる集合)⊃(後者の解釈で得られる集合)であり，前者の方が良いです．

もし，どんな場合にUを考えるべきか否か迷うのか，実際の問題を例に挙げて質問して頂ければ，お答えします．

No.7895 - 2012/12/15(Sat) 13:58:31

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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宜しくお願いします。添付した問題(出展　本質の演習　昭和女子大)ですが、[A∪B∪C]=φで考えました。解説には□で囲ったベン図が掲載されていました。□にはU(全体集合)と書かれていませんが、□で囲うということは全体集合を考えているとみなしていいですよね。

No.7896 - 2012/12/15(Sat) 15:35:58

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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変更中。変更中。変更中。訂正中です。

No.7897 - 2012/12/15(Sat) 15:53:10

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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分配法則より
(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C)

分配法則とドモルガンの法則より
(A∩[B])∪(A∩[C])=A∩([B]∪[C])=A∩[B∩C]

B∩C=Dの置き換え，結合法則，分配法則とドモルガンの法則より
([A∩B∩C])∩C=([A∩D])∩C=([A]∪[D])∩C=([A]∪[B∩C])∩C=([A]∪([B]∪[C]))∩C=([A]∪[B]∪[C])∩C=([A]∩C)∪([B]∩C)∪([C]∩C)=([A]∩C)∪([B]∩C)∪φ=([A]∩C)∪([B]∩C)=([A]∪[B])∩C

ドモルガンの法則より
[A]∪[B]=[A∩B]

のように演算だけですべてが解けます．そして注目するべきは，常に成立するドモルガンの法則，結合法則，分配法則しか使っていないことです．よってこの結果は全体集合Uに依存しません．よって[A∪B∪C]=φとしてもしなくても選ぶ選択肢は変わりません．

しかし，筆記試験この問題が出たときに[A∪B∪C]=φとしたベン図を描くと

出題者「いつ誰が[A∪B∪C]=φだと言った？」

と減点される可能性を否定できません．やはり全体集合は図示するべきでしょうね．

No.7898 - 2012/12/15(Sat) 16:12:10

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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それと、今回集合の演算が出てきたのでついでにみてもらいたい問題があります。厚かましくすみません。

No.7900 - 2012/12/15(Sat) 16:55:36

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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問題は解けました。集合を使わずとも中学生、小学生でも解ける問題だと思います。ただ解説がさっぱりわかりません。どうぞ宜しくお願いします。

No.7901 - 2012/12/15(Sat) 16:57:46

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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実際には，直感的にこの式が立てられることが望ましいです(もちろんベン図で確認しながらやるとなお良いです)．

(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])
=((A∩B)∩C)∪((A∩B)∩[C])
=(A∩B)∩(C∪[C])
=(A∩B)∩U
=A∩B

となります．Uは全体集合です．もちろん，展開の仕方は何通りもありますから，何通りもの解き方があります．上で示した解き方は最も直感に訴えると思われるものです．特に2行目から3行目が重要です．「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」の和集合は，A∩Bだという事実．簡単な例え話をしましょう．

二択クイズがあって，○だと思う人は○と書かれた枠に，×だと思う人は×と書かれた枠に移動するルールだとします．男子25人，女子15人のクラスでこれを行い，全員がどちらかの枠に移動したとします．○と答えた男子の数は分かりません，×と答えた男子の数も分かりません．でもわかるものがありますよね．それは○か×と答えた男子の数です．その数は25人．これを集合の記号を用いて考えてみます．

男子の集合をP，○と答えた人の集合をQとします．当然ですが×と答えた人の集合は[Q]です．○と答えた男子の集合はP∩Q，×と答えた男子の集合はP∩[Q]ですが，その要素数は分かりません．しかし，○と答えた男子と×と答えた男子の和集合は結局，男子全員なのでわかります．そしてその集合は(P∩Q)∪(P∩[Q])なのです．

したがって，(P∩Q)∪(P∩[Q])=Pというのは是非，瞬時に分かるようになっておいたほうがよいでしょう．この式のPに(A∩B)を，QにCで置き換えると最初の式になります．

(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])はどうでしょうか．

=((A∩B)∩C)∩((A∩B)∩[C])

ですが，「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」の共通部分を意味しますが，こんなものはありませんよね．前者はCに含まれますが，後者は[C]に含まれます．Cと[C]に共通部分はないですから，結局「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」にも共通部分はありません．

先ほどの例えでいきましょう．

(P∩Q)∩(P∩[Q])

○と答えた男子と×と答えた男子の両方に属する人はいるでしょうか．どちらかしか答えられないのでいません．

よって，同じようにして(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])=φがわかります．

さて，

(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])=A∩B　…(ア)

(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])=φ　　…(イ)

は何を意味するでしょうか．(ア)式より(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])の両方を塗るとA∩Bになるということです．そして(イ)式より(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])に重なりはない．

どういうことか．すなわち，A∩Bは重なりなく(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])の2つの集合に分けることができるのです．よって，要素数は分けたあとの2つの集合要素数の単なる和で洗わせて

n(A∩B)=n(A∩B∩C)+n(A∩B∩[C])

とできるのです．重なりがある場合は，そのダブルカウント分を引かなければなりませんが，(イ)式より重なりはないのでこれで大丈夫です．

No.7902 - 2012/12/15(Sat) 18:57:01

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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7902 返信有難うございます。まず、順にベン図から直してみました。全体集合でベン図を描くと分からなくってしまいました。汚いベン図で申し訳ありません、実践では、色付けできないので左斜線と右斜線とドットで表しました、ベン図で〔A∨B∨C〕がこんがらがってしまってます。具体的に添付にも疑問として表しておきました。

No.7903 - 2012/12/16(Sun) 05:48:01

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図描きなおしました。

No.7904 - 2012/12/16(Sun) 06:44:15

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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7892についても再度書き直しました。見てください。宜しくお願いします。

No.7905 - 2012/12/16(Sun) 07:18:07

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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7896(2)のベン図です、(A∩[B])∪(A∩[C])です。〔A∩B∩C〕の部分は塗るのでしょうか。

No.7906 - 2012/12/16(Sun) 07:58:29

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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B∩C=Dの置き換え，結合法則，分配法則とドモルガンの法則より
([A∩B∩C])∩C=([A∩D])∩C=([A]∪[D])∩C=([A]∪[B∩C])∩C=([A]∪([B]∪[C]))∩C=([A]∪[B]∪[C])∩C=([A]∩C)∪([B]∩C)∪([C]∩C)=([A]∩C)∪([B]∩C)∪φ=([A]∩C)∪([B]∩C)=([A]∪[B])∩C
自分でやってみました。

No.7907 - 2012/12/16(Sun) 10:05:29

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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7902に関してはある程度理解できたつもりです。それで臨んだ問題ですが、手がでません。

No.7908 - 2012/12/16(Sun) 11:23:33

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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お願いします。

No.7909 - 2012/12/16(Sun) 11:26:28

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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今晩は！頑張ってますねぇ！

No.7903について

添付ファイル中段右の([A]∪B)∩([A]∪C)のベン図が間違っていますね．どうして，左斜線，右斜線，ドットの3種類の記号が使われているのでしょうか．このような描き方をしては混乱の元です．([A]∪B)∩([A]∪C)というのは([A]∪B)と([A]∪C)の共通部分を取れ，ということです．ですから，([A]∪B)を左斜線で([A]∪C)を右斜線で塗り，その共通部分を塗りつぶすべきです．

下段のA∩[B∩C]も同じようにAを左斜線，[B∩C]を右斜線で塗り，その共通部分を取るようにします．

No.7904について

正確に描けています．

No.7905について

正確ですね．まあ塗り間違いでしょうけれど，一番右下の図において，A∩C∩[B]の領域に斜線がかかっていますが，この領域は塗っていはいけませんね．

No.7906について

[A∪B∪C]を塗ってはいけません．(A∩[B])∪(A∩[C])ですから，(A∩[B])と(A∩[C])の共通部分を塗るんですよね．(A∩[B])は左側の図のオレンジ枠内，(A∩[C])は中央の図のオレンジ枠内のみを表していますね．その周囲は含みません．よって，それらの共通部分にも当然のことながら[A∪B∪C]を含みません．

No.7907について

式変形は正しいですが，「交換法則」とあるのは正しくは「結合法則」ですね．

No.7909について

(A∩B∩C)∪(A∩[B]∩[C])はどういう考えから出てきた式ですか？

No.7910 - 2012/12/16(Sun) 17:28:32

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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一つ一つ細かく見て頂き有難うございました。ベン図は、まだ不安が残りますが、そこは復習していきたいと思います。
>No.7909について

>(A∩B∩C)∪(A∩[B]∩[C])はどういう考えから出てきた式ですか？
そもそも、前題の(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])がどこから立式できたのか理解できていませんでした

No.7911 - 2012/12/17(Mon) 06:39:39

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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>No.7909について,ベン図で解いてみました。前題のように、高校生らしい？考え方はないのでしょうか。

No.7912 - 2012/12/17(Mon) 09:24:45

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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こんばんはー．

No.7912ですが，それが最もオーソドックスな「高校生らしい」解き方だと思います．もともと，前題も解説には難しく書いてありますが，No.7911のベン図を表しているに過ぎません．敢えて，集合の演算で解くなら次のようにすると良いでしょう．とは言え，結局はベン図を見ながら立式するわけですから，ただ単に難しく書いただけのあまりメリットのない解き方ではあります．

解
D=A∩[B]∩[C]，E=A∩B∩[C]，F=A∩[B]∩C，G=A∩B∩Cとする．

D∩E=(A∩[B]∩[C])∩(A∩B∩[C])=A∩(B∩[B])∩[C]=A∩φ∩[C]=φ

同様に，D∩F=D∩G=E∩F=E∩G=F∩G=φ

D∪E∪F∪G
=(A∩[B]∩[C])∪(A∩B∩[C])∪(A∩[B]∩C)∪(A∩B∩C)
=A∩(([B]∩[C])∪(B∩[C])∪([B]∩C)∪(B∩C))
=A∩((B∩([C]∪C))∪([B]∩([C]∩C)))
=A∩((B∩U)∪([B]∩U))
=A∩(B∪[B])
=A∩U
=A

よって，集合AはD,E,F,Gにより隙間なく埋められ，かつD,E,F,Gはどの2つも互いに共通部分を持たないから，Aは重なりなくD,E,F,Gに分けられる．よって，要素数について

n(A)=n(D)+n(E)+n(F)+n(G)

求めるのはn(D)より，n(D)=n(A)-n(E)-n(F)-n(G)

No.7913 - 2012/12/17(Mon) 20:58:11

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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↑の解答が，前題のように，重なりなく集合を分割して解く方法ですが，n(E)やn(F)を求める労力がn(D)を求める労力とそれほど変わらず，時間だけが掛かる意味のない解き方だと思います．

実際に解く際には，

1)重なりがあっても良いから，要素数を数えやすい集合に分ける
2)重複した部分を最後に調整する

という方法が良いです．重なりなく分けることにこだわると，それぞれの集合の要素を数えるのが難しくなります．

こういうわけで，No.7912が，計算量が最も少ないベストな解き方だと思われるということを伝えておきます．

No.7914 - 2012/12/17(Mon) 21:03:42

☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]

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無理を言って解答7913を作成してくださり、有難うございました。
>時間だけが掛かる意味のない解き方だと思います
集合の演算の練習にはなると思うので１行１行移しながらこれから理解しようと思います。難関大の数学を目標にするなら、7913 の集合の演算はできた方がいいですよね。
　それと7908 で質問した問題で、15と18の倍数でないものとありますがこの解釈に悩んでいます。15と18では数が大きいので,2と3にしました。自分なりに不安なことをまとめてみましたので、見てアドバイスをください

No.7915 - 2012/12/18(Tue) 04:52:25

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

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いい質問ですね．

質問1
2かつ3の倍数でない　と　2の倍数でなくかつ3の倍数でないの違いが分からない

→前者は[A∩B]の記号通りに日本語に直して，『「2の倍数である数でかつ3の倍数である数」でない数』です．一方，後者は[A]∩[B]という記号通りに訳して『2の倍数でない数でかつ3の倍数でない数』ということになります．すると，前者が言わんとしていることは「」内が要は6の倍数のことですから，「6の倍数でない数」ということであり，後者は「2の倍数でも3の倍数でもない数」を意味します．よって，前者には2や3は含まれますが，後者には含まれません．「2かつ3の倍数でない」という日本語はそもそも怪しいですし，このように訳してしまっては意味がとりづらいでしょう．

質問2

[A]∪[B]は，『2の倍数でない数または3の倍数でない数』，[A∪B]はA∪Bの否定ですから，『「2の倍数である数または3の倍数である数」でない数』になります．前者は，2の倍数でないか，3の倍数でないのどちらかさえ満たしていれば集合に入れます．例えば，4などは2の倍数ではありますが，3の倍数ではないので4∈([A]∪[B])です．一方，「後者は2の倍数と3の倍数の少なくとも一方に属する数」以外の数の集合ですから，4は2の倍数なので，除外されてしまい，4は[A∪B]に含まれません．

あと，添付ファイルの一番下に各集合の要素を挙げられていますが，間違っています．例えば，下の添付ファイルには[A]∩[B]の部分を赤く塗りつぶしてありますが，6,12,18,…なんて含まれませんね．

[A∩B]もベン図を描いてみると一目瞭然なので，ぜひやってみてください(別に添付する必要はありません)．

No.7916 - 2012/12/18(Tue) 18:13:51

☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]

引用

添付し忘れました．