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記事No.7940に関するスレッドです
★ (No Subject) / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
ｐ，ｑを正の実数とする。Ｘの方程式Ｌｏｇ10（ｐＸ）・Ｌｏg10（ｑＸ）＋1＝0が
１より大きい解をもつとき、点（Ｌｏｇ10ｐ，Ｌｏg10ｑ）の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

（Ｌｏｇ10　ｐ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）（Ｌｏg10　ｑ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）＋１＝0
（Ｌｏｇ10　ｐ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）（Ｌｏg10　ｑ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）＝Ｌｏg10　1/10
ここまで　変形したのですが、　よくわかりません。お願いします。
No.7930 - 2012/12/19(Wed) 19:51:06
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
きいさん，こんばんは．朱雀と申します．挨拶を忘れずに．

p,qを正の実数とするxの方程式log{10}px・log{10}qx+1=0が1より大きい解を持つとき，点(log{10}p,log{10}q)の存在する範囲をpq座標平面上に図示せよ．

との解釈でよろしいですか．

さて，与えられた方程式は確かに次のように変形できます．

(log{10}p+log{10}x)(log{10}q+log{10}x)=log{10}(1/10)

この方程式の解をやはり知りたいものです．でもxについて解こうにもlog{10}xという形で登場しますから，簡単には解けそうにない．ここで考えてみて下さい，xの値を直接求めようとしなくても，先に方程式を満たすt=log{10}xの値を求めれば，x=10^tと求められますね．でもきいさんの行った変形は

(log{10}p+t)(log{10}q+t)=log{10}(1/10)

右辺が0ならこれでいいです．しかし右辺が0でない時にこのような変形をして解を求められるでしょうか．この点について再考し，t=log{10}xの置き換えの下，与えられた方程式をtについて解いてください．
No.7931 - 2012/12/19(Wed) 21:32:43
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
（log［10］ｐ＋ｔ）（log［10］ｑ＋ｔ）＋1＝0
ｔ²＋（log［10］ｐｑ）ｔ＋log［10］ｐlog［10］ｑ＋1＝0
これでいいですか？
No.7932 - 2012/12/19(Wed) 23:15:51
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，そうですね．
さてこれで，xの方程式がtの方程式に変わりました．
x＞1なる解を持つ，というのはtを用いればどういうことでしょうか．
No.7933 - 2012/12/20(Thu) 00:39:10
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
返信ありがとうございます。
Ｘ＞1より　　log［10］Ｘ＞log［10］1
　　　　　　　　　　ｔ＞0になります。
　ｔ＞0なにで
　Ｆ（ｔ）＝ｔ²＋（log［10］ｐ+log［10］ｑ）ｔ＋log［10］ｐlog［10］ｑ＋1は　
　下に凸のグラフで　?@Ｄ≧0　　?AＸ＝1のとき　Ｙ＝Ｆ（ｔ）の軸＞0　　　　　　　?@より　（log［10］ｐ+log［10］ｑ）²−4（log［10］ｐlog［10］ｑ＋1）≧0
?Aより　　−log［10］ｐ−log［10］ｑ/2＞0
　　２次関数のようにやってみましたが合ってますか？
　　　　　　　　　　
No.7934 - 2012/12/20(Thu) 01:05:58
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，t＞0で正解です．
方程式
F(t)=t^2+(log{10}p+log{10}q)t+log{10}plog{10}q+1=0
がt＞0という解を少なくとも1つ持てば良いわけです．
これはきいさんのおっしゃるとおり，2次方程式の解の配置問題となります．
しかし，条件が間違っているようですね．

t＞0なる解を少なくとも1つ持つためには，判別式D≧0は当然として，F(t)の軸が正の時だけでしょうか．軸が0，或いは負の時でも，それぞれある条件を満たせばt＞0を満たす解が存在しますね．ここは，この問題に限らず，重要なポイントですので，もう一度考えてみて下さい．
No.7935 - 2012/12/20(Thu) 01:19:46
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
Ｄ≧0より　（log［10］ｐ+log［10］ｑ）²−4（log［10］ｐlog［10］ｑ＋1）≧0
　　　　（log［10］ｐ-log［10］ｑ）²−4≧0
　　　　（log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2）（log［10］ｐ-log［10］ｑ-2）≧0
　　　　log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2≧0　log［10］ｐ-log［10］ｑ-2≧0
　　　またはlog［10］ｐ-log［10］ｑ＋2≦0　log［10］ｐ-log［10］ｑ-2≦0
　　　これでいいですか？
No.7936 - 2012/12/20(Thu) 01:51:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
D≧0の解はそれで良いですが，今，質問しているのはtに関する2次方程式F(t)=0がt＞0なる解を持つための条件です．

1つはきいさんが先に挙げられた

D(t)≧0かつF(t)の軸が正の時

です．本当に，この場合しかt＞0となる解を持ちませんか？これに関しては，1年生時に学習していると思いますが．
No.7937 - 2012/12/20(Thu) 16:15:33
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
Ｄ（ｔ）≧0　より
（log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2）（log［10］ｐ-log［10］ｑ-2）≧0
log［10］ｐ＝Ｘ　log［10］ｑ＝Ｙとする。
?@Ｘ−Ｙ−2≧0　　かつ　Ｘ−Ｙ＋2≧0　　解なし
?AＸ−Ｙ−2≦0　　かつ　Ｘ−Ｙ＋2≦0
　　Ｘ−２≦Ｙ≦Ｘ＋２　　……?B
　
Ｆ（ｔ）の軸＞0　より
　−（Ｘ＋Ｙ）/2＞0　　　　Ｙ＜−Ｘ　……?C
?B?Cを　　log［10］ｐをＸ軸に　log［10］ｑ＝Ｙ軸にしてグラフを書けばいいですか？
No.7938 - 2012/12/20(Thu) 21:55:37
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
t=log{10}xより，F(t)の定義域はすべての実数tであり，
また，下に凸なので，

y=F(t)のグラフを描くと添付図のようになりますね．きいさんが計算しているのは，このうち?@だけです．別に軸が正の範囲に無くても，t＞0なる解，すなわち正の解は持つわけです．それを全て(?@だけでなく?Aや?Bも)条件として書き出してください，ということです．　…(☆)


では，せっかく計算していただいたNo.7938について
D(t)≧0より
X-Y-2≧0　かつ　X-Y+2≧0　…(A)
または
X-Y-2≦0　かつ　X-Y+2≦0　…(B)
というのは合っています．ただし，ここからX-2≦Y≦X+2は導かれません．

(A)より，X-Y-2≧0ならば自動的にX-Y+2=(X-Y-2)+4≧4なのでX-Y+2≧0も成り立ちますね．よって，(A)を満たすためにはX-Y-2≧0でさえあれば良いのです．よってY≦X-2

(B)もX-Y+2≦0でさえあればよく，Y≧X+2．

よって，正しくはY≦X-2またはY≧X+2

ちゃんと，Yの数直線に範囲を描いて，正確に条件を求めましょう．…(☆☆)


F(t)の軸が正の範囲にあることより
(-X-Y)/2＞0　
よってY＜-X．

これはあっていますね．

さて，log{10}pをX軸，log{10}qをY軸にしてグラフを描けば良いか，とのことですが，やはりpq座標平面上に描くのがよいと思います．例えば，Y＜-Xですが，これはlog{10}q＜-log{10}p=log{10}(1/p)より，q＜1/p(ただし，真数条件よりp＞0，q＞0)とできます．

次回までに(☆)と(☆☆)について回答してください．これさえできれば，この問題は解けたに等しいし，この問題だけでなくいろいろな場面で使う重要な考え方なので．
No.7939 - 2012/12/21(Fri) 05:44:31
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付図です．
No.7940 - 2012/12/21(Fri) 05:45:27
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
（☆）の回答は、添付図で　?@の場合　Ｄ≧0，軸＞0，Ｆ（0）＞0より
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ≦Ｘ−2　，Ｙ≧Ｘ＋2
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＜−Ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＞−1/Ｘ
　　　　　　　　　　　　　?A?Bの場合　　Ｆ（0）＜0より　
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＜−1/Ｘ
（☆☆）は　ちょっと分かりません。よろしくお願いします。
No.7942 - 2012/12/21(Fri) 17:33:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
(☆)について

?@の場合は，D≧0かつ軸が正の範囲にある，です．F(0)＞0は，もちろん図ではそうですが，F(0)＜0でもt＞0なる解を持ちます．こちらがきいさんが最初に示してくれた条件です．この他にも次の?A?Bがあることに注意してください．

?A?Bの場合は，D＞0かつF(0)＜0ですね．

それぞれを式に起こしましょう．

?@
D=(X-Y+2)(X-Y-2)≧0
よって，
「X-Y+2≧0かつX-Y-2≧0」または「X-Y+2≦0かつX-Y-2≦0」
です．書き換えると
「Y≦X+2…(A)かつY≦X-2…(B)」または「Y≧X+2…(C)かつY≧X-2…(D)」
となります．これを数直線を用いると添付図のようになり(これが(☆☆)の解答になります)，これは不等式の分野で学習しているはずです．結果，Y≦X-2またはY≧X+2という結果になります．
更に，軸が正の範囲にあるという条件から，Y＜-X．これは合っています．

?A?B
D＞0より，詳細は省きますが，?@で示したものと全く同じ手順でY＜X-2またはY＞X+2．
更にF(0)=XY+1＜0より，XY＜-1．
これを，Y＜-1/Xとしてはいけません．Xの符号がわからないのですから，不等号の向きが確定しません．これは不等式の基礎ですから，注意してください．

さて，これで条件が出揃いました．まとめてみますと，

「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」または「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」

となり，これを満たす(X,Y)の組がt＞0なる解を持たせるものです．これをp,qの関係にすれば９割方完成です．さて，これをやってみましょう．
No.7944 - 2012/12/21(Fri) 18:06:19
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
また，添付ファイルを貼り忘れましたorz
No.7945 - 2012/12/21(Fri) 18:06:52
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」
Y≦X-2より　　log［10］ｑ≦log［10］ｐ−2
　　　　　　　log［10］ｑ−log［10］ｐ＋log［10］100≦0
　　　　　　　　　　　　100ｑ/ｐ≦0
Y≧X+2より　　log［10］ｑ≧log［10］ｐ＋2
　　　　　　　log［10］ｑ−log［10］ｐ−log［10］100≧0
　　　　　　　　　　　　ｑ/100ｐ≧0
　Y＜-X　より　　　　　　　log［10］ｑ＜−log［10］ｐ
　　　　　　　　　　　　　　q＜1/p
これで　やり方は合っていますか？
No.7946 - 2012/12/21(Fri) 19:44:53
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，あっていますよ^^ 2=log{10}100に気づけたのは素晴らしいです．
その調子です，もう一息，最後まで頑張りましょう！

ところで，真数条件よりp,qはいずれも正なので，

100q/p≦0はq≦p/100
q/100p≧0はq≧100p
に直せますね．

では，?A?Bの場合は，どのようになるでしょうか？
No.7947 - 2012/12/21(Fri) 21:15:30
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
?A?B
「Y＜X-2またはY＞X+2」かつ「XY＜-1」
　「Y＜X-2またはY＞X+2」より　
　　　　　　q＜p/100　
　　　　　　q＞100p
　「XY＜-1」より
　　　log［10］ｑ・log［10］ｐ＋log［10］10＜0
　　　　　　↑
　　　　この式の求め方が分かりません。よろしくお願いします。
No.7948 - 2012/12/21(Fri) 21:40:16
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
ごめんなさいm(_ _)m

問題を読み直したところ，点(log{10}p,log{10}q)の存在範囲を図示せよ，とのことでした．
従って，きいさんがNo.7938でおっしゃったように，Xを横軸，Yを縦軸にとったグラフを描くのが正しいです．せっかく計算していただいたいのに，無駄にしてしまいお詫び申し上げます．

従いまして図示するべきは次の領域となります．

「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」または「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」

さて，添付図は以上に現れる不等式の不等号を等号にして得られる4つの曲線が描かれています．赤・青・緑・黄はそれぞれどの曲線でしょうか．また，塗るべき領域はA〜Rの記号で答え，また，境界を含むかどうかを答えてください．これでこの問題は解決です！
No.7950 - 2012/12/21(Fri) 21:55:16
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
↑画像の添付がご自身で出来，かつそちらの方がやりやすいなら上の画像を使わずに，お手製の画像を使ってもらっても結構ですよ．
No.7951 - 2012/12/21(Fri) 22:06:32
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」……?@
　　　ＢＦＧ　　ＩＪＯ
「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」……?A
　　　ＦＣ　　ＮＯ
　?@または?Aなので　ＢＦＣＧ　と　ＩＪＯＮ　です。境界線は含みません。
これで　いいですか？
No.7952 - 2012/12/21(Fri) 22:28:21
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
?@の領域はあっていますが，?Aが違いますね．

XY＜-1の表す領域をXの符号をよく考えて式変形し，もう一度，図示してみてください．
No.7953 - 2012/12/21(Fri) 23:28:49
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
XY＜-1　で　Ｘ＞0　つまり　ｐ＜1のとき　ＦＣ　ＮＯ
　　　　　　Ｘ＜0　つまり　0＜ｐ＜1のとき　ＡＢ　ＪＭ

?Aの領域は　これでいいですか？
No.7954 - 2012/12/21(Fri) 23:58:19
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
まだ，違いますね．

XY＜-1は

X＞0ならば，Y＜-1/X
X＜0ならば，Y＞-1/X

です．

X＞0の時，すなわち第1,4象限ではY＜-1/X，つまり双曲線の下側
X＜0の時，すなわち第2,3象限ではY＞-1/X，つまり双曲線の上側

になります．これを記号で表すと，A,B,N,Oの領域です．


>Ｘ＞0　つまり　ｐ＜1のとき　ＦＣ　ＮＯ

とありますが，FやCの領域は明らかにX＜0の範囲にありますよね．
No.7955 - 2012/12/22(Sat) 02:34:21
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
そうですね。わかりました。
?@?Aより　　ＡＢＦＧ　　ＩＪＯＮ　境界線含みません。で　いいですね。
No.7956 - 2012/12/22(Sat) 09:49:41
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，選ぶ記号がそれでいいですよ^^

ただ境界線についてはI,Jのうち青線と，F,Gのうち赤線は含みますね．＞,＜でなく≧,≦なのですから．
No.7959 - 2012/12/22(Sat) 14:13:29
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
よくわかりました。
ありがとうございました。
No.7961 - 2012/12/22(Sat) 16:51:01