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記事No.7982に関するスレッドです
★ ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
出展　北海道大　宜しくおねがいします。
No.7981 - 2012/12/24(Mon) 11:42:39
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
質問内容添付しました。
No.7982 - 2012/12/24(Mon) 11:43:27
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
自分の途中までの答案です。
No.7983 - 2012/12/24(Mon) 11:44:02
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
回答中...です
No.7984 - 2012/12/24(Mon) 15:52:38
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは．

y''の式が間違っています．まずはそこを直して，増減表を修正してみてください．
No.7985 - 2012/12/24(Mon) 16:10:34
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
それとy'''は普通使いません．
No.7986 - 2012/12/24(Mon) 17:13:20
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
３次関数（f(x)としました。）を描くところで挫折しそうです。４次関数を描くのに、どこまで３次関数は正確に描く必要がありますか
No.7987 - 2012/12/24(Mon) 17:17:09
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
上の答案でf(α),f(β)を求めようとしているところですが、求める必要はありますか。
No.7988 - 2012/12/24(Mon) 17:27:25
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
最初に，4次関数のグラフを描くのに，必ずしも3次関数のグラフを描く必要はありません．以前の問題では，3次関数のグラフを描きましたが，それはなぜだったでしょうか．3次関数というのは，4次関数y=f(x)に対してy'=f'(x)のことです．もし，f'(x)の符号が式変形(因数分解)から求まるのであれば，わざわざf'(x)のグラフを描く必要はありません．

今回の問題の場合はどうでしょうか．
4次関数y=f(x)=x^4-4x^3+5x^2ですが，
その傾きy'=f'(x)=4x^3-12x^2+10x=2x(2x^2-6x+5)は()内が常に正なので，符号は容易にわかりますよね．4次関数y=f(x)を描くにあたって必要となるのはy'とy''のグラフではなくて，「符号」です．従って，本問ではy'の符号は因数分解だけから求められるので，わざわざ3次関数y'のグラフを描く必要はありません．以前の問題では，y'を因数分解できず，その符号がわからなかったのでグラフを描いて，実数解x=αのただ1つを持ち，その前後で正負が入れ替わることを確認したのでした．本問では，y'の符号が用意に求まるのでその必要は無し．


とはいえ，練習にはなりますから，3次関数y'のグラフを描いてみましょう．以下，minaminoさんの言うy,fなどはそれぞれy',f'などと'が1個多くなっていますから，注意しながら読んでください．これは4次関数y=f(x)と混同しないためです．
y'=f'(x)=4x^3-12x^2+10x　のグラフを描くために必要なもの
傾きy''=f''(x)=12x^2-24x+10
凹凸y'''=f'''(x)=24x-24
だというのは大丈夫ですよね．まずはy''の符号から求めてみましょう．これは，minaminoさんが求めたα,βで符号が入れ替わりますが，増減表が間違っていますね．x=α，βでy'=0というのは問題ありませんが，そもそもα＞βですよね．どうして，増減表において左にαがあるのでしょうか．大きい数ほど右に書かなければなりません．そして，y'は下に凸の放物線ですから，2解α,βの間は負ですよね．

なお，3次関数f'(x)のx=α,βにおける値f'(α)とf'(β)は，3次関数f'(x)のグラフを描け，という問いならば当然求めなければなりません．
No.7990 - 2012/12/24(Mon) 18:04:30
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
割り算についてですが，余りは正しくは4x/3-10/3となるようですから間違っていますね．

割られる式は4x^3-12x^2+10xですよね．10になっているのが間違っています．
No.7991 - 2012/12/24(Mon) 18:10:43
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
たくさんのミス、本当にすみません、.7987 の
>α,βで符号が入れ替わりますが，増減表が間違っていますね．x=α，βでy'=0というのは問題ありませんが，そもそもα＞βですよね．どうして，増減表において左にαがあるのでしょうか．大きい数ほど右に書かなければなりません．そして，y'は下に凸の放物線ですから，2解α,βの間は負ですよね．

は訂正して再アップしました。割り算についても４次関数についてももう一度ゆっくり考えます。これから塾なので、また、宜しくお願いします。本日は有難うございました。
No.7992 - 2012/12/24(Mon) 18:25:58
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いします。
>割り算についてですが，余りは正しくは4x/3-10/3となるようですから間違っていますね．
添付した答案に２通りで割り算してみたのですが、先生と同じになりません。
No.7993 - 2012/12/25(Tue) 08:03:28
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
ごめんなさい．余りはそれで合っています(;^_^A

x=α,βで12x^2-24x+10=0となるので，f'(α),f'(β)はそれぞれ-4α/3+10/3，-4β/3+10/3ですね．
No.7994 - 2012/12/25(Tue) 13:24:02
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
こんばんは、これから塾で、クリスマスなのに・・・、塾から帰ったら学校の宿題でねるだけ。です。明日の朝には３次関数を描いて４次関数も考えてみますので宜しくおねがいします。いいクリスマスを過ごしてくださいね。
No.7995 - 2012/12/25(Tue) 17:42:26
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
まだ学校はあるのですか？毎日，頑張ってるようですけど，塾へ通うにも外は寒いですし，インフルエンザやノロウィルスなど流行っているようですのでお体を壊さないようにくれぐれも無理はしないでくださいね．
No.7996 - 2012/12/26(Wed) 00:06:00
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いします。３次関数を描いてみました。見てください。
No.7997 - 2012/12/26(Wed) 06:35:07
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，グラフは正しく描けています．
増減表に関しては，x=0の左にもう1列設けて，xが負の場合についても書かなければなりません．

f'(x)=2x(2x^2-6x+5)は()内の判別式が負で，常に正の値をとりますから，結局f'(x)の符号は2xの符号そのもの，つまりx＜0で負，x＞0で正，符号反転はx=0の時のみとわかります．4次関数y=f(x)のグラフを描くには，この情報さえあれば十分なのですが，実際に3次関数f'(x)のグラフを描いてみて，確かにxの符号とf'(x)の符号が一致しているのがわかるかと思います．もちろん，これがz=y'=4x^3-12x^2+10xのグラフを描け，という独立した問題ならば，2階微分z''=y'''も使って変曲点も出すべきですが．
No.7998 - 2012/12/26(Wed) 13:50:19
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いいたします。４次関数を描いてみました。みてください。１つ質問を入れておきました。宜しくお願いいたします
No.7999 - 2012/12/27(Thu) 05:22:58
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
No.8000キリ番ゲット✌(◔౪◔ )✌✌( ◔౪◔)✌

…はい正しいグラフが得られています．

f(α),f(β)の値についてですが，α,βがそれほど複雑な形ではないですし，4次関数程度でしたら代入しても，剰余の定理を使ってもさほど変わらない思われます．β,α=1±1/√6であることを考えれば

f(β),f(α)
=β^4-4β^3+5β^2,α^4-4α^3+5α^2
=(1±1/√6)^2{(1±1/√6)^2-4(1±1/√6)+5}
=(1±2/√6+1/6)(1±2/√6+1/6-4∓4/√6+5)
=(7/6±2/√6)(13/6∓2/√6)
=91/36∓14/(6√6)±26/(6√6)-4/6
=67/36±12/(6√6)
=(67±12√6)/36　(以上全て複合同順)

とまあそれほど労力がいるとは思えませんけど．
No.8000 - 2012/12/27(Thu) 15:01:17
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
こんにちは、宜しくお願いします。No.8000 レスで剰余の定理を使ってもとありますが、どのように使うのでしょうか。今回の場合、α^2でくくれるので何とか自分でも計算できそうですが、今回のようにα、βが無理数で分数だと４次式に代入など、とても大変そうです。ぜひ、この問題で剰余の定理を教えて下さい。
No.8001 - 2012/12/27(Thu) 15:28:38
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
4次式f(x)を12x^2-24x+10で割って，x=α,βを代入すればいいですね．

f(x)=(12x^2-24x+10)Q(x)+R(x)

ここで，x=α,βの時，12x^2-24x+10=0より

f(α)=R(α)，f(β)=R(β)

No.7987で既にminaminoさんがやってらっしゃるような方法です．

実際，割り算を実行してみると

f(x)=(x^2/12-x/6+1/72)(12x^2-24x+10)+2x-5/36

となりますから，

f(α)=2((6-√6)/6)-5/36=(12-2√6)/6-5/36=(72-12√6)/36-5/36=(67-12√6)/36
f(β)=2((6+√6)/6)-5/36=(12+2√6)/6-5/36=(72+12√6)/36-5/36=(67+12√6)/36
No.8002 - 2012/12/27(Thu) 17:29:54
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
もともとこの4次関数は，原題のaに10/4を「勝手に」代入して作られたものであり，極値を求めることを想定していませんから，まあ面倒な計算は強いられて当然でしょうね．まだ登場する数値が小さいだけましですね．
No.8003 - 2012/12/27(Thu) 17:33:37
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
早速のご返答有難うございます。
ここでも12x^2-24x+10を利用して計算するんですね。そう言われればそうです。
それと、今回も最後まで親身になって教えてくださり感謝いたします。有難うございました。
No.8004 - 2012/12/27(Thu) 17:39:28