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記事No.8084に関するスレッドです
★ 定積分 / minamino [高校１年生]
出展　平成１２年度発行　赤チャート数学?U　ｐ２３５の本文の説明です。
宜しくお願いします。出展が数学?Uですのでその範囲で教えてもらえる嬉しいです。
No.8083 - 2013/01/05(Sat) 10:27:05
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
本文の問題です。宜しくお願いします。
No.8084 - 2013/01/05(Sat) 10:33:17
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
赤チャート数学?Uコピーです。
No.8085 - 2013/01/05(Sat) 11:27:53
☆ Re: 定積分 / londontraffic [教育関係者]
minamino さん，がんばってますね．
これminaminoさんが正しくて，チャートが間違えています．
ご安心を．
No.8086 - 2013/01/05(Sat) 11:40:02
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします
londontraffic先生、このチャートの指針にそっての解法は数?Uの範囲で可能でしょうか？前、同じような質問(No8405)したところ合成関数の微分が必要と指摘されたのですが、この問題も同じでしょうか。可能なら是非教えて下さい。合成関数の微分についても少し勉強したのでお願い致します。
No.8087 - 2013/01/05(Sat) 14:11:45
☆ Re: 定積分 / londontraffic [教育関係者]
数?Uの微積分について
・微分は3次以下の多項式で表される関数まで
・被積分関数は2次以下の多項式で表される関数まで
が現行の教育課程で扱える範囲です．

なので，この問題自体（関数が5次関数なので）が数?Uから外れています．
（最近赤チャートを覗くことがないので詳しいことはわかりませんが，青チャートでも4次関数の描画なども載っているようですし，受験生は4次以上でも微分，3次以上でも積分できることは知っているハズです．）

というわけで，本来ならば数?Vで扱う範囲を「数?Uの範囲で可能か」という質問になっているので，どう回答したらいいのだろう？？？という気分です．

ただ大学入試の場面においては「数?Uの範囲で解け」などという変な縛りを設ける大学は皆無でしょうから，高校の教育課程で学ぶものは全て利用して構いません．
ですから，たとえば今回の問題において被積分関数が tの2次関数（数?Uの範囲）であっても
F'(x+a)=f(x+a)
は使ってokですよ．

minaminoさんの期待に添えていますか？
No.8088 - 2013/01/05(Sat) 16:25:27
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
解法の指針通りでf'(x)を出してみました。レス質問(No8405)は、見て頂けましたでしょうか。合成関数の微分が必要になるときとは、上端、下端に次数が２以上のときとか考えたらいいのでしょうか。No8405の問題のように数?Vの合成関数が必要とされるときと、されないときの区別がつきません。宜しくお願いします。
No.8089 - 2013/01/05(Sat) 17:17:04
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
質問内容です。宜しくお願いします。
No.8090 - 2013/01/05(Sat) 17:37:33
☆ Re: 定積分 / londontraffic [教育関係者]
最初にお詫びです．
>>この問題自体（関数が5次関数なので）が数?Uから外れています．
被積分関数が4次なので不定積分を作ると5次になりますが，最終的に4次．
前回同様，大変失礼しました．

f'(x)はokです．

さて，合成関数の微分の話です．

F(x+a)=f'(x+a)
ですが，例えば
F(ax+b)=af'(ax+b)
となります（お手持ちの数?Uの教科書や参考書に載っていませんかね）．
また，No.8045だとG'(x)=g(x)であるとき
G'(x^2+2)=2xg(x^2+2)
となることを理解していなくてはいけません．

合成関数の微分は
d/dx{f(g(x))}=g'(x)f'(g(x))
です．
【これを正しい論理で示すのに，この場が相応しいと思えません．そして高等学校という機関に所属し，しっかりと数学を学んできた先生から学ぶのが筋だと思いますので，私がここで証明するのは控えさせてもらいます．】

これを利用すれば計算はできますが，いかがでしょう？

2013.01.06 5:30am追記
>>F(x+a)=f'(x+a)
>>F(ax+b)=af'(ax+b)
これもミスしていました・・・
F'(x+a)=f(x+a)
F'(ax+b)=af(ax+b)
でしたね．申し訳ありませんm(_ _)m
No.8091 - 2013/01/05(Sat) 19:19:56
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
おはよう御座います。宜しくお願いします。合成関数の微分の解説ありがとうございました。昨日教えて頂いた
>合成関数の微分は、d/dx{f(g(x))}=g'(x)f'(g(x))
を早速使い、No.8090の問題でf'(x)を出してみたのですが、うまくいきません。

それとNo.8090の上端が間違っておりました。正しくは,x^2+2→x^2+x
添付答案を見てください。

自分の答案を添付しますので、誤りを教えて下さい。宜しくお願いします
No.8096 - 2013/01/06(Sun) 07:28:59
☆ Re: 定積分 / londontraffic [教育関係者]
おはようございます．

私の計算（定積分を計算）では
f(x)=[t^2-t]^(x^2+x)_x=(x^2+x)^2-(x^2+x)-(x^2-x)=x^4+2x^3-x^2
となり
f'(x)=4x^3+6x^2-2x
となったのですが．
No.8098 - 2013/01/06(Sun) 09:51:10
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
すみません、問題の転記ミスでした、2t-1でなく2t+1でした。申し分けありませんでした。
No.8099 - 2013/01/06(Sun) 11:02:50
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
正したものを、No.8096 に再アップしました。教えて頂いた合成関数の微分の部分の解答の書き方は正しいでしょうか。宜しくお願いします。
No.8100 - 2013/01/06(Sun) 11:20:53
☆ Re: 定積分 / londontraffic [教育関係者]
基本的にはokです．
合成関数の微分を書いておられますが数?Vでは一気にやってしまうので，ここまで丁寧にする必要はありません．

ただ私が指導者なら，気になる場所が．
「（下から4行目の）"＝"の前にf'(x)と書きなさい」と指導しますね．
No.8101 - 2013/01/06(Sun) 14:37:11
☆ Re: 定積分 / minamino [高校１年生]
自分の解答を見て頂いて有難うございます。
>ただ私が指導者なら，気になる場所が．「（下から4行目の）"＝"の前にf'(x)と書きなさい」と指導しますね．
については、正して、.8096 に再アップしました。
今回、合成関数の微分の微分について教えて頂き、上端、下端がx+a以外でも対応できるようになり、勉強になりました、今回は、ご指導いただき有難うございました。
No.8109 - 2013/01/07(Mon) 05:50:24