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記事No.8243に関するスレッドです
★ 極値をもつための必要条件 / minamino [高校１年生]
定理として参考書に、f(x)がx=aで微分できる場合、
f(x)が、x=a で極大または、極小→f'(a)=0
極値であるための必要条件とあるのですが、自分には必要条件なのか、十分なのかわかりません
この区別を教えて下さい。それと添付したアとイは正しいのか教えて下さい。
No.8238 - 2013/01/14(Mon) 06:17:53
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
Now...回答中です．
No.8240 - 2013/01/14(Mon) 09:02:08
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
おはようございます．

質問の意図が明確でないので，一点だけ尋ねます．

f(x)がx=aで微分できる場合に，

f'(a)=0⇒f(x)はx=aで極値をもつ，なのか、f(x)がx=aで極値をもつ⇒f'(a)=0，のどちらであるか分からない，というご質問だと思いますが，いかがですか？
No.8241 - 2013/01/14(Mon) 09:11:10
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / minamino [高校１年生]
f(x)がx=aで極値をもつ⇒f'(a)=0　であることはわかっています。それが何故必要条件なのかが分からないのです。
No.8242 - 2013/01/14(Mon) 09:17:37
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / minamino [高校１年生]
研文書院　大学への数学?Uより、宜しくお願いします。
No.8243 - 2013/01/14(Mon) 09:27:12
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
P⇒Qのとき，QをPであるための必要条件，PをQであるために十分条件と言いますから，

f(x)がx=aで極値をもつ⇒f'(a)=0

より，f'(a)=0であることは，f(x)がx=aで極値をもつための必要条件ですよね．また，f(x)がx=aで極値をもつことはf'(a)=0であるための十分条件ですね．したがって，(ア)(イ)はどちらも正しいです．これが分からないということは，必要・十分条件の概念がよくわかっていないのかもしれません．

P:東京在住である
Q:日本在住である

東京在住であれば，日本在住であることは確実ですから，「東京在住です」と言われれば「日本在住である」と結論付けるに十分です．しかし，「日本在住です」と言われただけで「東京在住である」と結論付けるのは不可能です．大阪在住かもしれません．でも，少なくとも東京在住であるためには日本在住であることが必要です．アメリカ在住であれば東京在住である可能性は零ですから．

よって，P⇒Qです．そして確かにP:東京在住であることはQ：日本在住であるために十分な条件ですから，十分条件です．Q:日本在住であることはP:東京在住であるために十分ではないけれど，少なくとも必要な条件ではあるので必要条件．

今回もそうです．

f(x)がx=aで極値をもつ⇒f'(a)=0

と書いてあるのだから，「f(x)がx=aで極値をもつ」ならば自動的に「f'(a)=0」，つまり「f(x)がx=aで極値をもつ」でさえあれば確実に「f'(a)=0」です．つまり，「f(x)がx=aで極値をもつ」であることは，「f'(a)=0」であるというに十分な条件になっています．
反対に，「f'(a)=0」であるからと言って直ちに「f(x)がx=aで極値をもつ」であるとは言えません．「f'(a)=0」であっても極値を持たない例はあります．たとえば，y=1などの定数関数は導関数は0ですが，極値を持ちません．
でも，「f'(a)=0」でなければ，極値は持ちえません．つまり，「f'(a)=0」であっても必ずしも極値を持つとは限りませんが，極値を持つためには満たすべき条件なので必要条件となります．
No.8244 - 2013/01/14(Mon) 09:46:36
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
P⇒Qを集合で書くと，下図の感じ．

Pに属していれば確実にQに属している(PはQであるための十分条件)．
Qに属しているからといって必ずPに属しているとは言えないが，Pに属するためにはQに属していることが少なくとも必要(QはPであるための必要条件)．
No.8245 - 2013/01/14(Mon) 09:54:25
☆ Re: 極値をもつための必要条件 / minamino [高校１年生]
どんな、どこの参考書より分かりやすい解説でしたありがとうございます(*＾▽＾*)
>必要・十分条件の概念がよくわかっていないのかもしれません．
何度と今回の解説を読んで理解を深めたいと思います。
No.8247 - 2013/01/14(Mon) 10:24:43