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記事No.8417に関するスレッドです
★ 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
はじめまして。早速ですが、疑問点が浮上しましたのでよろしくお願いします。
出典：シグマトライ数学?T＋A　§4節末問題87（東京都立大・改）
問題：1辺の長さが1の正六角形の頂点から同時に3点を選ぶとき、選んだ3点が作る三角形の期待値を求めよ

私はすべての場合を書き出し、面積ごとに分けて計算したのですが、
計算が少し複雑になり、あまりにも時間がかかってしまいました。
別冊解答では殆ど書き出すことなくいきなり確率を用いており、自身の解法を見ても結果的には確率を使っているので問題はないかもしれませんが、実際、制限時間が設定されているテスト中で周りに参考書などない状況で確率の解法を思い浮かべるまでで時間を取られてはいけないと思うのです。
できる三角形を一個一個書き出す以外の解法で答えを求める方法はありますか？
参考までに自身の答案を添付いたします。
よろしくお願いします。
諸事情にてあすの夜までお返事を確認できません。
そのため返信が遅れますこと、先にお詫び申し上げます。
No.8417 - 2013/02/04(Mon) 23:56:25
☆ Re: 空間ベクトルにおいての証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
かめ さん　こんばんはITです。いっしょに考えてみましょう。

画期的に簡単な方法は、思いつきませんが、すべての三角形を書き出さなくても、もれなく数え上げることはできると思います。

それぞれの大きさ形の三角形ごとに別々の正六角形を描き、その中に１つずつ三角形を描いて見てください。それぞれのパターンの個数が分かりませんか？

なお表題の「空間ベクトルにおいての証明」は間違いですよね、直された方がいいですよ。
No.8418 - 2013/02/05(Tue) 05:44:39
☆ Re: 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
IT先生よろしくお願いします。
件名へのご指摘ありがとうございます。早速訂正いたしました。
> 画期的に簡単な方法は、思いつきませんが、すべての三角形を書き出さなくても、もれなく数え上げることはできると思います。
すべての三角形を書き出したのではなく、頂点の組み合わせを書き出しました。これは私の説明の書き方が悪かったです。すみませんでした。


> それぞれの大きさ形の三角形ごとに別々の正六角形を描き、その中に１つずつ三角形を描いて見てください。それぞれのパターンの個数が分かりませんか？
こういうことですか？この後はそれぞれの面積を求めればいいですか？
No.8419 - 2013/02/05(Tue) 21:30:23
☆ Re: 図形における期待値 / IT ♂ [中国] [社会人]
>こういうことですか？
そのとおりです。ちゃんと6+12+2=20＝6Ｃ3になっていますね！
>この後はそれぞれの面積を求めればいいですか？
いいと思います。
強いていえば、1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になりますので、これを使うと計算が少し楽になるかも知れませんね。
No.8420 - 2013/02/05(Tue) 22:30:34
☆ Re: 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
> 強いていえば、1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になりますので、これを使うと計算が少し楽になるかも知れませんね。
求めるのは期待値なのでこの方法の場合、全体を６通りとすると
六角形になる確率×六角形の面積＋２番目になる確率×２番目の面積
で式は合っていますか？
No.8422 - 2013/02/06(Wed) 00:41:42
☆ Re: 図形における期待値 / IT ♂ [中国] [社会人]
おはようございます。
３点で六角形になることはありえませんので「六角形になる確率」・・・と書くと、間違いです。
余計なこと「1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になる」などといって混乱させたかも知れませんね。すみません。

あくまでも
求める期待値＝（１番目の面積×１番目になる確率）＋（２番目の面積×２番目になる確率）＋（３番目の面積×３番目になる確率）です。

この後の計算途中で「1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になる」ことを使えば、少し楽になるということです。
本質的ではないですから分かりにくかったら無理に使わないほうが良いと思います。
No.8423 - 2013/02/06(Wed) 05:58:26
☆ Re: 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
こんばんは。
> 求める期待値＝（１番目の面積×１番目になる確率）＋（２番目の面積×２番目になる確率）＋（３番目の面積×３番目になる確率）
の計算を
> 計算途中で「1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になる」
を用いて計算を進める場合のやり方はどうすればいいですか？
普通に期待値を求める方法の式は作ることができたのですが・・・
No.8429 - 2013/02/06(Wed) 21:13:57
☆ Re: 図形における期待値 / IT ♂ [中国] [社会人]
> > 計算途中で「1番目×３個と３番目×１個を合わせると、ちょうど正6角形になる」
> を用いて計算を進める場合のやり方はどうすればいいですか？
お勧めではないですが、下記の通りです。
期待値
＝S1×(6/C(6,3))+S2×(12/C(6,3))+S3×(2/C(6,3))
＝(S1×6+S2×12+S3×2)/20
＝(S1×3+S3+S2×6)/10
＝(S+S2×6)/10　…　Sは正６角形の面積　　　　　　　　　
No.8431 - 2013/02/06(Wed) 21:42:39
☆ Re: 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
ありがとうございます。
今度使ってみます。
私は、今回解くときは、六角形のやり方は使いませんでしたが、
期待値を求めるとき6C3がすぐにわかると仮定して、
sqrt{３}/２でくくって、sqrt{３}/２×18/6C3　と工夫してみました！
No.8432 - 2013/02/06(Wed) 22:16:52
☆ Re: 図形における期待値 / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れでした。あくまでも確率がメインの問題でしょうから
S1×(6/C(6,3))+S2×(12/C(6,3))+S3×(2/C(6,3))までを確実に導き出すのが重要だと思います。S1、S2、S3の計算は二の次ですね。
では、また。
No.8433 - 2013/02/06(Wed) 22:22:39
☆ Re: 図形における期待値 / かめ ♀ [高校2年生]
> お疲れでした。あくまでも確率がメインの問題でしょうから
その通りですね。
教えてくださってどうもありがとうございました。
No.8434 - 2013/02/06(Wed) 22:27:00