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記事No.9017に関するスレッドです
★ 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
初めまして。掲示板での質問は初めてなのですがよろしくおねがいします。

a{1}=5, a{n+1}=（7a{n}-9）/（a{n}+1）

で表す時一般項a{n}を求めよ。　　　　　　　　出展は1対1対応の数学Ｂです


解答のほうには

x=(7x-9)/(x+1) より　x=3であることから・・・・・・（☆）

b{n}=1/(a{n}-3)とおいて、b{n+1}=bn+1/4

と変形して等差数列にしてから答えを求めているのですがどうして（☆）をつかって変形ができるのでしょうか？



それと（☆）が二つの解を持つときはどう変形すればよいのか・・・・

よろしくおねがいします。
No.9001 - 2013/05/21(Tue) 15:33:08
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
犬さん，おはようございます．
londontrafficと申します．

このタイプの問題は，おそらく誘導付きで出題されると思います．
ただ，誘導なしでも解けるようになりたいですね．

漸化式をa_{n+1}=(a a_{n}+b)/(ca_{n}+d)としましょうか．
x=(ax+b)/(cx+d)とし，この2式を両辺それぞれ引くと

a_{n+1}-x=(a a_{n}+b)/(ca_{n}+d)-(ax+b)/(cx+d)

a_{n+1}-x=(ad-bc)(a_{n}-x)/(ca_{n}+d)(cx+d)

両辺の逆数をとれば

1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･(ca_{n}+d)(a_{n}-d)

1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]

1/(a_{n}-x)=b_{n}とおけば

b_{n+1}=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}b_{n}]

となり，a,b,c,d,xの値の組合せによって数列{b_{n}}は等差数列型かa_{n+1}=pa_{n}+q型に帰着できます．

後段ですが，異なる2つの実数解が出た場合は，どちらの値を使っても同じようにできると思います．
No.9009 - 2013/05/23(Thu) 06:38:23
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
londontrafficさん、回答ありがとうございます！
申し訳ないのですが、理解し切れなかったので補足お願いできませんでしょうか？（汗

> 両辺の逆数をとれば
>
> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･(ca_{n}+d)(a_{n}-d)

すみません、↑からわからなくなってしまいました。
xとdが入れ替わり、スラッシュが抜けただけでしょうか？それともこういう変形になったのでしょうか？ごめんなさい、自分の勉強不足でよくわかりません><


> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
↑部分の変形がわかりません。a{n}を何かに置き換えたのでしょうか??

これ以降の式の意味はわかりました。
ほんとに申し訳ないですが上の2式の補足をお願いしますorz

> 後段ですが，異なる2つの実数解が出た場合は，どちらの値を使っても同じようにできると思います．

そうなんですね！　了解しました。
No.9012 - 2013/05/24(Fri) 00:23:01
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
すいません、矢印がずれてました。

> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]

の[c+{d(c+1)}の部分の話です
No.9013 - 2013/05/24(Fri) 00:25:33
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
あースイマセンでしたm(_ _)m
>xとdが入れ替わり、スラッシュが抜けただけでしょうか？
その通りです．
式を添付してみました．おそらくこれでokだと思います．
No.9014 - 2013/05/24(Fri) 06:45:49
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
x,d,スラッシュの件は了解しました！

すみません、
やはり最後の
(ca_{n}+d)＝c+(cx+d)
となるところが良くわかりません・・・（上の回答の図の下から２段目の列の一番右の分子とその下段の分子です）

式を見るとa_{n}=x+1
となっているようですが、どこからこのような式が出てきたのでしょうか?

よろしくお願いします＞＜
No.9015 - 2013/05/24(Fri) 11:31:26
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
はい．添付を見てくださいな．
No.9017 - 2013/05/24(Fri) 19:33:50
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは！
回答ありがとうございます！よくわかりました！

丁寧に画像もつけていただき感謝です。

また何かあったらよろしくお願いします！^^
No.9024 - 2013/05/25(Sat) 22:23:12