 | こんにちは。
相加相乗平均の大小関係についての質問です。
a+b≧2√ab という相加相乗平均の関係は
「a>0, b>0」という条件がありますが、これは
「a≧0, b≧0」ではいけないのでしょうか？
右辺が虚数にならないために、aかbは負の数では
いけないことはわかるのですが、aとbの一方、または
両方が0でも、大小関係は成り立つように思えます。
（たとえば a=0、b= 3 ‥等）
手持ちの問題集（チャート式青）では
条件は「a>0、 b>0」となっているのですが、
数学ガールという本では「x≧0, y≧0」として
(a-b)^2≧0 ‥を展開する方法で証明が行われていました。
ネットの検索で調べても、解説者によって
≧と>が混在している状態でどちらが正しいのかよくわかりません。
０では問題が発生する場合があるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
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No.7068 - 2012/07/07(Sat) 11:23:16
| ☆ Re: 相加相乗平均の条件について / londontraffic [教育関係者] | | |  | toroさん，こんにちは．
londontrafficと申します．
早速いきましょう．
toroさんの仰るとおり，不等式a+b≧2√abは「a≧0, b≧0」で成立します．
では何故，教科書や参考書等で「相加平均・相乗平均の関係」と呼ばれるときに
a>0, b>0
と記してあるかですが・・・
手元にある 数学辞典（岩波出版） で調べてみたところ
相乗平均（＝幾何平均）は，
「すべて正の数」
であるときに定義されています．
このことから，式としては a≧0, b≧0で成立する けれど
相加平均と相乗平均の関係としては，a>0, b>0 とせざるを得ない
と考えられます．
いかがですか？
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No.7069 - 2012/07/07(Sat) 17:27:30 |
| ☆ Re: 相加相乗平均の条件について / toro ♂ [近畿] [高校１年生] | | |  | londontraffic様、
ありがとうございます。
相乗平均（幾何平均）について調べてみると
おっしゃる通り「正の数」として定義されておりました。
幾何平均が0を扱えないから相加相乗平均の関係も
それに従う‥というお話は、とても分かりやすかったです。
こちらで質問させていただいた後に
他の本も調べてみたのですが、
高校数学解法事典（旺文社）では「a≧0、b≧0 のとき」、
数学公式集(旺文社監修：シャープの電子辞書付属)では
「a>0, b>0のとき」と分かれており混乱していました。
ご教授を頂いて、構造を少し理解できた気がいたします。
比率尺度だから幾何平均が0が扱えないという理由に
ついては私の理解が足りない部分がありましたので
もう少し勉強してみることに致します。
ありがとうございました！
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No.7073 - 2012/07/08(Sun) 17:16:47 |
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