 | こんばんは。幾何学の課題です。
空間内の同一直線上にない３点A,B,Cから等距離にある点の軌跡を求めよ。
という問題で、答えは△ABCの外心を通り、平面ABCに垂直な直線になると思うのですが、
何をどうすれば証明したことになるのかがよく分かりません。
この問題に対して幾何学的に軌跡を求める手順を詳しく教えてください。
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No.6084 - 2011/04/12(Tue) 20:55:07
| ☆ Re: / londontraffic [教育関係者] | | |  | azwebさん，こんにちは．
londontrafficと申します．
確認ですが，
１）学年は新高校１年生で間違いないですか
２）高等学校の数学の教科書はどこまで終わっていますか
３）課題とのことですが，何の課題ですか
申し訳ありませんが，よろしくお願いいたします<(_ _)>
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No.6086 - 2011/04/13(Wed) 17:48:42 |
| ☆ Re: / azweb ♀ [地球外] [新高校１年生] | | | | １）間違いないです。
２）教科書とガイド買って自力で３Cまで全部終わらせました。
３）昔、学校の授業で渡されたプリントの課題です。
解答は忘れられたのか、配られていません。
よろしくお願いします。
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No.6087 - 2011/04/13(Wed) 22:28:38 |
| ☆ Re: / londontraffic [教育関係者] | | | | はい．ありがとうございました．
では，いきますよ．
まず空間における直線の方程式は，現行の教育課程で学ぶことはありません．ただし，ベクトル方程式としての表現は，教育課程に反することはありません．
そこで，
(1)ベクトルを利用する
方法があります．
また，高等学校で学ぶ数学の中において，ベクトル以外で空間を扱うのは三角比（三角関数）くらいです．今回の問題は，「軌跡を求める」作業よりも，
(2)三角比を用いて「軌跡は明らかなので，それを証明する」
の方が似合うかもしれません．
(1)でアプローチするならば，
Oを原点とする空間にA(a,0,0),B(b_1,b_2,0),C(c_1,c_2,0)をとり，
|a|=sqrt{b_1^2+b_2^2}=sqrt{c_1^2+c^2}とすれば，外心は原点．
空間上の任意の点を(x,y,z)として，|vec{OA}|=|vec{OB}|=|vec{OC}|
として処理すればよいでしょう．
また(2)はもっと簡単で，
△ABCの外心は条件を満たし，△ABCを含む平面α以外に条件を満たす点は存在しない．
次に平面α以外の条件を満たす点をPとして，Pから平面αに垂線PHを下ろす．
PA=PB=PC，PH共通，∠PHA=∠PHB=∠PHC=90°
から・・・
いかがですか？
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No.6088 - 2011/04/14(Thu) 06:44:58 |
| ☆ Re: / azweb ♀ [地球外] [新高校１年生] | | | | まずは(2)から。
(必要条件）
△ABCの外心は条件を満たし，△ABCを含む平面α以外に条件を満たす点は存在しない．
次に平面α以外の条件を満たす点をPとして，Pから平面αに垂線PHを下ろす．
PA=PB=PC，PH共通，∠PHA=∠PHB=∠PHC=90°よって、△PHA≡△PHB≡△PHC.
（直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい）
したがって、HA=HB=HC つまり、Hは△ABCの外心である。
よって、Pは△ABCの外心を通り、平面αに垂直な直線上にある.
（十分条件）
△ABCの外心Hを通り、平面αに垂直な直線上の任意の点Pで、
PH共通，∠PHA=∠PHB=∠PHC=90°,HA=HB=HC よって、△PHA≡△PHB≡△PHC.
（二辺夾角相等）
したがって、PA=PB=PC.
以上より、空間内の同一直線上にない３点A,B,Cから等距離にある点の軌跡は、
△ABCの外心を通り、平面ABCに垂直な直線である。（証明終）
でいいでしょうか？何かご意見等がありましたらお願いします。
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No.6089 - 2011/04/14(Thu) 22:51:06 |
| ☆ Re: / londontraffic [教育関係者] | | | | 逆もしっかり確かめて，パーフェクトですよ．
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No.6090 - 2011/04/15(Fri) 06:29:40 |
| ☆ Re: / azweb ♀ [地球外] [新高校１年生] | | | | (1)でもやってみます。
Oを原点とする空間にA(a,0,0),B(b_1,b_2,0),C(c_1,c_2,0)，
a^2=(b_1^2+b_2^2)^2=(c_1^2+c^2)…?@
かつ直線AB, BC, CAのどの２つも平行でない…?A
ように決めれば、△ABCの外心は原点となる。
条件をみたす空間上の任意の点をP(x,y,z)とすると、PA^2=PB^2=PC^2より
(x-a)^2+y^2+z^2=(x-b_1)^2+(y-b_2)^2+z^2…?B
(x-a)^2+y^2+z^2=(x-c_1)^2+(y-c_2)^2+z^2…?C
?Bより(-a+b_1)x+b_2y=0…?B'
?Cより(-a+c_1)x+c_2y=0…?C'
また、AB↑=(b_1-a,b_2,0),AC↑=(c_1-a,c_2,0)で、
?A⇔AB↑とAC↑が平行でない⇔c_2(b_1-a)-b_2(c_1-a)≠0
よって?B',?C'の解はx=y=0
∴P(0,0,z) zは任意の実数。したがって、求める軌跡はz軸になる。
以上より、空間内の同一直線上にない３点A,B,Cから等距離にある点の軌跡は、
△ABCの外心を通り、平面ABCに垂直な直線である。
これでどうでしょうか？
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No.6100 - 2011/04/20(Wed) 02:02:58 |
| ☆ Re: / londontraffic [教育関係者] | | | | 素晴らしいですよ．タイプミスありますが，申し分ありません．
ちなみに，私は?B'?C'をX(x,y,z)としたとき，vec{BA}･vec{OX}=0,vec{CA}･vec{OX}=0として処理をしました．
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No.6101 - 2011/04/20(Wed) 18:13:57 |
| ☆ Re: / azweb ♀ [地球外] [新高校１年生] | | | | あれ、タイプミスどこでしょう？
＞ちなみに，私は?B'?C'をX(x,y,z)としたとき，vec{BA}･vec{OX}=0,vec{CA}･vec{OX}=0として処理をしました．
なるほど。ベクトルの内積を使うとスマートですね。
参考になります。
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No.6102 - 2011/04/20(Wed) 23:16:48 |
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