 | はじめまして。長文失礼します。
赤チャート数Ｃの確率と確率分布のところで、チェビシェフの不等式が取り上げられていますが、証明が理解できません。
本では次のように書いてあります。
確率変数Ｘの平均をｍ、標準偏差をσとする。σ≠０ならば、任意の正の数ｋに対して、次の不等式が成り立つ。
P(|X-m|≦kσ)≧1-1/k2 …Ａ
［証明］
Xのとる値を x1, x2, ・・・, xn とし、P(X=xi)=pi とおく。
また、x1, x2, ・・・, xa のとき |X-m|＞kσ とし
xa+1, xa+2, ・・・, xn のとき |X-m|≦kσ とする。
このとき P(|X-m|≦kσ)=1-P(|X-m|＞kσ)
=1-?納i=1,a]pi …?@
また、 σ2=?納i=1,n](xi-m)2pi≧?納i=1,a](xi-m)2pi≧k2σ2?納i=1,a]pi
σ2＞0であるから ?納i=1,a]pi≦1/k2
よって 1-?納i=1,a]pi≧1-1/k2 これと?@により、Ａが成り立つ。 終
上の赤文字で書いたところがわからないところです。
自分としては、大小比較なので２つの式の差を作ることを考え
?納i=1,a](xi-m)2pi−k2σ2?納i=1,a]pi＝?納i=1,a]{(xi-m)2-k2σ2}pi としました。
ここで、 x1, x2, ・・・, xa のとき |X-m|＞kσ とあるから |X-m|＞kσ の両辺を2乗して
（定義から k>0 また、標準偏差σは分散の正の平方根であるから σ>0 よって kσ>0）
(X-m)2＞k2σ2 すなわち (X-m)2-k2σ2＞0
ゆえに x1, x2, ・・・, xa のとき (X-m)2-k2σ2＞0 であることと
pi＞0 （Xのとる値がxiであり、Xがxiをとる確率がpi）であることから
?納i=1,a]{(xi-m)2-k2σ2}pi＞０ したがって ?納i=1,a](xi-m)2pi＞k2σ2?納i=1,a]pi
となってしまい、≧となることを示せません。どこか間違った解釈をしている部分があるでしょうか。
自分では pi＞0 の部分がはっきりしない( pi≧0？)のですがどうでしょうか。
長々と読み辛いところがあるかと思いますが、ご教示よろしくお願いします。
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No.5998 - 2011/02/24(Thu) 01:25:30
| ☆ Re: チェビシェフの不等式 / londontraffic [教育関係者] | | |  | こんにちは．
もう国公立前期２次が始まっている所があるので，間に合っていないかもしれませんが．
>自分では pi＞0 の部分がはっきりしない( pi≧0？)のですがどうでしょうか。
そうですね．例えばa=1,p_1=0なら等号が成立します．
狙い目はokです．自信持ってください．
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No.6001 - 2011/02/25(Fri) 15:53:52 |
| ☆ Re: チェビシェフの不等式 / トト ♂ [東北] [高校3年生] | | | | londontraffic様 ありがとうございます。
確率変数XについてP(X=xi)=pi=0となることを考えると、確率が０なのでXがその値をとらない事になり、Xがとる値xiというのに矛盾するのでは…と考えていたのですが、一般には p1+p2+・・・+pn＝１ であればｐの値のいくつかが０でもかまわないみたいですね。
となれば等号が成立することも納得できました。ありがとうございました。
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No.6006 - 2011/02/27(Sun) 10:04:08 |
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