 | こんばんは。学校の課題で、解答は知人に教えてもらったものです。
x^2-xy-y^2=1の自然数解が無限に存在することを示しなさい。
(解答)
自然数からなる数列{a[n]}, {b[n]}を次により定義します。
(a[1], b[1])＝(2, 1),
(a[n+1], b[n+1])＝(2a[n]＋b[n], a[n]＋b[n])（nは自然数）
すると、a[n]^2ーa[n]b[n]ーb[n]^2＝1（★）
そして、(a[m], b[m])≠(a[n], b[n])（m, nは異なる自然数）
以上から、方程式x^2ーxyーy^2＝1の解は無限に存在する。
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（★の証明）
nについての数学的帰納法を用いて示します。
n＝1のとき、
a[1]＝2, b[1]＝1なので、a[1]^2ーa[1]b[1]ーb[1]^2＝1
したがって、n＝1のときは成り立つ。
n＝kのときに成り立つと仮定する。
すなわち、a[n]^2ーa[n]b[n]ーb[n]＝1とする。
a[n+1]＝2a[n]＋b[n], b[n+1]＝a[n]＋b[n]だから
a[n+1]^2ーa[n]b[n]ーb[n]^2＝(2a[n]＋b[n])^2ー(2a[n]＋b[n])(a[n]＋b[n])ー(a[n]＋b[n])^2
＝a[n]^2ーa[n]b[n]ーb[n]^2＝1
したがって、n＝k＋1のときも成り立つ。
(質問)
全体の流れは大体つかめたのですが、次のところが分かりません。
>自然数からなる数列{a[n]}, {b[n]}を次により定義します。
>(a[1], b[1])＝(2, 1),
>(a[n+1], b[n+1])＝(2a[n]＋b[n], a[n]＋b[n])（nは自然数）
この(a[n+1], b[n+1])＝(2a[n]＋b[n], a[n]＋b[n])（nは自然数）
はどのようにして見つけたのでしょうか？
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No.5934 - 2011/01/18(Tue) 19:41:14
| ☆ Re: / りょう ♂ [東海] [大学院生] | | |  | 初めて投稿します。これはｘ＾２−ｘｙ−ｙ＾２の因数分解がポイントです。
まず、ｔ＾２−ｔ−１＝０という方程式を考えます。すると、
α＝（１＋√５）／２，α’＝（１−√５）／２
が解として出てきます。そして、
ｘ＾２−ｘｙ−ｙ＾２＝（ｘ−αｙ）（ｘ−α’ｙ）
と因数分解できます。
次に、ｘ＝２，ｙ＝１は１つの解ですが、他の解（ｐ，ｑ）があったとします。すると、
（２−α）（ｐ−αｑ）（２−α’）（ｐ−α’ｑ）
＝（２−α）（２−α’）（ｐ−αｑ）（ｐ−α’ｑ）＝１
となります。ここで、α＾２＝α＋１，α’＾２＝α’＋１ですから、
（（２ｐ＋ｑ）−α（ｐ＋ｑ））（（２ｐ＋ｑ）−α’（ｐ＋ｑ））＝１
とかけ、この（２ｐ＋ｑ，ｐ＋ｑ）が新しい解として得られます。そういうわけでこのように漸化式を定義しているわけです。
しかしこれでは、どのようにしてｘ＝２，ｙ＝１が得られたのかが謎として残ってしまいます。説明は難しいのですが、この場合に限り、次のように説明できます。
まず、α＝１＋（１／α），α’＝１＋（１／α’）という式から、
１−α＝−１／α， １−α’＝−１／α’
とします。αα’＝−１なので、
（１−α）（１−α’）＝−１
となり、２乗すると、
（１−α）＾２＝１−２α＋（α＋１）＝２−α，（１−α’）＾２＝２−α’，
（２−α）（２−α’）＝１
となって２と１が得られます。一般の場合には連分数展開というものを使います。
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No.5936 - 2011/01/19(Wed) 11:45:11 |
| ☆ Re: / kl ♀ [地球外] [高校2年生] | | | | ありがとうございます。よく分かりました。
＞一般の場合には連分数展開というものを使います。
興味をもったので、ここのところを具体的に教えて頂けませんか？
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No.5939 - 2011/01/20(Thu) 23:51:08 |
| ☆ Re: / りょう ♂ [東海] [大学院生] | | | | えーと、まずさっきの投稿で（ｐ，ｑ）は「他の解」としましたが、起点はｐ＝２，ｑ＝１でここから解を作っていくので他ではまずいです。すみません。
さて、一般の場合ですが、今日大学で調べたところ、すごく難しい問題であるらしいことが分かりました。ですが、特別な場合にはうまい方法があるようなので、それについて説明してみます。
まず、ａ，ｂは整数とし、ａ≧０で、Ｄ＝ａ＾２＋４ｂは正の数で、平方数ではないとします。このとき、方程式：
ｘ＾２−ａｘｙ−ｂｙ＾２＝１
の自然数解を求めます。Ｄは、２次式ｔ＾２−ａｔ−ｂの判別式で、このとき、
α＝（ａ＋√Ｄ）／２， α’：他の解， 左辺＝（ｘ−αｙ）（ｘ−α’ｙ）
とできます。ａが奇数か偶数かで異なるのですが、とりあえずａが奇数の場合を考えようと思います（たとえばａ＝１，この問題のケース）。
最初に、両辺を４倍して平方完成します。すると、
４（ｘ＾２−ａｘｙ−ｂｙ＾２）＝４，
（２ｘ−ａｙ）＾２−Ｄｙ＾２＝４
となります。ここで、もしｕ＾２−Ｄｖ＾２＝４の自然数解ｕ，ｖがあれば、
ｘ＝（ｕ＋ａｖ）／２， ｙ＝ｖ
としてｘとｙが条件を満たします。そこでこのｕとｖを求めます。
初めに、ｎ＜√Ｄ＜ｎ＋２なる奇数ｎをとって、ｚ＝（ｎ＋√Ｄ）／２とおき、次の操作をひたすら繰り返します。
Ａ＜ｚ＜Ａ＋１なる整数Ａをとって、 ｚ＝Ａ＋（１／Ａ’），
Ｂ＜Ａ’＜Ｂ＋１なる整数Ｂをとって、Ａ’＝Ｂ＋（１／Ｂ’），
Ｃ＜Ｂ’＜Ｃ＋１なる整数Ｃをとって、Ｂ’＝Ｃ＋（１／Ｃ’），・・・
すると、Ａ’，Ｂ’，Ｃ’，・・の中にいつか必ずｚが現れるので、そこでやめます。簡単のためＣ’＝ｚであったとして、ここから式を逆にたどりｚの分数式を作ります。
Ｂ’＝Ｃ＋（１／ｚ）＝（Ｃｚ＋１）／ｚ，
Ａ’＝Ｂ＋（１／Ｂ’）＝Ｂ＋（ｚ／（Ｃｚ＋１））＝（（ＢＣ＋１）ｚ＋Ｂ）／（Ｃｚ＋１）
といった具合ですね。すると最終的に、
ｚ＝（ｐｚ＋ｑ）／（ｒｚ＋ｓ）
となるのですが、ここで分母が、
ｒｚ＋ｓ＝（ｕ＋ｖ√Ｄ）／２， ｕとｖは整数
とかけ、ｕ＾２−Ｄｖ＾２＝±４となります。−４になってしまったときは、
ｕ’＝（ｕ＾２＋Ｄｖ＾２）／２， ｖ’＝ｕｖ
とすればｕ’＾２−Ｄｖ’＾２＝４となってくれます。この２つも整数です。
最後に、ａが偶数、ａ＝２ｃのときは、
（ｘ−ｃｙ）＾２−（Ｄ／４）ｙ＾２＝１
となり、Ｄ／４＝Ｄ’として、
ｕ＾２−Ｄ’ｖ＾２＝１
の自然数解を探すことになります。この場合は、ｍ＜√Ｄ’＜ｍ＋１という整数ｍをとってｚ＝ｍ＋√Ｄ’とし、さっきと同じ操作により表示ｚ＝（ｐｚ＋ｑ）／（ｒｚ＋ｓ）を得ます。ここで、ｒｚ＋ｓ＝ｕ＋ｖ√Ｄ’というｕ及びｖをとると、ｕ＾２−Ｄ’ｖ＾２が−１か１になります。−１のときは、
ｕ’＝ｕ＾２＋Ｄ’ｖ＾２， ｖ’＝２ｕｖ
と取り直します。こんな感じですね。
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No.5942 - 2011/01/21(Fri) 15:20:02 |
| ☆ Re: / kl ♀ [地球外] [高校2年生] | | | | わざわざ調べていただいてありがとうございました。
大変参考になりました。
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No.5946 - 2011/01/24(Mon) 14:22:48 |
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