 | 今年の神戸学院の入試問題でわからない問題がありましたので、教えてください。
ｘ＝2+√3 を解にもつ二次方程式の一つとして、
x^2-ax-b=0 がある。
という問題です。
実際にはﾏｰｸ式なので aの部分は a=Ａ√Ｂ b=C （Ａ，Ｂ，Ｃがﾏｰｸの解答欄）と
なっています。
この二次方程式のもう一方の解をαとおくと、
解と係数の関係により
2+α＋√3＝a
α(2+√3)=-b
bは解答欄の形から整数なので、α=T(2-√3）とおける。（Ｔは整数）
これを2+α＋√3＝aに代入すると、
2+T(2-√3）＋√3＝a
2+2T-T√3＋√3＝a
2+2T+√3(1-T)=a
ここで、a=Ａ√ＢでＴは整数なのですが、この等式は成立しないように思われます。
また、x^2-ax-b=0にｘ＝2+√3に代入して整理すると
√3（4-a)+7-2a-b=0
√3（4-a)=0 ,7-2a-b=0を解くと ←このようにして良いかも疑問ですが…
a=4 b=-1となり、x^2-ax-b=0に代入すると
x^2-4x+1=0 となり
この二次方程式を解くと解にx=2+√3が求まります。
しかし、マーク解答欄の形と矛盾します。
間違っている部分や正しい方針教えて下さい。よろしくお願いします。
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No.5864 - 2010/12/16(Thu) 12:39:14
| ☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [教育関係者] | | |  | > a＝A√B , b＝C ( A , B , C がマークの解答欄)となっています。
A , B , C はもちろん整数になりますね。
もしかしたら、「 a＝A√B はこれ以上簡単にできない」といった条件はありませんか？
この条件があれば、「 A の値は 0 以外で、B の値は 2 , 3 , 5 , 6 , 7 のどれか」となります。
> この二次方程式のもう一方の解を α とおくと、解と係数の関係により、
> 2＋α＋√3＝a , α(2＋√3)＝−b
> b は解答欄の形から整数なので、α＝T(2−√3) とおける。( T は整数)
> これを 2＋α＋√3＝a に代入すると、
> ・・・
> 2＋2T＋√3(1−T)＝a
ここまでの内容は、全く間違っていません。
> ここで、a＝A√B で T は整数なのですが、この等式は成立しないように思われます。
先ほどの 2＋2T＋√3(1−T)＝a に a＝A√B を代入すると、
2(1＋T)＋(1−T)√3＝A√B となります。
この式について、T, A, B は整数なので、
「 a＝A√B はこれ以上簡単にできない」といった条件があれば、
2(1＋T)＝・・・ かつ (1−T)√3＝・・・ となるので、
「 1＋T＝・・・ かつ 1−T＝・・・ かつ 3＝・・・ 」となります。
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> また、x^2−ax−b＝0 に x＝2＋√3 に代入して整理すると
> ・・・
> √3(4−a)＋7−2a−b＝0
> √3(4−a)＝0 , 7−2a−b＝0 を解くと ←このようにして良いかも疑問ですが…
> ・・・
a＝A√B が無理数であれば、4−a も無理数なので、
√3(4−a)＝0 , 7−2a−b＝0 と考えるのは適切ではありません。
a , b がともに有理数であるときは、この考え方で解いてもよい事になります。
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No.5865 - 2010/12/16(Thu) 17:13:54 |
| ☆ Re: / しんのすけ ♂ [近畿] [高校１年生] | | | | 先ほどの 2＋2T＋√3(1−T)＝a に a＝A√B を代入すると、
2(1＋T)＋(1−T)√3＝A√B となります。
この式について、T, A, B は整数なので、
「 a＝A√B はこれ以上簡単にできない」といった条件があれば、
2(1＋T)＝・・・ かつ (1−T)√3＝・・・ となるので、
「 1＋T＝・・・ かつ 1−T＝・・・ かつ 3＝・・・ 」となります。
に関してですが、問題の最初の注意書きに明記されており、
A√B はこれ以上簡単にできないという条件になります。
2(1＋T)＋(1−T)√3＝A√B
T, A, B は整数であるから、
2(1＋T)＝0…（1）
（1）より
T＝-1
2(1＋T)＋(1−T)√3＝A√B に代入して
Ａ＝2 Ｂ＝3
2+α＋√3＝a＝2√3 ←解と係数の関係の方程式より
α＝-2+√3
これを
α(2+√3)=-b に代入して解くと
b=1
したがって、求める二次方程式は
x^2-2√3ｘ-1＝0
できました。
疑問に思っていた点も理解できました。
ありがとうございました。
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No.5866 - 2010/12/16(Thu) 23:42:48 |
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