 | こんばんは、15回目の質問になります。筑波大学の問題です。
C:y=x^2上の異なる2点、P(t,t^2),Q(s,s^2) (s＜t)における接線の交点を
R(X,Y)とする。
(1)X,Yをt,sを用いて表せ。
(2)点P,Qが∠PRQ=π/4を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し
かつ、その双曲線の方程式を求めよ。
(1)はy=x^2を微分して接線の方程式をだして、というかXは中点になるのは有名？！
X=(t+s)/2 Y=tsと出せました。
(2)においてx軸正方向とPRのなす角をα、PQとのなす角をβとおく接線の傾きから
｜tan(α-β)｜=[2｜t-s｜]/[｜1+4ts｜]=1とまで出せました。その後絶対値を
二乗したりして(1)を用いて変形しようとしてなんとかすすめることができました。
解答をみると絶対値を用いないで解答ではαとβが逆になっていましたがtan(β-α)=1を
解いて進んでいます。この場合は絶対値は不要なのでしょうか？よろしくお願いいたします。
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No.5753 - 2010/11/09(Tue) 20:51:43
| ☆ Re: 傾きとtanθ / londontraffic [教育関係者] | | |  | あっくわんさん，こんばんは．
まず初めに，お読みになった解答ですが，オフィシャルなものではないと思います．
（オフィシャルな物は存在すらないと思いますが）
他にも解答があると思いますが，私が考えたのは，ベクトルの利用です．
vec{RP}，vec{RQ}の内積を利用するのですが，この２つのベクトルのなす角がπ/4ということから，内積が正になるハズですよね．
vec{RP}=((t-s)/2,t^2-st)，vec{RQ}=((s-t)/2,s^2-st)
よりvec{RP}・vec{RQ}=(t-s)^2(-1/4-st)となるので，内積が正になる条件は
st<-1/4
です．ここから読み取れるのは少なくともs,tは異符号，すなわちs<0<tであること．よってα<βであるから，tan(β-α)=1としていいということが分かると思います．
作図するとs,tは異符号だなというのは何となく分かると思いますが，しっかりとした答案にするには多くの議論が必要ですよね．それならば，あっくわんさんの用いた方法で攻めた方がいいと私は思います．
いかがですか？
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No.5755 - 2010/11/11(Thu) 21:11:21 |
| ☆ Re: 傾きとtanθ / あっくわん ♂ [関東] [再受験生] | | | | londontrafficさん回答ありがとうございます。
なるほど！ベクトルの利用ですか。このほうがtanθの利用がはっきり
しそうですね。π/4になるようなグラフがのってましたので
解答では簡潔にしたのだと思います。内積が正になることからは
思いつきませんでした。どうもありがとうございました！
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No.5756 - 2010/11/12(Fri) 01:39:12 |
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