リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ 初めまして / 千葉県高校生 ♂ [関東] [高校3年生]

初めまして。

今年の数学?Vの東京書籍からの質問なのですが
P121の練習問題Aの１の（４）の
y=sin^{2}x＋sin 2x (0 leqq x leqq 2π)
の概形をかけという問題なのですが

微分するとこまでは分かるのですが、
これは第２次導関数まで求める問題なのでしょうか。

休んでいたのですが、宿題で指されてしまったので、
途中式がいまいちわかりません。

グラフは一応書いてあるので、
大事な途中式が重要みたいなのですが。。

出来ればやり方を教えてください。
お願いします。

No.5627 - 2010/10/06(Wed) 01:29:57

☆ Re: 初めまして / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

はじめまして。

教科書の練習にしては，難易度がやや高いように思いますので，問題を再確認して欲しいのですが，
y=sin^{2}x+sinx　もしくは y=2sin^{2}x+sin2x
の間違いではありませんか？

問題が　y=sin^{2}x＋sin 2x で正しいのであれば，微分した結果を書き込んでください。

=========
運営上の理由より，次回より個性的なHNに変更をお願いいたします。

No.5628 - 2010/10/06(Wed) 13:41:14

☆ Re: / ますし ♂ [関東] [高校3年生]

すいません。
問題の書き間違いです。

y=sin^{2}x+2sinx(0 leqq x leqq 2π)
です。

質問しておきながらすいません。。

No.5629 - 2010/10/06(Wed) 23:32:27

☆ Re: 初めまして / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

ますしさん，こんばんわ。
やはり打ち間違いでしたね。

微分するとどうなりましたか？

No.5630 - 2010/10/06(Wed) 23:48:26

☆ Re: 初めまして / ますし ♂ [関東] [高校3年生]

すいませんでした。。

sin^{2}の微分でつまづいてる状態です。

2sinxは2cosxになるのは分かるのですが・・・。

No.5631 - 2010/10/06(Wed) 23:57:24

☆ Re: 初めまして / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

こんばんわ。

＞sin^{2}の微分でつまづいてる状態です。

では基本の確認からいきます。
(x^2+1)^2 の微分は　2(x^2+1)・(x^2+1)'=2(x^2+1)・2x=4x(x^2+1)
となるのはＯＫですか？

ＯＫならば，sin^{2}x を　(sin x)^2 と考えてみましょう。

No.5632 - 2010/10/07(Thu) 02:02:19

★ 帰納法 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

こんにちは、お世話になってます。10回目の質問になります。広島大学の問題です。

数列{a_n}をa₁=1,a_(n+1)=(a_n)^2/[2a_n+3] (n=1,2,3,・・・)によって定める

(1)a_(n+1)＜a_n,0＜a_n≦1(n=1,2,3,・・・)を示せ。
(2数学的帰納法によって a_n≦1/[5^(n-1)]を証明せよ。

(1),(2)とも強引なやりかたかもしれませんがなんとか解答することができましたが
問題集の解答とはかなり異なっているので不安になりました。同じ問題が他の手持ちの
問題集にもありましたが2冊とも解答方法が違う感じでした。

自分の解答は

(1)a_n＞0は明らかであるから、a_n-a_(n+1)=a_n(a_n+3)/[2a_n+3]＞0 ∴a_(n+1)＜a_n
a_n≦1を示す。
n=1のときa₁=1より成り立つ。
n=kのとき、a_k≦1が成り立つと仮定すると、1-a_(k+1)=・・・(3-a_k)(1+a_k)/[2a_k+3]＞0
よってn=k+1のときも成り立つ。したがって数学的帰納法により題意は示された。

(2)n=1のとき左辺=1,右辺=1となって成り立つ。
n=kのときa_k≦1/[5^(k-1)]が成り立つと仮定すると両辺1/5倍して
1/5a_k≦1/(5^k), 1/5a_k-a_(k+1)=[-5(a_k)^2+2a_k+3]/[5(2a_k+3)]≧0

∵(1)よりa_k＞0,-5(a_k)^2+2a_k+3=-5[a_k-1/5]^2+16/5
0＜a_k≦1だから0≦-5(a_k)^2+2a_k+3＜3

よってa_(k+1)≦1/5^kとなりn=k+1でも成り立つ。したがって題意は証明された。

---------------------------

●疑問1
不親切な解答？などをみるとよく～は明らか！などと表現しているのを見かける
のですが実際のところそのような表現は用いてもよいのでしょうか？記述解答を
逃げるものとして、同様にして・・・なんてのもよく見かけます。

●疑問2
自分は1-a_(k+1)=・・・(3-a_k)(1+a_k)/[2a_k+3]＞0としましたが、解答をみると≧0と
なっている場合もあります。n=k+1のときも等号が成り立つ場合を示さなければならないと
思うのですがa_k≦1が成り立つと仮定すると等号が成り立つのはa_n＞0なので等号は
a_n=3のときとなって変な気がします。a_n=-1はもっと変だと思いおかしいのではない
のでしょうか？この場合0より大きいから0以上であるので≧0としてもよいという
理解でよろしいのでしょうか？必要十分とかで見かける【ならば】を考えて自分は
x＞0ならばx≧0は成り立つという感じでよいと思いました。ついでにx≧0ならばx＞0は
成り立たない(反例x=0)。(2)の場合は等号を示すことができたみたいです。

問題集の解答をポイントをしぼって全部記載しますと
(1)まずa_k＞0ならば,a_(k+1)の分子分母が正であるからa_(k+1)＞0,a₁=1＞0より a_n＞0
したがってa_(n+1)=(a_n)^2/[2a_n+3]=[(1-(a_n+3)/2(a_n+3)]a_n＜a_n　∴a_(n+1)＜an a₁=1であるから
0＜a_n≦1

(2)・・・仮定後、a_(k+1)=[a_k/(2a_k+3)]・a_k={1/2-3/[2(2a_k+3)]}・a_k、ここで0＜a_k≦1
であるから1/2-3/[2(2ak+3)]≦1/2-3/[2(2+3)]=1/5,よって
a_(k+1)≦(1/5)a_k≦1/5・1/[5^(k-1)]=1/(5^k)　・・証明された。

●疑問3
【まずa_k＞0ならば】から始まっています。明らかにa_n＞0を示そうという動機だと思う
のですがa_k＞0でないときの場合を示さないで解答が終わっているのが変な気がします。

●疑問4
分からないのはa_(n+1)=(a_n)^2/[2a_n+3]=[(1-(a_n+3)/2(a_n+3)]a_n＜a_n　という式変形の発想です。
(同じもの-何か)＜同じものという不等式の帰納法でよく見かける表現はわかるのですが
すぐに思いつくものなのでしょうか？いかにもテクニックぽくって知らなければできないような気がします。
(2)の仮定後の式変形の表現も同じような理由で気になります。
自分の解答は鮮やかなものではありませんが数学的に正解になるのかそれても厳密性に欠ける
部分が見られるのかが気になります。

式がゴチャゴチャで質問点も多くて恐縮ですがよろしくお願いいたします

No.5624 - 2010/10/04(Mon) 18:42:34

☆ Re: 帰納法 / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは、ゆうです。

では順番に考えていきます。

●疑問1
「明らかに」「同様に」などの表現を用いても良いか、という質問に関しては私からは明確な回答はできません。
すべて採点者の判断になります。厳しい採点者もいますので、特に「明らか」はなるべく使わないほうが良いでしょう。
（今回の問題に関して、a[n]＞0は明らかでも良いと私は思います。）
同じ考え方・計算方法で解決できる事柄に対しては「同様に」を使っても問題ないと思われます。

●疑問2
これは、あっくわんさんの「＞0」のほうが正確です。
実際、等号が成り立つのはn＝1のときのみですから。
まず、a[n]＞0 であることは分かっているので、a[n]＝-1 となることはありません。
また、a[k]≦1を仮定すると、a[k]＜3も成り立ちますので
(3-a[k])(1+a[k])/(2a[k]+3)＞0 で問題ありません。
問題集の解答でイコールを付けたのは、n＝1 の場合の等号成立も含めて「≧0」で統一したかったからではないでしょうか。
（完全な推測です。特に「≧」でなければならない理由がない気がします）
x＞0ならばx≧0という解釈で大丈夫です。

●疑問3
そうです、これはa[n]＞0を示そうとしたものです。
この証明で数学的帰納法が使われているのは、分かりますか？
この部分を詳しく証明すると
n＝1のとき、a[1]＝1＞0より成り立つ。
n＝kのとき、a[k]＞0を仮定する。
n＝k+1のとき、仮定より、a[k+1]の分子分母が正であるから、a[k+1]＞0
という流れになります。
あっくわんさんが疑問に思っている「まずa[k]＞0ならば」というのは数学的帰納法の仮定なのです。
そのため、この証明は帰納法の記述を省略した感じがありますが、何も問題はありません。

●疑問4
最初に確認ですが、分母は(2a[n]+3)ですね。
テクニックと言われれば、それはその通りなのかもしれませんが、
任意の実数Ａに対し、Ａ－（正数）＜Ａ
という不等式は 0＜（正数）という、これこそ明らかな事柄を用いたものなので、無理な発想という訳でもないと思いますよ。

最後に、あっくわんさんの解答ですが、その方法で大丈夫です。
（２）の最後の式の分子は、因数分解すると平方完成による説明が不要ですので、よりスッキリした証明になるかと思います。

長くなりましたが、疑問は解決しましたでしょうか。不明な点があれば、遠慮なく質問してください。

No.5625 - 2010/10/04(Mon) 20:39:30

☆ Re: 帰納法 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

ゆうさん、すばやい回答および丁寧な解説どうもありがとうございます。
分からない部分がかなり理解できました。そしてこちらの記載ミスまでも
指摘もしていただきました。

誤　a_(n+1)=(a_n)^2/[2a_n+3]=[(1-(a_n+3)/2(a_n+3)]a_n＜a_n
正　a_(n+1)=(a_n)^2/[2a_n+3]={(1-(a_n+3)/[2(a_n+3)]}a_n＜a_n
ですね。添え字やらかっこやらで大変でした。

疑問1ですが自分で明らかという表現を用いた解答をしたのに質問するというへんな感じ
になりましたが今後は明らかを証明する場合も注意したいと思います。関連する疑問3につきましては
問題集の解答(1)より、まずa_k＞0ならば,a_(k+1)の分子分母が正であるからa_(k+1)＞0,a₁=1＞0より a_n＞0
後ろから読んでみればn=1のとき成り立ち、a_n＞0と仮定するとa_(k+1)の分子分母が正であるからa_(k+1)＞0
という確かに帰納法の仮定の一般的な形になりますね。(2)を数学的帰納法により証明となっているので
(1)は指示されていないので著者の方が簡潔に示したという見方もとれそうです。

疑問2のイコールについてが一番気になっていたことですが理解が深まりました。そして
自分の表現のしかたに問題がなかったということで安心できました。
最後の疑問の式変形ですがなんどか繰り返してみて後日の復習時にそれが再現できるように
したいところです。

とても丁寧な解説ありがとうございました！

No.5626 - 2010/10/04(Mon) 23:07:45

★ (No Subject) / スバル ♀ [関東] [高校2年生]

こんにちは、またわからない問題があるのでよろしくお願いします。
学校の授業で出された問題です。
x>0,y>0,2x+y=8のとき、z=log_{2}2x+log_{2}yの最大値を求めよ。

log_{2}x=X,log_{2}y=Yとおく。
2を底として2x+y=8の両辺の対数をとると
log_{2}2x+log_{2}y=log_{2}8
log_{2}(2×x)+log_{2}y=log_{2}2^3
log_{2}2+log_{2}x+log_{2}y=3log_{2}2
1+X+Y=3
X+Y=2
ゆえにY=-x+2

ここから下がわかりません。
x>0,y>0よりlog_{2}x>log_{2}0,log_{2}y>log_{2}0

log_{2}0はおかしいとわかるのですが、どうすれば良いかわかりません。

No.5601 - 2010/10/01(Fri) 19:43:53

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは。回答させていただきます、ゆうです。

まず、対数の性質に関してですが、解答の途中過程にあります
「2を底として2x+y=8の両辺の対数をとるとlog_{2}2x+log_{2}y=log_{2}8」
は成り立ちません。

log(x+y)＝logx+logy ではありません。log(xy)＝logx+logy です。

方針を変えて、2x+y=8ですから y＝8-2x として yを消去して考えたらどうでしょうか。

No.5602 - 2010/10/01(Fri) 19:56:51

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校2年生]

ゆうさん、よろしくお願いします。

すみません、方針を変える前に聞きたいのですが
log(xy)=logx+logyはわかるのですがどこでlog(x+y)=logx+logyと自分はしているのでしょうか？自分で解いているのにわかりません。

No.5603 - 2010/10/01(Fri) 20:32:50

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

前にも書きましたが、

一番最初の、2x+y=8の両辺の対数をとる部分です

結果が、log_{2}2x+log_{2}y=log_{2}8 となっています。

No.5604 - 2010/10/01(Fri) 20:38:03

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校１年生]

自分が勝手な勘違いしてるのかもしれませんが、「対数をとる」ということはただlogをつけることとは違うのですか？

No.5605 - 2010/10/01(Fri) 20:53:38

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

そうですね、ただ単にlogを付ければ良いというものではありません。

加法に対して、「logの分配法則のようなもの」は成り立たないからです。

例えば、A+B＝C という関係式があったとします（ただし、C＞0）。
これに対して単にlogを付けて
logA+logB＝logC としてしまうことは、log(x+y)=logx+logyという間違った性質を用いていることになります。

正しくは、log(A+B)＝logC です。このことは、ご理解いただけますか？

No.5606 - 2010/10/01(Fri) 21:07:46

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校１年生]

なるほど、よくわかりました。

ではyを消去して考えようと思います。
2x+y=8 より　y=-2x+8
これをz=log_{2}2x+log_{2}yに代入
Z=log_{2}2x+log_{2](-2x+8)
=1+log_{2}x ・・・？

すみません、ここで止まってしまいました。
「log_{2}(-2x+8)」をどうすればよいのでしょうか？

No.5607 - 2010/10/01(Fri) 21:37:17

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

納得していただけたようで良かったです。

それでは、関数zをxのみの式で表す方針ですが、xはx＞0の全ての実数値をとるわけではありません。
y＝-2x+8で、さらにy＞0という条件がありますので、y＝-2x+8＞0 つまり 0＜x＜4ということも忘れないで下さい。

それでは代入していきます（対数の底は2とします）。
z＝log(2x)+log(8-2x)
＝log(2x)+log(2(4-x))
＝1+logx+1+log(4-x)
＝logx+log(4-x)+2

このようになりますが、ここまでは大丈夫ですか？

No.5608 - 2010/10/01(Fri) 21:54:40

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校１年生]

はい、ここまではわかりました。
でもここから先が思いつきません。
最小値を求めるということは2次関数の形にするのでしょうか？

No.5616 - 2010/10/02(Sat) 09:51:15

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

スバルさん、おはようございます。

そうです、二次関数の問題として考えます。

z＝logx+log(4-x)+2 となりましたが、最初の二つのlogを一つにまとめることが出来ます。
そうすると、真数部分が二次式になりますので、二次関数の最大値を求めることになります。

No.5617 - 2010/10/02(Sat) 10:22:24

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校１年生]

z=logx+log(4-x)+2
=logx(4-x)+2
=log-(x^2-4x)+2
=log-{(x-2)^2-4}+2
よってx=2のとき最大値は2+2=4

こんな感じでいいのでしょうか？

No.5618 - 2010/10/02(Sat) 10:38:51

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

はい、そのようになります。

最大値などを求める時は、xの定義域（0＜x＜4）をしっかり考慮しましょう。
また、もともとzはxとyの関数ですので、最大値をとる時のyの値も書いておいて下さい。
2x+y=8ですから、x=2の時のyの値もすぐにわかります。

最後に、細かいことですが真数部分が正であることを強調するために、「－」は外に付けずに
z＝log{4-(x-2)^2}+2 と書いた方が分かりやすいです。

No.5621 - 2010/10/02(Sat) 11:04:06

☆ Re: / スバル ♀ [関東] [高校１年生]

なるほど、わかりました。

今回はどうもありがとうございました。

No.5622 - 2010/10/02(Sat) 12:07:16

★ (No Subject) / eko ♀ [近畿] [高校１年生]

はじめまして。４STEP数学?T＋Aの２５９の問題が分かりません。

四角形ABCDの2つの対角線AC、BDの交点をOとする。
AC=4、BD=7、∠AOB=45°であるとき四角形ABCDの面積Ｓを求めよ。

△OAB+△OBC+△OCD+△ODAという考え方をするのかなと思ったのですが、
肝心の△OABの求め方が分かりません。よろしくお願いします。

No.5610 - 2010/10/01(Fri) 22:52:25

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんばんは、ゆうです。

考え方は合っていますよ、その方針で大丈夫です。
しかし、ここでは一般化して、∠AOB＝θとして、面積Ｓを長さＡＣ、ＢＤを用いて表してみましょう。

対角線の交点がＯですから、まずＡＣ＝ＡＯ＋ＯＣ、ＢＤ＝ＢＯ＋ＯＤとして辺を分けて考えます。
（記述を簡単にするために、ＡＯ＝a、ＯＣ＝c、ＢＯ＝b、ＯＤ＝d とします）
こうすると、△OAB+△OBC+△OCD+△ODAの値がsinθと上記の辺の長さを用いて表されます。

まずはここまでやってみてください。

No.5611 - 2010/10/01(Fri) 23:06:13

☆ Re: / eko ♀ [近畿] [高校１年生]

ありがとうございます。

△OAB+△OBC+△OCD+△ODA
=(ab sinθ+bc sinθ+cd sinθ+ad sinθ)/2となりました。

No.5614 - 2010/10/02(Sat) 00:15:51

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

おはようございます。

それで合っていますよ。
ただ、そこで計算をやめないで、もう少し進めましょう。

△OAB+△OBC+△OCD+△ODA
＝(ab sinθ+bc sinθ+cd sinθ+ad sinθ)/2
＝(ab+bc+cd+ad)sinθ/2

ここで、最初の ab+bc+cd+ad は因数分解できます。

No.5615 - 2010/10/02(Sat) 06:21:47

☆ Re: / eko ♀ [近畿] [高校１年生]

なるほど！！
それで(ab+bc+cd+ad)=AC+BD=4+7になって
そこから計算していくんですね！

No.5619 - 2010/10/02(Sat) 10:40:34

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

AC+BD ではありません。

まず、因数分解しましょう。
ab+bc+cd+ad＝a(b+d)+c(b+d)＝(a+c)(b+d) です。

ですから、S＝(a+c)(b+d)sinθ/2＝AC*BDsinθ/2 が正解です。

No.5620 - 2010/10/02(Sat) 10:56:37

★ 互いに素 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

こんにちは、9回目の質問になります。九州大学の問題です。

整数を係数とするn次の整式
f(x)=x^n+a₁x^(n-1)+・・・・・+a_n-1x+a_n　(n＞1)
について、次にのことを証明せよ。
有理数αが方程式f(x)=0の1つの解ならば、αは整数である。

α=q/p（p,qは互いに素な整数でp≠0とおく）
f(α)=0より
f(q/p)=(q/p)^n+a₁(q/p)^(n-1)+・・・・・・+a_n-1(q/p)+a_n=0
ここまで書けて結局は完答できなかったので解答をみると

最初の流れは同じ感じになっていました。解答ではその後

(q/p)^n+a₁(q/p)^(n-1)+・・・・・・+a_n-1(q/p)+a_n=0
の両辺に(q/p)^nを掛けて、q^n+a₁pq^(n-1)+・・・・a_np^n=0
ゆえに　q^n=-p[a₁q^(n-1)+a₂pq^(n-2)+・・・・+a_np^(n-1)]
a₁.a₂.a₃・・・・a_nは整数であるから右辺はpの倍数となる。
ところがq^nとpも互いに素であるからこのようなことが起こる
のはp=±1に限る。よってα=±qとなり、αは整数である。
-----------------

解答の流れ自体は(q/p)^nを掛けるとか思いつかないのは仕方ない
のですが分からないのは最後の【p=±1に限る】という所です。

p,qは互いに素な整数だからq^nとpも互いに素であるということは
理解できます。

そこで、例えばp=1,qが整数のとのときp,qは互いに素と言える
のでしょうか？1は素数でないと思っていましたので。そこで
互いに素とはどんなものか調べてみますと、1と-1以外に共通の
約数をもたない2つの数であることが分かりました。有理数は
分数で整数/整数(分母は0でない)と表せる数だから例えば整数3は
有理数だから3/1=3、で1は素数でないのに互いに素と言えるので
しょうか？1,3は確かに±1しか共通の約数をもたないので互いに
素であるという表現には問題なさそう・・？とモヤモヤしています。
よろしくお願いいたします。

No.5597 - 2010/10/01(Fri) 13:24:27

☆ Re: 互いに素 / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは、ゆうです。

「p＝1、qが整数のとのときp、qは互いに素と言えるのでしょうか」
とのことですが、結論から言いますと互いに素です。

pとqが互いに素であるとは、あっくわんさんの解釈の通り
「pとqが1と－1以外に共通の約数をもたない」つまり「pとqが共通の素因数をもたない」ということです。

おそらく、あっくわんさんは
「p、qが互いに素であるときは、どちらも素数でなければならない」
と思い込んでおられるのではないでしょうか？
そのため「1は素数でないので……」となりモヤモヤした状態になってしまったと思います。

実際、pとqは素数でなくても良いのです。例えば１８と３５は互いに素です。
また、1や－1は全ての整数と互いに素になります。
（1は素因数を持たないので、どんな整数とも共通の素因数を持つことはありません。
ただし、１の素因数分解を１と定義することもありますので、１を特別扱いしている感じはしないわけではありませんが……）

このとき、１や１８や３５が素数であるかどうかは関係ないのです。
着目するのは、１８と３５を素因数分解した時、共通の素因数があるかどうか、なのです。
（約数をそれぞれ書き並べた時、１以外の共通の約数があるかどうか、という解釈でも同じです）

納得していただけましたでしょうか。

No.5599 - 2010/10/01(Fri) 17:16:02

☆ Re: 互いに素 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

ゆうさん、毎度の回答ありがとうございます。まさにそれ！でした。
互いに素は2つとも素数なのになんで1は素数じゃないのに？と
考えていました。それに-1,1は全ての整数と互いに素になるという
ことも新たな発見・・・手持ちの参考書をみたところそのような記述
はみかけられず、素数は中学生のときに習ったのにどうしたものかと
モヤモヤしていました。この問題とあと2,3問くらいでやってきた
問題集が終わりそうなので今後ともよろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。

No.5600 - 2010/10/01(Fri) 18:50:23

★ 不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

こんにちは、8回目の質問になります。名古屋市立大学の問題です。

nを2以上の整数とする。f(x)=(1/4)x^n、g(x)=x-1とするとき
x＞0のときf(x)とg(x)の大小関係をしらべよ。

h(x)=f(x)-g(x)として微分して増減表から
x=(4/n)^[1/(n-1]で極小かつ最小とでてきたのですが
ここからh(x)に代入して大小関係を判別するのだと
思いますけどどのようにすればよいのでしょうか？代入
するとごちゃごちゃした式になってしまい判別の仕方が
わかりません。よろしくお願いいたします。

No.5579 - 2010/09/25(Sat) 18:57:39

☆ Re: 不等式の問題 / ゆう ♂ [東北] [大学生]

あっくわんさん、こんばんは。

確かに、h(x)＝f(x)-g(x) として計算すると面倒になってしまいますね。

今 x＞0 ですから、h(x)＝g(x)/f(x) として、h(x)と1との大小を比較してみたらどうでしょうか。

No.5580 - 2010/09/25(Sat) 21:08:03

☆ Re: 不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

h(x)＞1であればg(x)＞f(x)
h(x)＜1であればg(x)＜f(x)
h(x)=1であればg(x)=f(x)ということを考えればよいのです
よね。n=2、3あたりであればグラフを書くこともできるので
なんとかなりそうですが・・・。

h(x)＝g(x)/f(x) として、y=h(x)とy=1との大小関係を考える
方法でやってみたですがh(x)＝g(x)/f(x)を商の微分法を使って
みたのですがnの値が具体的にわからないのでグラフを書く
ことができません(ToT)、とりあえずこのほうほうでh(x)は
x=n/(n+1)で極大かつ最大となったのですがh(x)に代入すると
負の値になってしまう？でつまずいています。
またこの問題は数学1A2Bの範囲なのですが最初の一手が間違って
いるのかそれともあっているとしたら何を考えればよいので
しょうか？

No.5581 - 2010/09/26(Sun) 01:17:15

☆ Re: 不等式の問題 / ゆう ♂ [東北] [大学生]

おはようございます。

x＞0 より f(x)＞0 ですから、考え方は合っています。

ところで、極値をとるxの値が違っているようです。
もう一度、丁寧に計算してみて下さい。極値は負にならないはずです。
また、極値と1との大小を比較すれば、グラフを描かなくても解決できますよ。

私も、最初あっくわんさんの解法で進めてみましたが、式が複雑で判別できませんでした。
そこで、商の微分の方法を思いつきましたので（数学の教科書の範囲に関係なく）この方針をとりました。

この問題は、結果はg(x)≦f(x)と直感的にわかるので、
範囲を1A2Bに限定するならば、数学的帰納法という手段もあるかもしれません。

No.5582 - 2010/09/26(Sun) 07:47:41

☆ Re: 不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

ゆうさん、回答ありがとうございます。やはりご指摘に
とおり極値をとる値を間違えていました。

x＞0であるときx≠0だから
h(x)＝g(x)/f(x) として、y=h(x)とy=1との大小関係を考える
h'(x)=・・・・{4x^(n-1)[(1-n)x+n]}/x^2n
h'(x)=を解くと、{4x^(n-1)[(1-n)x+n]}=0、x＞0であるときx≠0
よりx=n/(n-1)　増減表をかく・・・。
x=n/(n-1)のとき、h(x)は極大かつ最大となる。

h[n/(n-1)]=・・・4/n*[(n-1)/n]^(n-1)≦1
等号はn=2のとき成り立つ。
よって
n=2のときh(x)=1
n≧3のときh(x)＞1となるから求める答えは
n=2のとき　f(x)≧g(x)、等号はx=2のとき成り立つ。
n≧3のとき　f(x)＞g(x)

h[n/(n-1)]≦1の示し方に苦労しましたが
4/n*[(n-1)/n]^(n-1)≦1という感じでよろしいのでしょうか？

No.5583 - 2010/09/26(Sun) 15:46:19

☆ Re: 不等式の問題 / ゆう ♂ [東北] [大学生]

ほぼ良いと思います。あとは4/n*[(n-1)/n]^(n-1)≦1の示し方です。

まず、今までの流れを簡単にまとめてみましょう。

x=n/(n-1)のとき、h(x)は極大かつ最大となるので
h(x)≦4/n*[(n-1)/n]^(n-1)で等号成立はx=n/(n-1)のとき、となります。

次に、4/n*[(n-1)/n]^(n-1)≦1を示したいのですが、これを明らかだとしてしまうのは厳密性に欠ける気がします。

まず、n＝2のときは（左辺）＝1となり、4/n*[(n-1)/n]^(n-1)≦1の等号が成立します。
さらにx=n/(n-1)のとき、つまりx＝2のときh(x)≦4/n*[(n-1)/n]^(n-1) の等号も成立しますので、
以上をまとめてn＝2のときg(x)≦f(x)、等号成立はx＝2のとき、となります。
ここまでは問題ないと思います。

そしてn≧3のときは、少し工夫が必要です。
4/n*[(n-1)/n]^(n-1)＝[4(n-1)/n^2]*[1-1/n]^(n-2) のように二つの積に変形します。

n≧3のとき、n-2≧1で、0＜1-1/n＜1より、0＜[1-1/n]^(n-2)＜1 であり、
また、n^2-4n+4＞0より、n^2＞4(n-1)だから、0＜4(n-1)/n^2＜1となります。
よって、それらの積も0＜[4(n-1)/n^2]*[1-1/n]^(n-2)＜1 となりますので、目的の式が示されます。
このとき、「≦1」のイコールが入らないので、n≧3で等号が成り立つことは無いということも示されます。

nの式がゴチャゴチャして見にくいですが、ご理解いただけましたでしょうか。

No.5584 - 2010/09/26(Sun) 16:57:08

☆ Re: 不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

たびたびどうもありがとうございます。≦1の示し方まで詳しく教えて
いただき理解が深まりました。問題集の解答では別解が載ってなくて
力ずくでh(x)=f(x)-g(x)として微分して・・n=2.3.4と代入するという
自分にとってはよく分からない方法をとっていました。数3を履修しない
文系の方はどうなるのでしょうかね。どうもありがとうございました！

No.5585 - 2010/09/26(Sun) 18:16:28

★ (No Subject) / めろ ♂ [九州] [高校3年生]

sin1°+sin2°+・・・＋sin29°の値を求めよ。
ただし、√3＝1.471,π＝3.14とする。

どうしたらよいでしょうか？
お願いします。

No.5568 - 2010/09/18(Sat) 22:59:12

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは、ゆうです。

まず最初に、問題文だけではなく「自分の解答の過程」を教えて下さい。
どのような方針を立てたのか知りたいのです。

上記のことと合わせて、回答の前に、こちらから幾つか質問させて下さい。

?@√3やπの近似値が与えられていますが、この問題は「与式の近似値を求める」と解釈してよろしいですか。
　また、与えられた√3の近似値と本来の値との誤差が大きいと思います。√3＝1.732 ではないですか。
?A回転行列や微分を用いた近似法は勉強されましたか。

No.5569 - 2010/09/19(Sun) 13:31:01

☆ Re: / めろ ♂ [九州] [高校3年生]

ゆうさんご指摘ありがとうございます
方針が全く判らず三角関数の合成を使ったり和から積の公式を使ったりしてみてだめでした。
その後友達に聞いたら問題文が違うと教えられ(>_<)
新しい問題を聞いてきました。
Ｓ＝sin1°＋sin3°＋sin5°＋sin7°＋・・・＋sin29°とおく。
sin1°＝0.01745,√3＝1.732とするとき,Sの値を小数第3位まで求めよ
でした。すみませんこれも三角関数の合成など使ってもだめでした。
数学は三とCまで全部習ってますが行列の回転移動のやり方はやっとみましたがイマイチ方針が立てれません
近似値を求めてみるチャレンジはまだです

No.5570 - 2010/09/20(Mon) 10:42:25

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

おはうございます。

ここでは、一度に複数のご質問はご遠慮いただいております。

最初に
「Ｓ＝sin1°＋sin3°＋sin5°＋sin7°＋・・・＋sin29°とおく。sin1°＝0.01745,√3＝1.732とするとき,Sの値を小数第3位まで求めよ」
が解決してから、次の質問を書き込んで下さい。
掲示板のルールですので、よろしくお願いします。

ところで、もう一つの問題ですが、
sinx＋sin3x＋sin5x＋sin7x＋cosx＋cos3x＋cos5x＋cos7x＝0
の間違いではありませんか？
（もし、こちらの方程式が正しいならば、二問とも同じ方針で解決できますので、私が担当します。）

こちらからの注文が多く、申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

それでは、最初の問題に関してですが、sin1°の値が与えられているのであれば、近似は必要ありません。
私は回転行列を用いた解法しか思いつきませんでしたので、このやり方で進めていきたいと思います。

まずは、返信をお待ちしております。

No.5572 - 2010/09/20(Mon) 12:17:44

☆ Re: / めろ ♂ [九州] [高校3年生]

ゆうさんありがとうございます

ルール無用で行なってすみません。
回転移動でチャレンジしてみました。
Ａとして1°回転する行列をつかった場合
(Ａ＋Ａ^3＋Ａ^5＋・・＋Ａ^29)で(1,0)の点を移したときの第2成分がＳとなりますが
Ａ＋Ａ^3＋Ａ^5＋・・＋Ａ^29を求めるとき
(Ａ^2-Ｅ)^(-1)Ａ(Ａ^30－Ｅ)を求めることとなりました。
しかし、cos1°やcos2°を求めることになり断念してます

方針はいかがでしょうか？

No.5573 - 2010/09/21(Tue) 13:16:13

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは。

その方針で大丈夫です。
三角関数の加法定理や倍角・半角公式、和積公式を使うとcos1°等の値は求めなくても良い形になると思います。

しかし、この機会に一般化して、まず下記の値を求めてしまいましょう。
?@sinθ＋sin3θ＋sin5θ＋…＋sin(2n－1)θ
?Acosθ＋cos3θ＋cos5θ＋…＋cos(2n－1)θ
ただしθ≠kπ（kは整数）とします。

求め方は、めろさんの方針と殆ど同じですが細部が少し異なると思います。

これを求めるために、角θの回転行列Aを用います。
P＝A＋A^3＋A^5＋…＋A^(2n－1)とおくと、Pの（1、2）成分が?@、（1、1）成分が?Aになります。

両辺に左からA^2を掛けると
(A^2)P＝A^3＋A^5＋A^7＋…＋A^(2n＋1)が得られます。
各辺を引くことで
P－(A^2)P＝（E－A^2）P＝A－A^(2n＋1)となります。
ここで、この両辺に左から（E－A^2）の逆行列を掛けるとPが得られます。

途中の計算がかなり面倒になると思いますが、計算練習の意味も含めて頑張って求めてみて下さい。
このとき、三角関数の様々な公式を利用して、出来るだけ簡単な形にして下さい。とても綺麗な値が得られます。

それでは計算結果の（1、2）成分、（1、1）成分を書き込んで下さい。
途中で分からなくなってしまったら、出来たところまで教えて下さい。

※ヒント
・三角関数の加法定理（sin(α＋β)＝…、cos(α＋β)＝…）を逆方向に使います。
・（1、2）成分に関しては分母はsin、分子はcosの式で表すこと、（1、1）成分に関しては分子分母共にsinの式で表すことが目標です。

No.5574 - 2010/09/21(Tue) 13:46:56

☆ Re: / めろ ♂ [九州] [高校3年生]

(1,1)成分はsin(2nθ)/2sinθとなりました。
(1,2)成分は(1-cos(2nθ))/2sinθとなりました。
いかがでしょうか？

No.5575 - 2010/09/22(Wed) 10:20:21

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

おはようございます。

それで合っています。
これで、
?@sinθ＋sin3θ＋sin5θ＋…＋sin(2n－1)θ＝(1-cos(2nθ))/2sinθ
?Acosθ＋cos3θ＋cos5θ＋…＋cos(2n－1)θ＝sin(2nθ)/2sinθ
が得られました。

?@式にn＝15、θ＝1°を代入すると答えが求まります。どうでしょうか？

No.5576 - 2010/09/22(Wed) 10:39:15

☆ Re: / めろ ♂ [九州] [高校3年生]

もとまりました(^O^)
3.839となりました。
この場合3.8395なので四捨五入して3.840と答えるべきでしょうか？

あとsinx＋sin3x＋sin5x＋sin7x＋cosx＋cos3x＋cos5x＋cos7x＝0もθ＝x,n＝4でもとまりました

ありがとうございます

No.5577 - 2010/09/22(Wed) 14:30:51

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

無事に解答できたようですね。

四捨五入か切り捨てかの判断は、難しいところですが、この場合は切り捨てのほうが本来の値に近いです。
（sin1°＝0.01745、√3＝1.73205 で計算すると、より正確ですが……）

sinx＋sin3x＋sin5x＋sin7x＋cosx＋cos3x＋cos5x＋cos7x＝0 も解決できて良かったです。

No.5578 - 2010/09/22(Wed) 15:18:55

★ 教えてください! / 空

数学1の問題です。

学校の問題集で
答えをみても
分からなかったので
投稿しました。

|a|+|b|=0であることは
a=b=0であるための
必要十分条件らしいのですが

なぜそうなるかがいまいち
よく理解出来ません。

必要条件になるのは
わかります。

けれども絶対値の考え方が
よくわからないので
なぜ十分条件になるのかが
知りたいです。

解説には
|a|≧0,|b|≧0であるから
となっています。

それなら理解できるのですが

問題文には
文字はすべて
実数であるとする

ということしか
書いてありません。

a<0,b<0のときは
成り立たないのは
理解できます。

ではもしa≧0,b<0の場合は
必要条件でも十分条件でも
ないことになります。

一番わからないことは
解説でなぜa≧0,b≧0と
確定しているのかと
いうことです。

詳しく教えてください。

よろしくお願いします。

No.5566 - 2010/09/18(Sat) 17:37:30

☆ Re: 教えてください! / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]

こんばんは，ＣＯＲＮＯです．
回答の前に，２つお願いがあります．
１．学年メニューから１つを選択してください．学年がわからないと，適切な回答ができない場合があります．
２．１行をあまり短くせず，行も無駄にあけないでください．見にくい状況になっています．
では，いきましょう．

＞一番わからないことは解説でなぜa≧0,b≧0と確定しているのかということです。
　いえ，そうではないでしょう？
＞解説には|a|≧0,|b|≧0であるからとなっています。
　と空さんは書いていますよ．
　まず，これに注意してもう一度考えてみてください．

No.5567 - 2010/09/18(Sat) 18:39:18

★ (No Subject) / レイラ ♀ [関東] [高校2年生]

こんにちは。近畿大の問題です。
x,yに関する2次方程式x^2＋xy－2y^2＋4x＋5y＋3=0は2直線を表す。この2直線の方程式と交点の座標を求めよ。

もう最初からどうすれば良いのか全くわかりません。
投げやりのようで申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.5558 - 2010/09/17(Fri) 21:18:35

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

レイラさん、こんばんは。回答させていただきます、ゆうです。

まず、x,yに関する2次方程式x^2＋xy－2y^2＋4x＋5y＋3=0が2直線を表す、ということは、
この方程式がa1x＋b1y＋c1＝0 または a2x＋b2y＋c2＝0 という二つの直線の方程式を表すことを意味します。
（直線の方程式にある1、2はアルファベットの添え字です。）

「a1x＋b1y＋c1＝0 または a2x＋b2y＋c2＝0」⇔「（a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2）＝0」ですから
与えられた方程式をどう変形すれば良いのか、方針が見えてくると思います。

No.5559 - 2010/09/17(Fri) 22:18:20

☆ Re: / レイラ ♀ [関東] [高校2年生]

ゆうさん、よろしくお願いします。

なるほど、そういうことだったのですね。
変形して（x＋2y＋1）（x－y＋3）=0
よって2直線の方程式はx＋2y＋1=0,x－y＋3=0

上の2直線を連立して解いてx=-11/3,y=-2/3
したがって求める交点の座標は（-11/3,-2/3）

こんな感じでしょうか？

No.5561 - 2010/09/18(Sat) 14:14:00

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

こんにちは。

その通りです。
与えられた二次式を一次式の積に因数分解して
「（x＋2y＋1)(x－y＋3）＝0」⇔「x＋2y＋1＝0 または x－y＋3＝0」の同値関係を利用します。

ただ、計算ミスだと思われますが、交点の座標が違っています。

No.5562 - 2010/09/18(Sat) 14:57:47

☆ Re: / レイラ ♀ [関東] [高校１年生]

すみません、計算したら確かに間違っていました。
(-7/3,2/3)となりました。

No.5563 - 2010/09/18(Sat) 15:09:18

☆ Re: / ゆう ♂ [東北] [大学生]

それで正解ですね。

この問題では、以上で説明したように与式の因数分解（またはx、yについて解くこと）がポイントです。

ご理解いただけましたか。

No.5564 - 2010/09/18(Sat) 15:20:23

☆ Re: / レイラ ♀ [関東] [高校１年生]

次にこのような問題が出たら自力で解けるようにしておきます。
この度はありがとうございました。

No.5565 - 2010/09/18(Sat) 15:43:14

★ 平面の方程式と球 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

こんにちは7回目の質問になります、新潟大学の問題です。

(x,y,z)を座標とする空間に点A(1,0,1)を中心とする
半径1の球Sと点B(3,0,3)がある。BからSに接線をひいた
ときの接点の全体は一定の平面上にあって、円になっている。

(1)この平面の方程式を求めよ。
(2)この円の半径を求めよ。

平面の方程式は近年の受験範囲外？かもしれませんが、平面上の通る点
とその平面の法線ベクトルにより表せることは理解しています。

接点をP(x,y,z)としてPはS上だから球の半径を考えて
(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1・・・・○1

→BPと→APは垂直だから内積を考えて
(x-3)(x-1)+y^2+(z-3)(z-1)=0・・・・○2

○1と○2からx,y,zの二乗の項を消去して求める答えは　2x+2z-5=0
となるようですがこれは平面上の一部である接点P(x,y,z)だから
x,y,xの一次式で表せば平面の方程式となることを意味している
のでしょうか？イマイチ消去するという意味が理解しがたいです

また(2)は平面の円の中心をQとして三角形APQで三平方の定理から
半径を求めるのですがAから平面に降ろした垂線の足がQつまり
円の中心Qになるという理解で正しいのでしょうか？球はどこで
切っても円になるので正しいと思うのですが問題集の解答には
図でも表されていないので自分なりに考えたものです。

特に二乗の項を消去するところが分からなくて困っています。
よろしくお願いいたします。

No.5550 - 2010/09/15(Wed) 11:36:48

☆ Re: 平面の方程式と球 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

あっくわんさん、こんばんは。河童です。

まず、前半、あっくわんさんにとって肝心なところから参りましょう。

(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1・・・・○1
(x-3)(x-1)+y^2+(z-3)(z-1)=0・・・・○2

この「○1かつ○2（今後は(1) (2) と記します）」が点(x,y,z)が接点であるための必要十分条件であることはよろしいですね。
これは後の議論で出てきますので覚えておいてください。
さて、

(1) - (2) によって　2x+2z-5=0　……(3)　が得られたということは、つまり、

「(1) かつ (2)」ならば (3)

を意味します。
言い換えると、(1) と (2) をともに満たす x, y, z は (3) も満たす、ということです。
(1) と (2) をともに満たす x, y, z というのは先に述べたように接点に他ならないのですから、
結局、「接点は(3)を満たす」つまり「接点は曲面(3)上にある」ということになります。
ところが(3)というのは平面を表しますので、「接点は平面(3)上にある」つまり、求めるべき平面は(3)に他ならない、というわけですね。

以上が消去の意味なのですが、恐らくあっくわんさんは、「消去しっぱなし」であることに違和感を持たれているのだと思います。

最初に(1) -(2) によって (3) を導きましたね。
逆に、(1) - (3) をすると (2) が得られますから、「(1)かつ(2)」は「(1)かつ(3)」と同値です。これはお分かりでしょうか？
つまり、消去しっぱなしでなく、(3)と(1)を組んだものが元の連立方程式と同値だというのです。
これが分かれば最初に「覚えておいてください」と言ったことを思い出してください。
「(1)かつ(2)」が「(1)かつ(3)」と同値であるということは、

「(1)かつ(3)」が、点(x,y,z)が接点であるための必要十分条件であることを意味している

ということになりますよね。
つまり「(1)かつ(3)」というのは、接点の集合を球面(1)と平面(3)との交点の集合として表現し直した、ということになります。
お分かりになりましたでしょうか。

No.5552 - 2010/09/16(Thu) 02:04:17

☆ Re: 平面の方程式と球 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

河童先生、回答ありがとうございます。必要十分条件とか
でてきてあせりますが(3)の集合とは(1)かつ(2)の集合の
部分に他ならないという理解でよろしいのでしょうか？

(1)かつ(2)ならば(3)へと(3)ならば(1)かつ(2)である。
したがって(1)式と(2)式からだした(3)は必要十分条件
をみたしている式変形であると考えてよいことになると
解釈してみたのです。

よくみかける式変形で、必要条件→必要条件→で攻めて
逆に十分性を確認するといった作業がこの場合必要十分条件
であるから特に断りもなく進めているということなのでは？
とも考えました。

まだあやふやな部分も残っていますが、私の解釈に間違いが
あればアドバイスがあればありがたいです。

「消去しっぱなし」であるという違和感はまさに私の理解できていない
部分にズバリと刺さりました！解答をみると特にことわりもなく
(1)と私の場合は内積でとらえたのですが、(1)とBPの長さから
(1)-(2)は(3)を満たすから求める平面は　2x+2z-5=0　……(3)となって
ました。

問題(2)は図形的な意味でとらえるしかならないのでしょうか？
解答をみると点と平面の距離という考えで解いているみたいなのです。
こちらからの注文となりすみません。

No.5553 - 2010/09/16(Thu) 10:33:37