 | よろしくお願いします。
信州大学の問題です。
m,nを自然数とし、mは奇数とする。
f(x)=x^2+mx+nとするとき、方程式
f(f(x))+mf(x)-n^2-2mn-n=0
は、複素数の範囲で相異なる4つの解をもつことを示せ。
自分はうまいやり方が思いつかなかったので、与式を計算して因数分解すると、
x(x+m){x^2+mx+2(m+n)}=0 となります。
x^2+mx+2(m+n)=0の2解を
α＝{-m-√(m^2-8m-8n)}/2
β＝{-m+√(m^2-8m-8n)}/2
として、α、βが-m,0でないことを示せばよい。
まずα≠０であることは明らか。
β＝０と仮定して二乗して計算すると、m=-nとなり正＝負となって不合理。
よってβ≠０
α＝-mと仮定するとこれもm=-nとなって不合理。
よってα≠-m
β＝-mと仮定すると、これもm=-nとなって不合理。
よってβ≠-m
以上より、与式は相異なる4解、x=0,-m,α,βをもつ？？
m＞0,n＞0という条件しか使ってないですし、mは奇数という条件も使ってないので、合っていない気がするのですが、どうでしょうか？
√(m^2-8m-8n)のルートの中身の正負を気にしてない所がまずいかなあと思うのですが･･･。
例えばルートの中身が負、つまり虚数のとき、iが出てきて二乗するとマイナスになるから･･･。
でも虚数だとすると二乗する手前で虚数＝実数となって不合理だから･･･などという感じで合っているかわからないのですが、あっさりしすぎていてどうも変みたいだなという感じです･･･。
ご指摘よろしくお願いします。
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No.5546 - 2010/09/14(Tue) 23:08:28
| ☆ Re: 複素数の範囲での解の個数 / ヘボ太 [浪人生] | | | | 尚、解答は、与式をうまく変形した後、
x^2+mx=0 または x^2+mx+2(m+n)=0 として、
前者の解は0,-mであって、これを後者の方程式に代入しても成り立たないから解でない。
その後、後者の判別式が０でない（ここでmが奇数を利用）。
という流れです。
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No.5547 - 2010/09/14(Tue) 23:22:09 |
| ☆ Re: 複素数の範囲での解の個数 / londontraffic [教育関係者] | | |  | おはようございます．londontrafficです．
ほぼいいと思いますよ．ただ，
>α、βが-m,0でないことを示せばよい。
は，
「α、βが-m,0ではなくかつx^2+mx+2(m+n)=0が重解をもたないことを示せばよい。」
ですよね．
そうすると，模範解答のようにx^2+mx+2(m+n)=0 の判別式
D=m^2-8(m+n)
において，「mが奇数」が必要になりますね．
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No.5548 - 2010/09/15(Wed) 06:50:18 |
| ☆ Re: 複素数の範囲での解の個数 / ヘボ太 [浪人生] | | | | londontrafficさん回答ありがとうございます。
無意識にα≠βを前提としてましたが、
m^2-8m-8n≠0も条件なんですね。
ありがとうございました！
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No.5549 - 2010/09/15(Wed) 08:22:19 |
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