 | プリント配布からの問題です。
xを実変数とし,c_kを実数とする時,
lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0
の真偽判定をせよ。
もし真なら証明せよ。もし偽なら反例を挙げよ。
という問題ですがどのようにすれば解けるのでしょうか?
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No.6947 - 2012/04/19(Thu) 00:39:06
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | |  | はるかさん、こんばんは ITです。問題が分からないのでお教えできるか分かりませんが。
> lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k
は、転記漏れではないですか？
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No.6948 - 2012/04/19(Thu) 01:13:04 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校１年生] | | | | > 転記漏れではないですか？
といいますと? 何かおかしいでしょうか?
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No.6949 - 2012/04/19(Thu) 05:18:01 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | 特に転記漏れはありませんが。
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No.6950 - 2012/04/19(Thu) 05:22:37 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | ⇒ の 左側の「lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k」は、真偽が判定できる命題になっていません。
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No.6951 - 2012/04/19(Thu) 07:41:36 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | あ゛ーっ
全くの見落としでした。大変大変失礼いたしました。
正しくは
lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k=0 ⇒ c_0=c_1=…=0
です。
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No.6952 - 2012/04/19(Thu) 21:32:04 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | ITです、こんばんは。それでは、いっしょに考えてみましょう。
・はるかさんは 外国におられるようですが、教科書や参考書は日本と同じですか？
・数列、級数、関数列 の極限、関数の連続性などに関しては、どんな定理・収束判定法などを習われましたか？ 名称だけで結構ですので列挙して下さい。そのうちどれが使えそうですか？
・はるかさんの見込みでは真・偽のどちらだと思われますか？（極限の問題の場合、見込みとは違う答えになる場合も多いので要注意ですが）
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No.6953 - 2012/04/20(Fri) 18:59:30 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか [高校3年生] | | |  | 有難うございます。
> ITです、こんばんは。それでは、いっしょに考えてみましょう。
> ・はるかさんは 外国におられるようですが、教科書や参考書は日本と同じですか？
プリント配布を使ってます。恐らく,日本の教科書と同じものだと思われます(日本語なので)。
> ・数列、級数、関数列 の極限、関数の連続性などに関しては、どんな定理・収束判定法などを習われましたか？
> 名称だけで結構ですので列挙して下さい。
等差数列,等比数列,無限等比級数, lim_{x→0}sin(x)/x=1とか,lim_{x→a}f(x)とf(a)が存在してlim_{x→a}f(x)=f(a)ならfはx=aで連続であるとか,
lim_{n→∞}(√(n+1)-√(n-1))=lim_{n→∞}(√(n+1)-√(n-1))(√(n+1)+√(n-1))/(√(n+1)+√(n-1))
=lim_{n→∞}2/(√(n+1)+√(n-1))=0とかです。
> そのうちどれが使えそうですか？
すいません。見当がつきません。無限等比級数が使える?
> ・はるかさんの見込みでは真・偽のどちらだと思われますか？（極限の問題の場合、見込みとは違う答えになる場合も多いので要注意ですが）
全くの予想ですが真のような気がします。
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No.6954 - 2012/04/21(Sat) 02:54:11 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | できれば、この問題のページとこの問題の直前の定理や例題がどんな表現されているか画像を付けてもらうといいのですが。
lim_{n→∞}Σ{k=0}^n a_k が収束すれば lim_{n→∞} a_n = 0 は、習われましたか？
> 全くの予想ですが真のような気がします。
では、真を証明する方針で考えて見ましょう。
まず、任意の実数 xについて lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k = 0 ⇒ c_0=0 は、簡単に証明できそうですが、どうでしょう？
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No.6955 - 2012/04/21(Sat) 05:33:42 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | 有難うございます。
>> プリント配布を使ってます。恐らく,日本の教科書と同じものだと思われます(日本語なので)。
> 日本人学校のようですね。できれば、この問題のページと
> この問題の直前の定理や例題がどんな表現されているか画像を付けてもらうといいのですが。
スキャンできそうな場所を探してみたいと思います。
> lim_{n→∞}Σ{k=0}^n a_k が収束すれば lim_{n→∞} a_n = 0 は、習われましたか？
はい。逆は偽なんでしたよね。
>> 全くの予想ですが真のような気がします。
> では、真を証明する方針で考えて見ましょう。
> まず、任意の実数 xについて lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k = 0 ⇒ c_0=0 は、
> 簡単に証明できそうですが、どうでしょう？
えーと、もしc_0≠0だとすると,もしc_0≠0だからといって
lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^kが発散する筈は無い(?)ので,
lim_{n→∞}(c_0+Σ{k=1}^n c_k x^k)=lim_{n→∞}c_0+lim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k
=c_0+lim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k≠0となる予定、、、で矛盾なのでc_0=0でなければならない(?)
c_0+lim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k≠0となる理由はと言うと、
c_0+lim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k=0ならlim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k=-c_0でなければならない(?)。
lim_{n→∞}Σ{k=1}^n c_k x^k=-c_0でなければならない理由がどうしてもち分かりません。
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No.6956 - 2012/04/21(Sat) 10:36:28 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | 直前の例題（解法は不要）をいくつかＵＰしてみてもらえますか？
はるかさんの（？）のところは、後で考えるとして、
x=0 のときを考えたらどうなりますか？
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No.6957 - 2012/04/21(Sat) 11:02:18 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | 有難うございます。
> スキャンが難しいなら、直前の例題（解法は不要）をいくつかＵＰしてみてもらえますか？
今回の問題がプリントの一番最初にありまして,早速つまづいている次第です(特にこれについての例題はありません)。
この問題の後には,
a_1=1,a_{n+1}=√(1+a_n) (n=1,2,…)の時,{a_n}の極限値を求めよ。
とか
Σ_{n=1}^∞1/nが発散する事を示せ。
とか
f(x)が連続ならば,|f(x)|も連続となる事を示せ。
とか
x^3-4x+1=0の根で(0,1)にいるもの以外はどの区間にあるか。
などが載ってます。
> はるかさんの（？）のところは、後で考えるとして、
> x=0 のときを考えたらどうなりますか？
c_0x=0の時は
0=lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k 0^k=lim_{n→∞}(c_0+Σ{k=1}^n c_k ・0)
=lim_{n→∞}(c_0+Σ{k=1}^n 0 = lim_{n→∞}(c_0+0) =c_0
なのでc_0=0となりますね。
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No.6960 - 2012/04/21(Sat) 21:29:39 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | > 今回の問題がプリントの一番最初にありまして,早速つまづいている次第です(特にこれについての例題はありません)。
このプリントを出題される前に習われた「極限や整級数等に関する例題」と言う意味であり、このプリントに限らず、どんなことを習っておられるか知りたかったのですが。
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No.6961 - 2012/04/21(Sat) 21:53:06 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | 失礼いたしました。
無限級数,無限等比級数,無限級数,関数の極限,指数関数,対数関数,三角関数の極限,連続関数などを勉強しました。
整級数については任意のxについてlim_{n→∞}x^n/n!=0が成立つ
とかを勉強しました。
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No.6962 - 2012/04/21(Sat) 23:04:21 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | >f(x)が連続ならば,|f(x)|も連続となる事を示せ。
連続の定義は、どう習われましたか？、ひょっとしてε-δ法を習われましたか？ これも定義に従えばできそうですね。
> 整級数については任意のxについてlim_{n→∞}x^n/n!=0が成立つとかを勉強しました。
整級数について、コーシー・アダマールの定理、収束半径、収束円、や
（定理）整級数はその収束円の内部で無限回微分可能で、その各階の導関数は項別微分によって得られ、それらの収束半径は不変である。は習われましたか？
この定理を使い、両辺をk回微分しX=0とすればc_k = 0が簡単に導けます。（天下り的ですが）
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No.6963 - 2012/04/22(Sun) 00:36:25 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | 有難うございます。
>>a_1=1,a_{n+1}=√(1+a_n) (n=1,2,…)の時,{a_n}の極限値を求めよ。
> α=√(1+α)を満たすαに極限値の目途を付けて、挟み撃ちの原理で求めるやつですね。
はい,さようです。
>>Σ_{n=1}^∞1/nが発散する事を示せ。
> これは、有名な問題ですね。 Σ_{n=1}^∞1/n ＞
> 1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+..+1/16)+(1/32+..+1/32)+..
これもさようです。
>>f(x)が連続ならば,|f(x)|も連続となる事を示せ。
> 連続の定義は、どう習われましたか？、ひょっとしてε-δ法を習われましたか？
> これも定義に従えばできそうですね。
以前,発展問題でε-δ法も習いました。
>> 整級数については任意のxについてlim_{n→∞}x^n/n!=0が成立つとかを勉強しました。
> 整級数について、コーシー・アダマールの定理、
んーと,調べてみました。
Σ_{n=0}^∞a_n x^nの形の級数は1/lim_{n→∞}sup{|a_n|^{1/k};k≧n}として収束半径を求めれるのですね。
> 収束半径、収束円、や
|x|を0から∞に大きくしていくとある値rまではΣ_{n=0}^∞a_n x^nは収束し,rを超えると発散するような一定値rが存在する。このrを収束半径という。
そして,|x|<rを満たすxの範囲を収束円というのですね。
> （定理）整級数はその収束円の内部で無限回微分可能で、
> その各階の導関数は項別微分によって得られ、
> それらの収束半径は不変である。は習われましたか？
いえ,習っておりません。この定理は
「|x|<rなら 任意のkに対してd^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^nのが存在し,
d^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^n=Σ_{n=0}^∞d^k/dx^k a_n x^nが成立し,
しかも,d^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^nの収束半径もrとなる。」
という定理なのですね。
この定理の名称は何なのでしょうか?
> この定理を使い、両辺をk回微分しX=0とすればc_k = 0が簡単に導けます。（天下り的ですが）
lim_{n→∞}Σ{m=0}^n c_m x^m =0の収束半径をrとし,
d^k/dx^k lim_{n→∞}Σ{m=0}^n c_m x^m = d^k/dx^k 0は
d^k/dx^k Σ{m=0}^∞ c_m x^m = d^k/dx^k 0 で
|x|<rにて
Σ{m=0}^∞ d^k/dx^k c_m x^m = 0 (∵定理)となり,
Σ{m=0}^∞ m・(m-1)・(m-2)…(m-(k-1))c_m x^{m-k} = 0 となりこれは
(k-(k-1))c_k x^{k-k}+((k+1)-(k-1))c_k x^{k+1-k}+((k+2)-(k-1))c_k x^{k+2-k}+…=0
即ち,
1・c_k ・1+ 2・c_k x^1+ 3・c_k x^2+…=0なのでc_k=0となるのですね。これを使えば
c_0=c_1=…=c_n=0が導けますね。
|
No.6987 - 2012/04/30(Mon) 03:01:07 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | |  | はるかさん こんにちは？ ＩＴです。
日本は、ゴールデンウイーク前半が終わろうとしています。そちらはいかがですか？
> 以前,発展問題でε-δ法も習いました。
日本の一般的な高校数学より進んでいるようですね。
> > （定理）整級数はその収束円の内部で無限回微分可能で、その各階の導関数は項別微分によって得られ、それらの収束半径は不変である。は習われましたか？
> いえ,習っておりません。
日本の高校参考書をいろいろ調べたところ、この定理は赤チャートに証明なしで載っていましたが、それ以外では見当たりませんでした。
それだと、この定理を使わず証明するのが良いかも知れませんね。もし、お急ぎでなければいっしょに考えてみましょう。
> この定理の名称は何なのでしょうか?
「項別微分定理」とある本や、何も名称のない本もあるようです。
|
No.6988 - 2012/04/30(Mon) 09:12:52 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / はるか ♀ [外国] [高校3年生] | | | | ITさんこんにちは。
> はるかさん こんにちは？ ＩＴです。
> 日本は、ゴールデンウイーク前半が終わろうとしています。そちらはいかがですか？
今の時期は特にvacation seasonでもなく通常の週をすごしてます。
>> >>f(x)が連続ならば,|f(x)|も連続となる事を示せ。
>> > 連続の定義は、どう習われましたか？、ひょっとしてε-δ法を習われましたか？
>> 以前,発展問題でε-δ法も習いました。
> 日本の一般的な高校数学より進んでいるようですね。
了解です。
>> > （定理）整級数はその収束円の内部で無限回微分可能で、
>> > その各階の導関数は項別微分によって得られ、
>> > それらの収束半径は不変である。は習われましたか？
>> いえ,習っておりません。
> 日本の高校参考書をいろいろ調べたところ、この定理は赤チャートに
> 証明なしで載っていましたが、それ以外では見当たりませんでした。
> それだと、この定理を使わず証明するのが良いかも知れませんね。
> もし、お急ぎでなければいっしょに考えてみましょう。
有難うございます。
>> 「|x|<rなら 任意のkに対してd^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^nのが存在し,
>> d^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^n=Σ_{n=0}^∞d^k/dx^k a_n x^nが成立し,
>> しかも,d^k/dx^kΣ_{n=0}^∞a_n x^nの収束半径もrとなる。」
>> という定理なのですね。
> そうです
>> この定理の名称は何なのでしょうか?
> 「項別微分定理」とある本や、何も名称のない本があるようです。
有難うございます。
> ところで、このプリントの問題は、学校で解答を教えられるのですか？
発展問題として自力で解いて欲しいとの事です。
いずれ解答がもらえるのかは分かりません。
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No.6991 - 2012/05/01(Tue) 10:07:34 |
| ☆ Re: lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k ⇒ c_0=c_1=…=0 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | では、続けて考えて見ましょう。
>c_0x=0の時は
※これは、タイプミスですよね
> 0=lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k 0^k=lim_{n→∞}(c_0+Σ{k=1}^n c_k ・0)
> =lim_{n→∞}(c_0+Σ{k=1}^n 0 = lim_{n→∞}(c_0+0) =c_0
> なのでc_0=0となりますね。
次に c_1=0を示しましょう。
（最終的には数学的帰納法で全ての自然数kについて c_k=0を示すのですが、c_1=0 が示せたら後は同様にして証明できます。）
f(x) = lim_{n→∞}Σ{k=0}^n c_k x^k とおきましょう。
c_0=0 を使うと、f(x)は、どう表されますか？
>発展問題として自力で解いて欲しいとの事です。
解法の方針（使って良い定理など）は、先生に確認してみられた方が良いかもしれません。
なお、下記に添え字など表記ミスがあると思います。（この証明方式は、これ以上やりませんので、ご自分で確認してください）
>Σ{m=0}^∞ m・(m-1)・(m-2)…(m-(k-1))c_m x^{m-k} = 0 となりこれは
>(k-(k-1))c_k x^{k-k}+((k+1)-(k-1))c_k x^{k+1-k}+((k+2)-(k-1))c_k x^{k+2-k}+…=0
>即ち,1・c_k ・1+ 2・c_k x^1+ 3・c_k x^2+…=0なのでc_k=0となるのですね
|
No.6998 - 2012/05/03(Thu) 00:54:53 |
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