 | こんにちは、4回めの質問になります。立教大学の問題です。
穴埋め問題です。
x^2+xy-3y^2=(x+○y)^2+○y^2であるから
-1≦x≦1、-1≦y≦1の範囲における
｜x^2+xy-3y^2｜の最大値は○である
平方完成の○はもちろんわかるのですが絶対値がついていて
具体的なyの値がわからないのでグラフを書いて考えようとしても
わかりません。グラフが書けた場合の最大値は負の部分があれば
それを折り返したものになるから頂点か端の値の絶対値の最大値
が最大値になるのと考えました。x=-1、1、(-y)/2でとるのかと思います。
yの値が分からないのでy=kと定数として固定しても同じような感じ
がします。
解答を見ると、変数が2つあるからまずyを固定して考える。
f(x,y)=x^2+xy-3y^2とおくとf(-x,-y)=f(x,y)であるから
x,yの変域を-1≦x≦1、0≦y≦1としてよい・・・となっています。
答えは(13)/4です。
yを固定するというのは思いついたのですがf(x,y)=と
おくとf(-x,-y)=f(x,y)であるからx,yの変域を-1≦x≦1、0≦y≦1
としてよいというのがよくわかりません。変域が同じxとyをいれ
かえても同じだから対称性で考えているのかな？ここまで考えました。
他に解答方法があれば分かりやすいのですが。よろしくお願いいたします。
自分で考えた解答は
yを固定してy=kとして P(x)=｜x^2+kx-3k^2｜を考える
最大値はx=-1.1.(-k/2)のいずれかでとるので
P(-1)=｜-3k^2-k+1｜=｜平方完成省略+13/12｜k=1のとき最大値3
p(1)=｜-3k^2+k+1｜=｜平方完成省略+13/12｜k=-1のとき最大値3
P(-k/2)=｜[(-13)*k^2]/4｜=13*(k^2)/4で k=±1で最大値13/4
よって最大値は13/4とあいまいな感じになりました。このような
考え方は間違っているのでしょうか？
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No.5425 - 2010/08/25(Wed) 19:22:04
| ☆ Re: 2変数と絶対値の問題 / ゆう ♂ [東北] [大学生] | | |  | あっくわんさん、こんにちは。
x,yの変域を-1≦x≦1、0≦y≦1としてよい、ということについて、結論から言うと対称性によるものですが、少し詳しく説明します。
まず、f(x,y)はxy平面上の領域で定義された関数です（この問題の場合、-1≦x≦1、-1≦y≦1なので正方形の領域です）。
f(x,y)＝f(-x,-y) ということは
例えば（x,y）が第一象限の点（x＞0、y＞0）である時、これらの点によって定まるグラフは、第三象限の点(-x,-y)によって定まるグラフと原点対称になります。
また、（x,y）が第二象限の点（x＜0、y＞0）である時、これらの点によって定まるグラフは、第四象限の点(-x,-y)によって定まるグラフと原点対称になります。
よって、すべての領域で考える必要はなく、第一、第二象限のみの範囲で考えて良いということです。
つまり -1≦x≦1、-0≦y≦1 として良いのです。
別解も考えてみましたが、申し訳ありませんが、私には思いつきませんでした。
やはり、y＝kを固定してxを動かした時の最大値を求め、次にkを動かして最終的な最大値を求める方法が一番だと思います。
最後に、あっくわんさんの解答ですが、
論述問題ならば、「最大値はx=-1.1.(-k/2)のいずれかでとる」ことの根拠（xに関する二次関数の最大値問題に帰着させる等、あっくわんさんが最初に書いて下さったような考え方）を示したほうが良いと思いますが、穴埋め問題ならば特に問題ないかと思います。
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No.5427 - 2010/08/26(Thu) 12:37:48 |
| ☆ Re: 2変数と絶対値の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生] | | | | 対称性の詳細な説明ありがとうございます！もう一度
チャレンジしてみます。センター試験みたいに穴の値が
合致してればOKなのも大学志願者が多い場合はしかたが
ないのかもしれませんね。どうもありがとうございました。
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No.5432 - 2010/08/26(Thu) 18:08:19 |
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