リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ はじめまして / ごんた ♂ [甲信越] [高校3年生]

はじめまして。どうしても理解できなかった問題があり、質問させていただきます。

ハイレベル精選問題演習数学?TA?UBのｐ６６からです。

円に内接する四角形ABPCは次の条件を満たす。

・三角形ABCは正三角形である。
・APとBCの交点は線分BCをｐ：１－ｐ(０＜ｐ＜１)の比に内分する。
このときベクトルAPをベクトルBC、ベクトルAC、ｐを用いて表せ。

自分は、線分PCを引き、三角形BAQ∽三角形PCQでAQ:QPを求め、答えを出したのですがあってなかったです。

回答例をみると、｜ベクトルAB｜＝｜ベクトルAC｜＝１にして、円の中心DとAを結び、その延長線上にある円との交点をEと置いて、ベクトルAQ・ベクトルAE＝Oを使って求めていました。
自分の考えのどこが間違っているのかわからないです。

よろしくお願いします

No.5199 - 2010/07/07(Wed) 10:48:20

☆ Re: はじめまして / 森の水だより [塾講師]

はじめまして。これは２０００年の京大の問題ですね。
＞自分は、線分PCを引き、三角形BAQ∽三角形PCQでAQ:QPを求め、答えを出したのですがあってなかったです。

この方針でできますよ。
やったところまで書いてみてください。

No.5200 - 2010/07/07(Wed) 13:04:20

☆ 返信ありがとうございます / ごんた ♂ [甲信越] [高校１年生]

ベクトルAQ＝(１－ｐ)ベクトルAB＋ｐベクトルAC

点A,Q,Pは同一直線状にあるので、ベクトルAP＝ｋベクトルAQ(ｋは実数)となる

三角形BAQと三角形PCQにおいて、同じ弧に立つ円周角は等しいので
∠BAQ＝∠PCQ
∠ABQ＝∠CPQ
よって三つの角が等しいので
三角形BAQ∽三角形PCQ

BQ：CQ＝ｐ：１－ｐより、相似比はｐ：１－ｐ

よってAQ:PQ＝ｐ：１－ｐ

ゆえにPQ＝(ｐ/１－ｐ)AQ

AP＝AQ＋QPより、AP＝(１/1ーｐ)AQ

よってｋ＝１/１－ｐより、

ベクトルAP＝ベクトルAB＋(ｐ/１－ｐ)ベクトルAC

です。よろしくお願いします。

No.5201 - 2010/07/07(Wed) 14:31:07

☆ (No Subject) / 森の水だより [塾講師]

＞BQ：CQ＝ｐ：１－ｐより、相似比はｐ：１－ｐ
＞よってAQ:PQ＝ｐ：１－ｐ

の「相似比はｐ：１－ｐ　よってAQ:PQ＝ｐ：１－ｐ」
のところが違いますね。
三角形の相似比を出すには対応する辺の比をもとにしなければなりません。
三角形BAQ∽三角形PCQなのですから、BQ：CQ＝ｐ：１－ｐだからといって
相似比はｐ：１－ｐとは言えませんね？
相似比はBA：PCかAQ：CQかBQ：PQ　になるのですから。

No.5202 - 2010/07/07(Wed) 15:57:52

☆ Re: はじめまして / ごんた ♂ [甲信越] [高校１年生]

おそくなりすみません。

解けました！比の取りミスに全く気づけなかったです；；
ありがとうございました！

No.5205 - 2010/07/09(Fri) 15:35:12

★ 双曲線について / みのり ♀ [関東] [再受験生]

こんにちわ。

『双曲線 4x^2 - y^2 = 1 上の点Pにおける接線と２つの漸近線で囲まれる三角形の面積を求めよ。』

という問題で、上記の双曲線の漸近線と接線の求め方が分からなくて困ってます。
(x/a)^2-(y/b)^2=±1 型の漸近線と接線の公式にあてはめられません。

問題を解く方針としては、点Pを（(t+1/t)/4 , (t-1/t)/2)とおいて、点Pにおける接線と漸近線の２つの交点を求めて、面積を出そうと思っています。

No.5132 - 2010/06/24(Thu) 14:33:34

☆ Re: 双曲線について / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

みのりさん，こんにちは。
回答が遅くなり申し訳ありません。

点Pの座標を設定することから始めないといけませんが，
パラメター表示を用いる前に，まずは素直に P(s,t) とおいて考えてみましょう。

このとき，点Ｐは双曲線上の点ですから，4s^2-t^2=1 が成り立ちます。

さて，点Pにおける接線と２つの漸近線の交点をQ,Rとします。
Q,Rの座標を s,t で表してみましょう。

＞　(x/a)^2-(y/b)^2=1 型

4x^2-y^2=1　は， a=1/2 ，b=1 ですね。

No.5150 - 2010/06/28(Mon) 16:05:55

☆ Re: 双曲線について / みのり ♀ [関東] [再受験生]

P(s,t)とおいてやってみます。

4s^2-t^2=1 …?@
点Pにおける接線の方程式は、4sx-ty=1 …?A
双曲線の漸近線は、y=±4x …?B

?Aと?Bとの交点を求めると、
4sX±4tx=1 ⇔ x=1/4(s±t)

(Qのx座標)<(Rのx座標)とすると、
Q(1/4(s+t),-1/(s+t)) , R(1/4(s-t),1/(s-t))

よって、
△OQR=1/2|1/4(s+t)(s-t) + 1/4(s-t)(s+t)|
=1/4(s^2-t^2)

となって、?@を利用して値を求めるのかと思ったのですが、sとt両方を消去できません。
どうすればいいですか？

No.5173 - 2010/07/02(Fri) 23:50:31

☆ Re: 双曲線について / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

こんにちは。

漸近線の方程式は　y=±2x ですよ。

解答の最初でケアレスミスをやってしまうと，部分点も殆どもらえなくなってしまいますから，特に答案の最初の数行は計算間違いなどケアレスミスをしていないか，念入りにチェックする癖をつけましょう。

No.5177 - 2010/07/03(Sat) 13:50:04

☆ Re: 双曲線について / みのり ♀ [関東] [再受験生]

うっかりしてました…。
ケアレスミスないように心がけます（汗）

返答ありがとうございました☆

No.5180 - 2010/07/03(Sat) 20:59:47

★ 水の問題 / ヘボ太 [浪人生]

よろしくお願いします。水の問題です。

･････････････････････････････････････････
曲線x=f(y),0≦y≦30をy軸周りに回転して出来る底の平らな空の容器がある。
以下、長さの単位を1cmとする。
この容器に毎秒a(cm^3)の割合で水を入れるとき、あふれだすまではt秒後の水面の上昇速度が1/√(1+t) (cm/秒)であるとする。
関数f(y)を求めよ。ただし、f(y)は正の値を取るものとする。
･････････････････････････････････････････

自力でわかる所まで書きます。

t秒後の水量をV、水面席をS、水位をhとすると、
dV/dt=S･(dh/dt)･･･(1)
が成り立ち、問題文から
dV/dt=a･･･(2)
dh/dt=1/√(1+t)･･･(3)

(2)(3)を(1)に代入して
a=S{1/√(1+t)}

ここからイマイチわかりません。
なんというか特にx=f(y)という関係式がわからないという感じです。

No.5153 - 2010/06/28(Mon) 23:01:54

☆ Re: 水の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

> t秒後の水量をV、水面席をS、水位をhとすると、dV/dt=S･(dh/dt)･･･(1)が成り立ち、
> 問題文から dV/dt=a･･･(2) dh/dt=1/√(1+t)･･･(3)
> (2) (3)を(1)に代入して a=S{1/√(1+t)}

まず、この問題文の内容を踏まえると、
水位はhと置かずに、ある文字を使えばよいことになります。その文字は、何でしょう?

それから、a＝S／√(1＋t)はOKです。
が、この問題は、y軸周りの回転体の形状の容器について扱っていますので、
Sはxを使った単項式(またはf(y)を使った単項式)で表せます。
これが分かれば、a＝S／√(1＋t)とS＝・・・より、x(またはf(y))がtを使った式で表せます。

さらに、yがtを使った式で表すことができたら、
x(またはf(y))＝・・・とy＝・・・より、x(またはf(y))はyを使った式で表すことができます。

No.5157 - 2010/06/29(Tue) 12:36:06

☆ Re: 水の問題 / ヘボ太 [浪人生]

おむすびころりん先生回答ありがとうございます。

> まず、この問題文の内容を踏まえると、
> 水位はhと置かずに、ある文字を使えばよいことになります。その文字は、何でしょう?

なるほどt秒語の水位hは、h = t×1/√(1+t) ＝ t/√(1+t) と表せますね。これでいいでしょうか？

> それから、a＝S／√(1＋t)はOKです。
> が、この問題は、y軸周りの回転体の形状の容器について扱っていますので、
> Sはxを使った単項式(またはf(y)を使った単項式)で表せます。

t秒語の水面積の半径をxとすると、S=πx^2ですか？？

> これが分かれば、a＝S／√(1＋t)とS＝・・・より、x(またはf(y))がtを使った式で表せます。

以上より、a=πx^2/√(1＋t)

> さらに、yがtを使った式で表すことができたら、
> x(またはf(y))＝・・・とy＝・・・より、x(またはf(y))はyを使った式で表すことができます。

yをtで表すというのがわかりません。
というか、xをt秒後の水面積の半径としたとき、yが何（どこ）を指すのか、イメージできません。

No.5165 - 2010/06/30(Wed) 02:06:19

☆ Re: 水の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

>> それから、a＝S／√(1＋t)はOKです。

> t秒語の水面積の半径をxとすると、S=πx^2ですか？？

> 以上より、a=πx^2/√(1＋t)

これらは、合っています。この式を変形すると、「x＝tを使った式」になりますよね。

>> 水位はhと置かずに、ある文字を使えばよいことになります。その文字は、何でしょう?

> なるほどt秒語の水位hは、h = t×1/√(1+t) ＝ t/√(1+t) と表せますね。これでいいでしょうか？

これは、ちょっと違っています。hという文字自体、使用しません。
何故なら、問題文中に水位を表す文字が使われているからです。
それと、水位をhとしても、h = t×1/√(1+t) ＝ t/√(1+t) とは表せません。

ヘボ太さんの最初の書き込みでいうと、
この問題では、dh／(dt)＝1／√(1＋t)ではなくて、
d□／(dt)＝1／√(1＋t)ということになります。

> yをtで表すというのがわかりません。
> というか、xをt秒後の水面積の半径としたとき、yが何（どこ）を指すのか、イメージできません。

問題文をよく読むと、この容器の深さは何cmだと分かります。だとすると、yは何を表しているのでしょう?

No.5166 - 2010/06/30(Wed) 02:42:47

☆ Re: 水の問題 / ヘボ太 [浪人生]

ちょっとわかってきました。解答を書いてみます。

t秒後の水量をV、水面積をS、水面の半径をxとすると、
dV/dt=S･(dy/dt)･･･(1)
が成り立ち、題意から
dV/dt=a･･･(2)
dy/dt=1/√(1+t)･･･(3)

(2)(3)を(1)に代入して
a=S/√(1+t)
S=πx^2から
a=πx^2/√(1+t)
∴x=√{(a/π)√(1+t)}･･･(4)

(3)から
y=∫1/√(1+t)dt=2√(1+t)+C
t=0のときy=0よりC=-2
∴y=2√(1+t)-2
∴√(1+t)=(y+2)/2･･･(5)

(4)に(5)を代入して、
x=f(y)=√{(a/2π)(y+2)}

これで合ってますか？
t秒後の水位をy、半径をxとおくとそのときの半径xがx=f(y)と表せるわけですね。
このxとyの関係が混乱してわかりませんでした。

No.5167 - 2010/06/30(Wed) 23:36:42

☆ Re: 水の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

あっ、一気に計算が進みましたね。

既にお分かりになったと思いますが、この問題では、
地面に平行な断面が円(高さにより大きさが変わる)で、深さが30cmの容器を取り扱っています。
また、容器に入れた水の水位はycmということになります。

> t 秒後の水量を V 、水面積を S 、水面の半径を x とすると、
> dV/dt=S･(dy/dt)･･･(1) が成り立ち、題意から dV/dt=a･･･(2) dy/dt=1/√(1+t)･･･(3)
> (2) (3) を (1) に代入して a=S/√(1+t)
> S=πx^2 から a=πx^2/√(1+t) ∴ x=√{(a/π)√(1+t)}･･･(4)

うん、そうですね。とりあえずOKですね。x＞0という条件がありますので、(4)のようになりますね。

> (3) から y=∫1/√(1+t)dt=2√(1+t)+C
> t=0 のとき y=0 より C=-2
> ∴ y=2√(1+t)-2
> ∴ √(1+t)=(y+2)/2･･･(5)

そうですね。容器内の水位がycmで、式(3)は、不定積分をすることになります。
問題文では明確な書き方ではありませんが、t＝0のときy＝0という条件も、必要です。

> (4)に(5)を代入して、x=f(y)=√{(a/2π)(y+2)}

> これで合ってますか？
> t 秒後の水位を y 、半径を x とおくとそのときの半径 x が x=f(y) と表せるわけですね。

はい、その通りです。答えも、そのようになるかと思います。

一応、答えが得られるようでしたので、
ヘボ太さんの最初の投稿を材料にして、進めていったのですが、
この解答については、1つ引っかかる点がありますので、引き続き、もう1つ書き込みをします。

No.5168 - 2010/07/01(Thu) 00:14:45

☆ Re: 水の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

> 1つ引っかかる点がありますので、引き続き、もう1つ書き込みをします。

それは、dV／(dt)＝S･dy／(dt)という式です。

yが時刻tにより変化します。
xも時刻tによって変化・・・、つまり、Sも時刻tによって変化・・・という疑念が、生じるはずです。

ですから、dV／(dt)＝S･dy／(dt)を使うのはちょっと危険(物理ならOKかも)なので、

容器内の水の体積Vについて式を立ててから解く方が確実だと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

問題文より、
・　x＝f(y)(ただし、0≦y≦30かつf(y)＞0)
・　V＝π∫{0→y}(x^2)(dy)＝π∫{0→y}[{f(y)}^2](dy)　←　表現は大目にみて下さい。
・　(dV)／(dt)＝a
・　(dy)／(dt)＝1／√(1＋t)
・　t＝0のとき、y＝0

(dy)／(dt)＝1／√(1＋t)より、y＝2√(1＋t)＋C(C:積分定数)となり、　←　不定積分です。

t＝0のとき、y＝0なので、C＋2＝0より、C＝－2となるので、y＝2√(1＋t)－2となる。

V＝π∫{0→y}[{f(y)}^2](dy)＝π∫{0→y}[{f(s)}^2](ds)より、
　　　　※　s:問題で未使用の文字(変数)なら何でもOKです。
(dV)／(dy)＝π{f(y)}^2となるが、　←　V＝・・・の両辺それぞれをyで微分します。

(dV)／(dy)＝(dV)／(dt)・(dt)／(dy)＝{(dV)／(dt)}／{(dy)／(dt)}
　　　　　　　＝a／{1／√(1＋t)}＝a√(1＋t),
y＝2√(1＋t)－2より、√(1＋t)＝(y＋2)／2となるので、

π{f(y)}^2＝a(y＋2)／2となり、{f(y)}^2＝a(y＋2)／(2π)なので、
f(y)＞0より、f(y)＝√{a(y＋2)／(2π)}(ただし、0≦y≦30)である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

以上のような解答が良いかと思います。

ちなみに、
この問題は、x＝√{a(y＋2)／(2π)}より、y＝(2π／a)・x^2－2と表せるので、yはxの2次関数(下に凸)で、
中身の形状が、茶碗などの中に平らな底を作ったようなイメージの容器になります。

No.5169 - 2010/07/01(Thu) 01:09:15

☆ Re: 水の問題 / ヘボ太 [高校１年生]

回答ありがとうございます。
わかりました。
またよろしくお願いします。
ありがとうございました。

No.5170 - 2010/07/01(Thu) 02:11:55

★ 相加・相乗の不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

こんにちは２回目の質問になります。岩手大学の類題です。

a,b,c,d が正の数のとき　　(a+b+c+d)/4≧(abcd)^(1/4)を証明せよ。

さらに上の不等式を用いて　(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)を導け。

(a+b+c+d)/4≧(abcd)^(1/4)は(a+b),(c+d)と2個に分けて
相加・相乗平均を使って試行錯誤したうえなんとか導けました。

a+b＞0,c+d＞0だから　(a+b)+(c+d)≧2√(a+b)+2√(c+b)
両辺を4で割ってさらに相加・相乗平均を使って
(a+b+c+d)/4≧・・中略・・・√[(ab)^(1/2)(cd)^(1/2)]=(abcd)^(1/4)
等号はa+b=c+dかつab=cdつまりつまりa=b=c=dの時に成り立つ
となんかごちゃごちゃしてますが一応たどり着けました。

わからないのは
★さらに上の不等式を用いて　(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)を導け
なのですがc+d=Cとしてみたり上の不等式を使わないで強引に
やってみたりしたのですが3乗根が出てくるところがまったく出ず
つまずいています。よろしくお願いします。

No.5152 - 2010/06/28(Mon) 19:17:45

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

まず、(a＋b＋c＋d)／4＝(a＋b＋c)／3となるときのd＝・・・を求めて下さい。

d＝・・・が分かりましたら、それを(a＋b＋c＋d)／4≧(abcd)^(1／4)に代入して、

○≧(○^△)・(□^△)の形に式変形し、

左辺，右辺それぞれを(○^△)で割って下さい。

No.5154 - 2010/06/29(Tue) 00:26:50

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

(a＋b＋c＋d)／4＝(a＋b＋c)／3とおくと

d=(a＋b＋c)/3これを(a+b+c+d)/4≧(abcd)^(1/4)代入して

[a+b+c+(a＋b＋c)/3]/4≧(abcd)^(1/4)[(a＋b＋c)/3]^(1/4)

(a＋b＋c)/3≧(1/3)^(1/4)*[(a^2)bc+a(b^2)c+ab(c^2)]^(1/4)

とここまでできましたけど右辺の変形をどうさいたらよいか
わかりません(ToT)
なにか勘違いしているのでしょうか？お願いいたします。

No.5158 - 2010/06/29(Tue) 18:47:35

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

> d=(a＋b＋c)/3これを(a+b+c+d)/4≧(abcd)^(1/4)代入して

そうです。d＝(a＋b＋c)／3を、(a＋b＋c＋d)／4≧(abcd)^(1／4)に代入します。

> [a+b+c+(a＋b＋c)/3]/4≧(abcd)^(1/4)[(a＋b＋c)/3]^(1/4)

左辺は、整理すると、(a＋b＋c)／3になりますね。
右辺は、少しおかしいようですね。dは無くなります。

つまり、(a＋b＋c)／3≧(abc)^(1／4)・{(a＋b＋c)／3}^(1／4)となり、

私の先の投稿でいうと、○＝(a＋b＋c)／3, □＝abc, △＝1／4となりますので、

左辺，右辺それぞれを(○^△)(正の数)で割ると、○^☆≧□^△となります。

ここまで、確認して計算してみて下さい。

No.5159 - 2010/06/29(Tue) 19:14:52

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

素早い返信とご指摘ありがとうございます。もう一度やってみました！

(a＋b＋c＋d)／4＝(a＋b＋c)／3とおくと
d=(a＋b＋c)/3これを(a+b+c+d)/4≧(abcd)^(1/4)代入して
[a+b+c+(a＋b＋c)/3]/4≧(abc)^(1/4)[(a＋b＋c)/3]^(1/4)

dはなくなるんですね。失礼しました。

両辺を正である　[(a＋b＋c)/3]^(1/4)　で割っても不等号の向きは
変わらないから　[(a+b+c+)/3]^(3/4)≧(abcd)^(1/4)

さらに両辺正だから両辺(4/3)乗しても不等号の向きは変わらないので

(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)

No.5160 - 2010/06/29(Tue) 19:53:56

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

(a＋b＋c)／3≧(abc)^(1／4)・{(a＋b＋c)／3}^(1／4)から、

> 両辺を正である　[(a＋b＋c)/3]^(1/4)　で割っても不等号の向きは
> 変わらないから　[(a+b+c+)/3]^(3/4)≧(abcd)^(1/4)
> さらに両辺正だから両辺(4/3)乗しても不等号の向きは変わらないので
> (a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)

あっ、最後までたどり着きましたね。そのとおりです。

等号成立の条件も、「a, b, c, dが正の数のとき(a＋b＋c＋d)／4≧(abcd)^(1／4)」のときと同様に、
a＝b＝c＝(a＋b＋c)／3の場合、つまり、a＝b＝cの場合となります。

No.5161 - 2010/06/29(Tue) 20:36:16

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]

指数が入っているので式変形とかがややこしくなって大変でしたけど
よくわかりました。ありがとうございます。
(a＋b＋c＋d)／4＝(a＋b＋c)／3となるときのdを求めるという発想
が大事なんですね。たしかにdは消去すべきものなのでdをa,b,cを用いて
表せばよいという考えでよいのでしょうか？今後ともよろしくお願いいたします。

No.5163 - 2010/06/29(Tue) 22:00:50

☆ Re: 相加・相乗の不等式の問題 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]

> (a＋b＋c＋d)／4＝(a＋b＋c)／3となるときのdを求めるという発想が大事なんですね。
> たしかにdは消去すべきものなのでdをa,b,cを用いて表せばよいという考えでよいのでしょうか？

4つの文字を使った関係式を使って、3つの文字を使った関係式を導く問いなので、
余分な文字dを何らかの方法で消去する事を考え、
dをどう置けば(a＋b＋c＋d)／4が(a＋b＋c)／3になるだろう、とさらに考えた訳です。

dを何らかの定数と置いて考えたりする問題もあったりするので、
手段よりもアプローチの考え方を頭に入れておけばいいかと思います。

No.5164 - 2010/06/29(Tue) 22:44:45

★ (No Subject) / アルカリイオン水 [社会人]

こんにちは。次の問題をこのように解いたのですが、
（１）の誘導を無視してもよいので、別解はないでしょうか？
出典は赤チャートです。

［問い］
（1）　cos4θを cosθ の整式で表わせ。
（2）　cos11°＞0.98 を証明せよ。

(1)
cos4θ = 2(cos2θ)^2 -1 = 2{2(cosθ)^2 -1}^2 -1 = 8(cosθ)^4 -8(cosθ)^2 +1 .

(2)
cos44°=cos4*11°> cos45°=√2/2
ここで、(1)において θ=11°　とし、cos11°=x とおいて上の式に代入すると、
8x^4 -8x^2 +1-√2/2 > 0
x^2 < {4 - √(8 + 4√2)}/8 , x^2 > {4 + √(8 + 4√2)}/8
　　2 > 1.99996164 = (1.4142)^2　
⇒√2 > 1.4142
⇒4√2 > 5.6568
⇒8 + 4√2 > 13.6568 > 13.56596224 = (3.6832)^2
⇒√(8 + 4√2) > 3.6832
⇒{4 - √(8 + 4√2)}/8 < 0.0396

　x=cos11°> cos30°=√3/2
∴x^2 > 3/4 = 0.75 だから、
x^2 > {4 + √(8 + 4√2)}/8 の方だけを考えればよい。

　　√(8 + 4√2) > 3.6832
⇒{4 + √(8 + 4√2)} > 7.6832
⇒{4 + √(8 + 4√2)}/8 > 0.9604 = (0.98)^2

∴x = cos11° > √[{4 + √(8 + 4√2)}/8] > 0.98

No.5135 - 2010/06/24(Thu) 17:57:49

☆ Re: / 一ノ谷 [社会人]

アルカリイオン水さん，はじめまして．一ノ谷と申します．例えば，xが実数ならば
　cos(x)≧1-(x^2)/2
となるので
　36/11＞π
の成立を示せば（２）の不等式が得られますね．

No.5144 - 2010/06/27(Sun) 11:19:23

☆ Re: / アルカリイオン水 [社会人]

はじめまして

　36/11＞π
はどうやって出てきたのでしょうか？
cos(11π/180)≧1-(11π/180)^2/2 > 0.98
を示そうとしてもそうならなかったので、
できれば計算過程を教えて頂けませんか？

No.5146 - 2010/06/27(Sun) 22:07:49

☆ Re: / 一ノ谷 [社会人]

例えば，πを変数と見て
　1-(((11π/180)^2)/2)-0.98
を因数分解すれば現れますね．

No.5156 - 2010/06/29(Tue) 12:31:11

☆ Re: / アルカリイオン水 [社会人]

分かりました！
ありがとうございました！

No.5162 - 2010/06/29(Tue) 21:05:42

★ 計算問題? / ダメ子 ♀ [関東] [高校3年生]

プリント配布から物問題です。

[問] 945を2つの0もしくは自然数の平方の差s^2-t^2として表す全ての組み合わせ求めよ。

という問題なのですがこれは何ういう風にして解けばいいのでしょうか?

No.5142 - 2010/06/27(Sun) 05:03:12

☆ Re: 計算問題? / londontraffic [教育関係者]

おはようございます．londontrafficと申します．
本題に入る前に，HNを再考してもらえませんか？

まず最初に，問題から
s^2-t^2=945
という式が立てられます．そして次の２つの作業
1)s^2-t^2を因数分解
2)945を素因数分解
をします．
これらがどうなるか，カキコしてください．よろしくお願いします<(_ _)>

No.5143 - 2010/06/27(Sun) 08:47:00

☆ Re: 計算問題? / ダメ子 ♀ [関東] [高校１年生]

> おはようございます．londontrafficと申します．
> 本題に入る前に，HNを再考してもらえませんか？

再考してみたいと思います。

> まず最初に，問題から
> s^2-t^2=945
> という式が立てられます．そして次の２つの作業
> 1)s^2-t^2を因数分解

945=s^2-t^2=(s+t)(s-t)ですね。

> 2)945を素因数分解
> をします．
> これらがどうなるか，カキコしてください．よろしくお願いします<(_ _)>

945=3^3・5・7ですね。

それでもって(s+t)(s-t)=3^3・5・7と書けますね。
左辺は2つの因数の積だから右辺を2つの因数の積として表すと

1・> おはようございます．londontrafficと申します．
> 本題に入る前に，HNを再考してもらえませんか？

再考してみます。

> まず最初に，問題から
> s^2-t^2=945
> という式が立てられます．そして次の２つの作業
> 1)s^2-t^2を因数分解

945=s^2-t^2=(s+t)(s-t)ですね。

> 2)945を素因数分解
> をします．
> これらがどうなるか，カキコしてください．よろしくお願いします<(_ _)>

945=3^3・5・7ですね。

それでもって(s+t)(s-t)=3^3・5・7と書けますね。
左辺は2つの因数の積だから右辺を2つの因数の積として表すと

1・(3^3・5・7)、3^3・(5・7)、3・(3^2・5・7)、3^2・(3・5・7)、3^3・(5・7)、5・(3^3・7)、(5・3)(3^2・7)、(5・3^2)(3・7)、(5・3^3)・7、
7・(3^3・5)、(7・3)(3^2・5)、(7・3^2)(3・5)、(7・3^3)・5、(5・7)・3^3、(5・7・3)・3^2
が挙げれますね。

あとはs-t=1,s+t=(3^3・5・7)、s-t=3^3,s+t=(5・7)、…、s+t=(5・7・3),s-t=3^2
の各連立方程式を地道に解いていくしかないのでしょうか?

No.5147 - 2010/06/28(Mon) 02:06:31

☆ Re: 計算問題? / londontraffic [教育関係者]

概ねokですね．

まず，
>3^3・5・7
であるから，945の正の約数は全部で4×2×2=16個です．
s,tは自然数なので，s+tは正．945が正であることからs-tも正であり，16個の約数の組み合わせで済みます．

また下に16個の組み合わせを挙げておきましたが， s+t>s-t であることから，上の２段分（８個）の組み合わせだけ調べればokです．

どうですか？

No.5149 - 2010/06/28(Mon) 06:57:17

☆ Re: 計算問題? / ダメ子 ♀ [関東] [高校3年生]

どうもありがとうございました。m(_ _)m

No.5155 - 2010/06/29(Tue) 07:20:49

★ (No Subject) / ヘボ太 [浪人生]

よろしくお願いします。手持ちの問題集からです。

問題：
xy平面において、楕円x^2/4+y^2/3=1 の周上でy≧0の部分をLとする。
２つの円(x-1)^2+y^2=1,(x+1)^2+y^2=1の周上でy≦0の部分をそれぞれM,Nとする。このときL、M、N上の動点P、Q、Rに対し、線分PQとPRの長さの和の最大値を求めよ。

解答出だし：
Pを固定して考えると、
PQの最大値はPQ′
PRの最大値はPR′
（注:A(1,0)B(-1,0)として、Q′はP,A,Qがこの順に一直線上に来るときのQ,
R′はP,B,Rがこの順に一直線上に来るときのRを指します。）

PQの最大値はPQ′
PRの最大値はPR′
というのが直感的に正しいことはわかるのですが、ちゃんと説明しようとすればどう言えばいいのかわかりません。
よろしくお願いします。

No.5138 - 2010/06/25(Fri) 23:10:34

☆ Re: / ウルトラマン [教育関係者]

ヘボ太さん，こんばんわ。

僕が高校生のときに解いた，懐かしい問題（確か，東工大だったかなぁ～）なので，久しぶりに解答します。

この問題の着眼点は次の1つにつきるでしょう。

「A(1，0)，B(-1，0)というのは実は楕円Lにとって特別な点なのです。では何と呼ばれる点かわかりますか？」

>
> 問題：
> xy平面において、楕円x^2/4+y^2/3=1 の周上でy≧0の部分をLとする。
> ２つの円(x-1)^2+y^2=1,(x+1)^2+y^2=1の周上でy≦0の部分をそれぞれM,Nとする。このときL、M、N上の動点P、Q、Rに対し、線分PQとPRの長さの和の最大値を求めよ。
>
> 解答出だし：
> Pを固定して考えると、
> PQの最大値はPQ′
> PRの最大値はPR′
> （注:A(1,0)B(-1,0)として、Q′はP,A,Qがこの順に一直線上に来るときのQ,
> R′はP,B,Rがこの順に一直線上に来るときのRを指します。）
>
> PQの最大値はPQ′
> PRの最大値はPR′
> というのが直感的に正しいことはわかるのですが、ちゃんと説明しようとすればどう言えばいいのかわかりません。
> よろしくお願いします。

No.5139 - 2010/06/26(Sat) 00:18:13

☆ Re: / ヘボ太 [浪人生]

ウルトラマンさん回答ありがとうございます。
はい、焦点です。

No.5140 - 2010/06/26(Sat) 13:44:23

☆ Re: / ウルトラマン [教育関係者]

ヘボ太さん，こんばんわ。

> ウルトラマンさん回答ありがとうございます。
> はい、焦点です。

そうですね。っということは，楕円の定義に従って考えれば，
AP＋BPってどんな長さになるでしょう？

これが分かれば，
?僊PQの辺の長さに着目して，AP＋AQ≧??
?傳PRの辺の長さに着目して，BP＋BR≧??
よって，AP＋AQ＋BP＋BR≧????
となるので，……
って考えていけば，PQ＋PRの最大値は分かるのではないでしょうか？

ちょっとやってみて下さい。

No.5141 - 2010/06/27(Sun) 00:33:22

☆ Re: / ヘボ太 [高校１年生]

わかりました。
ありがとうございました。

No.5145 - 2010/06/27(Sun) 19:41:46

★ (No Subject) / アルカリイオン水 [社会人]

はじめまして。「入試数学の思考法」という本からです。

「cosA+cosB+cosCの最大値を求めよ。
ただし、A>0,B>0,C>0,A+B+C=π とする。」

で、cosの凸性を用いて解答しているのですが、
解答の初めに「0<A<π/2,0<B<π/2,0<C<π/2としてよい」
と書かれています。cosA+cosB+cosCの最大値を求めるのだから
どれか一つが負になるとマズイとは感覚的に分かるのですが、
どうもすっきりしません。一つが負になったとしても、
他の二つがそのマイナスを帳消しするくらい大きな数をとる
という可能性が否定されていないように思います。
よろしくお願いします。

No.5100 - 2010/06/11(Fri) 19:45:43

☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

アルカリイオン水さん、はじめまして。

＞cosの凸性を用いて

0＜A＜π/2 , 0＜B＜π/2 のとき
(cosA+cosB)/2≦cos{(A+B)/2}
等号成立は A=B

を利用しているということでしょうか？

No.5111 - 2010/06/14(Mon) 14:27:59

☆ Re: / アルカリイオン水 [社会人]

そうです。それの３文字版で

0＜A＜π/2 , 0＜B＜π/2 , 0＜C＜π/2のとき
(cosA+cosB+cosC)/3≦cos{(A+B+C)/3}=1/2
等号成立は A=B=C
で、最大値3/2 としています。

No.5115 - 2010/06/15(Tue) 00:23:04

☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

こんにちは。

私はその本をもっていませんので、この問題でどういう『思考法』を鍛えようとしているのかの意図がわかりませんが、記述試験の答案で、「0<A<π/2,0<B<π/2,0<C<π/2としてよい」から始めると、説明不足で減点される危険があるのではないかな？　と思います。

A>0,B>0,C>0,A+B+C=π　ということは、A,B,Cは三角形の内角なのですから、せめて鋭角三角形と鈍角三角形（直角三角形含む）に場合分けして、鋭角三角形のときは解答のように最大値を求め、鈍角三角形のときについても何かしら記述しておく必要があると思います。

また、(cosA+cosB+cosC)/3≦cos{(A+B+C)/3}　も、証明なしで使うのは、やはり説明不足とされるのではないかと思います。
このあたりは大学側の判断ですので、実際どうなのかは私にはわかりません。

A≦B≦C として、（これはＯＫです）

0＜A＜π/2 , 0＜B＜π/2　のとき、
(cosA+cosB)/2≦cos{(A+B)/2}　を証明してから、

cos{(A+B)/2}＝cos(π/2-C/2)=sin(C/2)

∴　cosA+cosB+cosC≦2sinC/2+cosC=-2sin^2(C/2)+2sin(C/2)+1

として平方完成し、π/3≦C＜π での最大値を求める方が、少なくとも減点の危険はないかなと思います。

No.5116 - 2010/06/15(Tue) 14:16:47

☆ Re: / アルカリイオン水 [社会人]

ありがとうございます。
「鈍角三角形のときについても何かしら記述しておく」とは、
たとえばどのように書いておけばいいのでしょう？
直角三角形や鈍角三角形のときにcosA+cosB+cosCは最大値をとらないってことの
理由です。考えてみたんですが、どうやって書けばいいのか思いつきません。

No.5121 - 2010/06/16(Wed) 04:23:40

☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

こんにちは。

先のレスのように　-2sin^2(C/2)+2sin(C/2)+1
と変形して　π/2≦C＜π での最大値を求めるのも一つの手ですが，それでは場合分けする意味がないですしね…。

定石通り一文字消去でやってみましょうか。

cosA+cosB+cosC=cosA+cos{π-(A+C)}+cosC=cosA-cos(C+A)+cosC
２項と３項に和積を使って
=2sin(A/2)sin{C+(A/2)}+cosA　…(あ)
Aを定数とみると，π/2≦C＜π　のときは，C=π/2 で最大をとる
このとき，
（あ）=2sin(A/2)cos(A/2)+cosA=sinA+cosA=√2sin(A+π/4)
∴A=π/4 のとき最大値√2
これは鋭角三角形の場合の最大値より小さい

とりあえず，思いついたのはこんな感じです。

No.5122 - 2010/06/16(Wed) 17:20:23

☆ Re: / アルカリイオン水 [社会人]

理解できました。
ありがとうございます。

No.5134 - 2010/06/24(Thu) 17:51:30