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★ 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは。
進研[センター試験]対策数学重要問題演習数学 というテキストでわからないところがあるので質問します。

図形と方程式の分野です。
[問題]

aを実数とし、座標平面状に
　円x^2+y^2+(3a+9)x+(a+1)y+4a+8=0……?@　がある。
　円?@は、aの値に関係なく2定点Ａ(アイ,ウ),Ｂ(エオ,カキ)を通り、aが変化するとき、
円?@の中心の軌跡は
　直線x-クy+ケ=0……?A である。
　円?@の半径が最小となるのはa=コサのときであり、そのとき、円の半径は√シス/セである。
　また、直線?A上の点Pに対して、三角形ABPが正三角形となるのは、点Pのy座標が
(ソ±√タ)/チのときである。


この、ア〜チに入る数字を求めるということです。
ア〜キまでは求めることが出来ました。
そこまでの過程を書きます。
↓
?@より、
x^2+y^2+3ax+9x+ay+y+4a+8=0
(3x+y+4)a+x^2+y^2+9x+y+8=0
これより、
3x+y+4=0…?A
x^2+y^2+9x+y+8=0…?B
?Aより、y=-3x-4
?Bに代入
x^2+(3x+4)^2+9x-3x-4+8=0
10x^2+30x+20=0
x^2+3x+2=0
(x+2)(x+1)=0 x=-2,-1
x=-2のときy=2、x=-1のときy=-1
よって、2定点A(-2,2),(-1,-1)を通る。


ですが、クから先が分かりません。
テストが近いのであせっています...
どうか教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします！！
No.5104 - 2010/06/12(Sat) 23:13:01
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
あんずさん，おはようございます．

次の「コサ」は半径の問なので，まず?@の中心の座標と半径を求めましょう．
中心，半径を求めたら，カキコしてください．
No.5105 - 2010/06/13(Sun) 07:43:15
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]

おはようございます。
返信ありがとうございます！

?@より
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(3a+9)^2/4-(a+1)^2/4+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(9a^2-54a-81)/4-(a^2+2a+1)/4+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2+(-10a^2-56a-82)+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(10a^2-40a-50)/4=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2＝(5a^2+20a+25)/2
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2＝5/2(a^2+4a+5)

よって　中心[-(3a+9)/2,-(a+1)/2]

半径が分かりません。
(半径)^2なら、5/2(a^2+4a+5) です...
No.5106 - 2010/06/13(Sun) 10:43:50
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
>中心[-(3a+9)/2,-(a+1)/2]
>半径が分かりません。
>(半径)^2なら、5/2(a^2+4a+5) です...
はい．中心，半径^2もそれでokですよ．

さて，いよいよ本番．
例えば，tを任意の実数とするとき，x=t，y=t^2を満たしている点(x, y)はこの２つの式からtを消した
放物線 y=x^2 上にあります．
今回は，
x=-(3a+9)/2, y=-(a+1)/2
からaを消去すれば「クケ」が求められます．
チャレンジしてみてください．
No.5107 - 2010/06/13(Sun) 12:06:54
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
x=-(3a+9)/2…?C
y=-(a+1)/2…?D
?Cより、2x=-3x-9…?C'
?Dより、2y=-a-1
a=-2y-1…?D'
?D'を?C'に代入
2x=-3(-2y-1)-9
2x=6y+3-9
x-3y+3=0
よって円?@の中心の軌跡はx-3y+3=0

と、なりました。
No.5108 - 2010/06/13(Sun) 13:53:06
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
okですよ．
次は「コサシスセ」．
半径が最小値をとるのは，半径^2が最小値をとるとき．
ゆえに，
5/2(a^2+4a+5)
が最小値をとるときです．
これは２次式ですから，２次式の最大，最小を求める時は・・・
もうお分かりですよね．
No.5109 - 2010/06/13(Sun) 17:26:15
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
はい。

y=5/2(a^2+4a+5)とおくと、
y=5/2(a^2+4a)+25/2
y=5/2(a+2)^2+5/2

a=-2で最小値√10/2をとる。

でいいですか？？
No.5113 - 2010/06/14(Mon) 18:50:04
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
ok！

ラストです．下に図を入れておきました．
円の中心をPとすると，
「　　」=AB
が成り立ちます．

上の「」に当てはまるものをがわかれば，答えが出てくるはずです．
いかがですか？
No.5114 - 2010/06/14(Mon) 19:33:21
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
「AP」=AB
ABの直径は√1^2+3^2=√10
AP=√(3y-1)^2+(y-2)^2
=√10y^2-10y+5
AP=ABより、
√10=√10y^2-10y+5
10y^2-10y-5=0
y=(1±√3)/2

できました！
No.5118 - 2010/06/15(Tue) 21:13:27
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
good!
私は「」に入るものを「半径」とイメージしていて
sqrt{10}=sqrt{5/2(a^2+4a+5)}
からaを求めてとやるつもりでした．
が，あんずさんの解答の方がすっきりですね(^_^)
No.5119 - 2010/06/15(Tue) 21:50:21
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
そうだったんですか！

でも、とりあえず解決することが出来てよかったです！
londontrafficさんにはこの間もお世話になりましたが、ほんとうに解説がわかりやすいです。

今、定期テスト期間中で、明後日が数学のテストなんです；
教えてもらったことを生かして頑張ります！！
No.5120 - 2010/06/15(Tue) 22:15:59
★ 積分(?V)の問題について / あたし！強くなる！ [高校3年生]
こんにちは。
標準問題精講の?VCの問題で分からない問題が2問あるので質問させて頂きます。


・非回転体の体積の問題(?V積分)

[問題1]

　　xy平面上の放物線 z=1-x^2 をAとする.
次にyz平面上の放物線 z=1-2y^2をBとする.
Bを,その頂点が曲線Aを動くように空間内で平行移動させる.
　　その時Bが描く曲面をSとする.
　　Sとxy平面とで囲まれる部分の体積Vを求めよ. (津田塾大)

[解答]
　　
　　Sとxy平面が囲む立体を平面　x=t で切ると,断面は

　　　放物線:z=-2y^2+1-t^2　と　y軸

　　が囲む図形となる.
　　その面積をS(t)とすると,　√(1-t^2/2) = α　として,

S(t) = (-α→α)∫ (-2y^2+1-t^2) dy

…（以下面積を求めた後その面積を-1→1で積分して体積を求める）

　
とあるのですが、放物線の方程式が　z=-2y^2+1-t^2　と与えられる訳が分かりません。
解説には
「平面x=tによる曲面Sの切り口をyz平面上に正射影したものは,
Bと合同で頂点のZ座標が1-t^2の放物線ですから…」
と有るのですが、それでも分かりません。



・断面が円弧を含む立体の体積(?V積分)


[問題2]

　　Dを半径1の円盤,Cをyz平面の原点を中心とする半径1の円周とする.
　　Dが次の条件(a),(b)をともに満たしながらxyz空間を動く時,
　　Dが通過する部分の体積Vを求めよ.

(a) Dの中心はC上にある.
　　　(b) Dが乗っている平面はつ年にZ軸と直行する. (東京工大)


[解答]

　　Dの描く立体はxy平面に関して対称だから,z≧0の部分を考える.
平面y=t(1≧t≧0)による切り口の面積S(t)は,∠OPQ=θ(0≦θ≦π/2)とおくと

　　　S(t)=2π-2((1/2)・1^2・2θ - t√(1-t^2) )---?@
=2(π-θ+t√(1-t^2))

t=sinθであるから,
　　　
　　　S(θ)=2(π-θ+t√(1-t^2))
　　
　　…（以下V/2をθ(0→1/2π)について積分してVの値を出す）


とあるのですが,?@の式が立式される理由が分かりません。




以上2問について質問させて頂きます。
もしよければご教授下さい。
No.5110 - 2010/06/13(Sun) 17:28:59
☆ Re: 積分(?V)の問題について / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

『書きこまれる方へのお願い』にありますように、１度に複数の問題の質問はご遠慮いただいております。
この記事は削除し、どちらか一つに絞って新しい記事を立てて質問してください。
２つ目の問題は、一つ目が解決後にまた別の記事をたてて質問してくださるようお願いします。
No.5112 - 2010/06/14(Mon) 14:59:54
★ (No Subject) / ヘボ太 [浪人生]
よろしくお願いします。早稲田の問題です。

「一次変換fが
直線l：3x-y-3=0を直線l′：5x-y-18=0に移し、
直線g：x+2y-8=0を直線m′：x-3y+16=0に移す
とき、fを表す行列を求めよ。」

以下は私の手持ちの問題集の解答です。

求める行列をA=(a b c d)とおくと、（a,bが一行目、c,dが二行目）
l上の点(1,0),(0,-3)について,
A(1,0)=(a,c),A(0,-3)=(-3b,-3d)より、
5a-c-18=0･･･(1)
-15b+3d-18=0･･･(2)
同様にm上の点(8,0)(0,4)について、その像はそれぞれ(8a,8c),(4b,4d)だから、
8a-24c+16=0･･･(3)
4b-12d+16=0･･･(4)

(1)〜(4)を解いて、a=4 b=-1 c=2 d=1
よってA=(4 -1 2 1)

で終わっているのですが、これは減点の対象にならないんでしょうか？
A=(4 -1 2 1)のときすべての点は確かに題意のように移されることを確認する必要はないのでしょうか？
No.5077 - 2010/06/06(Sun) 17:08:56
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

現行課程の教科書では1次変換は点の変換までしか扱っておらず、直線の変換については書かれていません。
20年ほど前の旧旧課程では、直線の変換も教科書で扱っていました（高２）。
当時の教科書では、逆行列をもつ時には、直線の像は直線であること、およびその証明も学びました。ですので、直線の像が直線であることは、入試では既知の事実として証明せずに使って構いませんでした。
ですから、書き込んでくださった答案でも、減点対象にはなりませんでした。
おそらく質問の問題および解答は当時のもののコピペかな？と思います。
現行課程での入試において減点されるかどうかは大学側の判断であり、私にはわかりません。

ただ、当時もこの解法は別解扱いで、教科書や多くの参考書では以下のように解いていました。
簡略して紹介します。これでしたら、現行入試でも減点されないかと思います。

求める行列を(a b c d) として、
x'=ax+by , y'=cx+dy …(1)

直線　5x-y-18=0　の元像が3x-y-3=0　と考えて、

　5x'-y'-18=0 に (1)を代入して整理すると、
　(5a-c)x+(5b-d)y-18=0
これと 3x-y-3=0 ⇔　18x-6y-18=0 が同じ直線なので、
　5a-c=18 , 5b-d=-6 …(2)

　x-3y+16=0　の元像が　x+2y-8=0　であることから、同様にして、
　a-3c=-2 , b-3d=-4 …(3)
(2)(3)を解く
No.5096 - 2010/06/09(Wed) 14:52:20
☆ Re: / ヘボ太 [浪人生]
回答ありがとうございます。
自力で解いたときそのように解いたのですが、問題集は上のようにあっさり解いていたので気になってしまいました。
No.5099 - 2010/06/09(Wed) 22:23:53
★ ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちは始めまして。

学校からのプリントの問題です。

２次関数f(x)=x^2+2x+1において、xがt≦x≦t+1の範囲を動くとき、
f(x)の最大値をM(t),最小値をm(t)とする。
(1) m(t)=0となるtの値の範囲を求めよ。
(2) M(t)=4となるtの値を求めよ。
(3) M(t)-m(t)=1/4となるtの値を求めよ。

全く分からなかったので、
一応f(x)の式を平方完成してみたのですが、
その後が分かりません。

教えてください。
お願いします。
No.5028 - 2010/05/28(Fri) 22:07:05
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
きゃりーさん、はじめまして。
返信が遅くなってしまい、申し訳ありません。

仮に t=-3 なら、xの範囲は -3≦x≦-2 となりますが、
この場合、xがいくつのときに f(x)は最大になりますか？
また、xがいくつのときに最小になりますか？

同じように、t=-5/4 のときと、t=1 のとき、それぞれ最大・最小を与えるxを求めてみてください。
No.5037 - 2010/06/02(Wed) 14:24:58
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校１年生]
お返事ありがとうございます。

t=-3のとき
x=-3のとき最大値4
x=-2のとき最小値1

t=-5/4のとき
範囲は-5/4≦x≦-1/4
x=-1/4のとき最大値9/16
x=-1のとき最小値0

t=1のとき
範囲は1≦x≦2
x=2のとき最大値9
x=1のとき最小値4

になりました。
No.5039 - 2010/06/02(Wed) 18:59:39
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

まずは、最大値Mから考えてみましょう。

前レスでのそれぞれの結果から、最大は定義域の左端か右端かのどちらかでとることがわかります。
ですので、最大値M(t)は、tの値で場合分けをして答えなければいけません。

tがどのような場合に、定義域の左端で最大になり、
tがどのような場合に、定義域の右端で最大になるのでしょう？
No.5047 - 2010/06/03(Thu) 14:11:16
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
t=-3のとき
定義域の左端で最大になる。

t=-5/4、t=1のとき
定義域の右端で最大になる。

とゆうことでしょうか。
No.5050 - 2010/06/03(Thu) 19:34:44
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

いえいえ、t=-3とか、1 はあくまでも１例を挙げただけです。

tがどのような範囲の値のときは、左端が最大で、
tがどのような範囲の値のときは、右端が最大になるか？
ということです。

もっと簡単にいえば、tはいくつを境にして、最大が左端から右端に変わるのかを考えてみてください。
No.5052 - 2010/06/03(Thu) 23:23:55
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは。

-1が頂点だから、
t＞-2/3のとき右端が最大で
t＜-2/3のとき左端が最大になる。
であってますか？

ちょっと分かってきました。
(1)は図で考えて
-2≦t≦-1という答えが出て正しい答えと一致しました！

(2)はf(x)に4を代入して解いてみました。
するとt=-3,1と出たのですが、
正しい答えはt=-3,0でした。


(3)は手が出ませんでした；

いきなり突っ走ってすいません。
教えてください。
No.5053 - 2010/06/04(Fri) 00:13:46
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
きゃりーさん、こんにちは。

tの値が変わることによって、定義域が動くということをわかっていただけたようで、第１関門突破です。

まず(2)からいきましょう。

＞ t＞-2/3のとき右端が最大で
＞ t＜-2/3のとき左端が最大になる。

その通りです。このことから、最大値M(t)を場合分けして求めてみます。

(a) t＞-2/3のとき右端が最大→x=t+1 で最大→最大値は f(t+1)
　　f(x)=(x+1)^2 ですから、f(t+1)=(t+2)^2
よって、t＞-2/3のとき　最大値 M(t)=(t+2)^2

(b) t＜-2/3のとき左端が最大→x=t で最大→最大値は f(t)=(t+1)^2
　　よって、t＜-2/3のとき　最大値 M(t)=(t+1)^2

(2)はM(t)=4 になるときのtを求めよという問題ですが、

(a),(b)それぞれの場合で、M(t)=4 となるtを求めてみてください。
No.5057 - 2010/06/04(Fri) 14:28:13
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは！

(a)t＞-2/3のときー?@
　 (t+2)^2=4を解いて
　 t=0,-4
?@よりt=0

(b)t＜-2/3のときー?A
　 (t+1)^2=4を解いて
　 t=1,-3
　 ?Aよりt=-3

以上(a),(b)より
　 t=0,-3

こうゆうことですね！
No.5058 - 2010/06/04(Fri) 19:27:04
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

ＯＫです!! 　わかった嬉しさが伝わってきて私も嬉しいです。

では、(3)にいきたいところですが、その前に(1)の問題をちょっと変えてみますので、それを考えてみてください。

(1)改　　『m(t)=1 となるときのtを求めよ』

(2)と同じように、考えてみてください。
No.5062 - 2010/06/05(Sat) 01:50:09
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは。

ありがとうございます！

(1)改

(?@) t+1＜-1 すなわち t＜-2 のときー?@
(t+2)^2=1を解いて
t=-1,-3
?@よりt=-3

(?A) -1＜t のときー?A
(t+1)^2=1を解いて
t=0,-2
?Aよりt=0

以上(?@),(?A)より t=-3,0

になりました。
No.5065 - 2010/06/05(Sat) 18:11:03
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ！

うわー！　すごい進歩じゃないですか！
大正解です！！

では、(3)にいきましょう。

(3)ではM(t)とm(t)が両方かかわってきてます。
ですので、場合分けも細かくなります。

４つの場合分けをしなくてはならないのですが、どのような場合分けかわかりますか？
No.5067 - 2010/06/05(Sat) 21:52:37
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
ありがとうございます！
大分理解できてきました。

?@)t＜-2のときー?@
(t+1)＾2-(t+2)＾2=1/4を解いて
t=-13/8
?@より解なし

?A)-2＜t＜-2/3のときー?A
　 (t+1)＾2=1/4を解いて
　 t=-1/2,-3/2
?Aよりt=-3/2

?B)-2/3＜tかつt＜-1
定義域なし

?C)-1＜tのときー?B
　 (t+2)＾2-(t+1)＾2=1/4を解いて
t=-11/24
　 ?Bより解なし

以上?@)〜?C)より
　 t=-3/2

こんな感じになりました！！
No.5068 - 2010/06/05(Sat) 22:48:39
☆ あれ？ / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ

あれ？？　と思って今までのレスを読み返してみたら、間違いを発見しました。

No.5053 のきゃりーさんのレスで、
＞　t＞-2/3のとき右端が最大で
＞　t＜-2/3のとき左端が最大になる。
とありますが、これは2/3 （３分の２）ではなく、3/2 （２分の3）の打ち間違いですよね？
No.5070 - 2010/06/06(Sun) 02:21:44
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
お返事遅れました。

3/2の打ち間違いです。
すいません。(汗)
No.5094 - 2010/06/08(Tue) 20:03:04
☆ Re: ２次関数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

おそらく、場合分けをやり直して、もう解決済みのことと思います。
この、『文字の入った２次関数の最大・最小』は、２次関数の最も重要な問題ですので、お持ちの参考書・問題集で、数問補充しておきましょう。
No.5095 - 2010/06/09(Wed) 13:41:28
☆ Re: ２次関数 / きゃりー ♀ [近畿] [高校3年生]
とってもわかりやすく導いてくださってありがとうございました。
このことを忘れないように復習します！
No.5098 - 2010/06/09(Wed) 22:02:44
★ ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは。はじめまして

学校の問題です

問
長さ８ｃｍの線分を大小二つに分けて、それぞれの長さを１辺とする正方形を作る。二つの正方形の面積の和が４６平方ｃｍであるとき、大きい正方形の１辺の長さは何ｃｍか。

教科書にも詳しく書いていません。６月７日までなので、他の宿題もあるので、多くの解説をお願いします

返事が遅れるかもしれませんが、よろしくお願いします　　　　　　　　　　　　　　
No.5069 - 2010/06/05(Sat) 23:04:05
☆ Re: ２次方程式の応用 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はじめまして。

ご自分でどこまで考えて、どこからわからないかを書き込んでいただかないと回答のしようがありません。

私どもも、他の仕事もありますので、６月７日までの解決は保障できませんので、ご了承ください。
No.5071 - 2010/06/06(Sun) 02:31:40
☆ Re: ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは。返信ありがとうございます

自分で考えたのは

大きい方の長さをｘ、小さい方の長さをｘ−８とする。までです。

この先からどうすればよいかわかりません　　　　　　　
No.5076 - 2010/06/06(Sun) 09:38:35
☆ Re: ２次方程式の応用 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

＞大きい方の長さをxとすると、

OKです。私もそうします。

＞小さい方の長さは x-8

もし x=5 なら、x-8=5-8=-3 となってしまいます。
（打ち間違いかと思いましたが、念のため）

次に正方形の面積を考えます。
１辺の長さxの正方形の面積は？
１辺の長さ 8-x の正方形の面積は？
それらの和は？
No.5079 - 2010/06/06(Sun) 23:36:34
☆ Re: ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは

ｘの正方形の面積は、
ｘｘ

８−ｘの正方形の面積は
（８−ｘ）の二乗
＝６４−１６ｘ＋ｘｘ

その和は２ｘｘ−１６ｘ＋６４になる

次は因数分解？
２ｘｘ−１６ｘ＋６４
＝ｘｘ−８ｘ＋３２
解の公式でとけない？

　　
No.5081 - 2010/06/07(Mon) 09:11:27
☆ Re: ２次方程式の応用 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

問題をよく読みましょう。
二つの正方形の面積の和が４６
とありますよ。
No.5082 - 2010/06/07(Mon) 13:37:33
☆ Re: ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは

２ｘｘ−１６ｘ＋６４＝４６
移行して２ｘｘ−１６ｘ＋１８
２で割ってｘｘ−８ｘ＋９＝０

だと思います　
No.5084 - 2010/06/07(Mon) 18:05:51
☆ Re: ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
追記

解の公式を使い
８＋−ルート６４−４＊１＊９／２
＝８＋−ルート２８／２
＝４＋−ルート２８
＝８＋−ルート７
　　　　　　
No.5087 - 2010/06/07(Mon) 20:54:51
☆ Re: ２次方程式の応用 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

最後の計算がおかしいです。

x=(8±√28)/2
=(8±2√7)/2
=4±√7

ここで、x=4-√7 のときは、
もう一方の長さが 8-x=8-(4-√7)=4+√7 となり、

大きい方が 4-√7 ,小さい方が 4+√7 とおかしなことになってしまいます。
ですので、大きい方の長さは　4+√7 となります。
No.5091 - 2010/06/08(Tue) 01:51:18
☆ Re: ２次方程式の応用 / プリニ ♂ [九州] [高校１年生]
遅くなりました
解答していただきありがとうございました
No.5097 - 2010/06/09(Wed) 18:26:38
★ 条件つき確率 / nao ♂ [甲信越] [高校3年生]
はじめまして。学校のプリントの問題でわからない問題があるので教えていただけませんか？

問題：区別のつかない３つの箱に、それぞれ赤球２つ、赤球と白球１つずつ、白球２つが　入っている。いま３つの箱のうち１つを選び、その箱から１つの玉を取り出したところ赤球であった。この箱に残っている玉の色が赤である確率を求めよ。

よろしくお願いします。
No.5089 - 2010/06/08(Tue) 00:55:51
☆ Re: 条件つき確率 / nao ♂ [甲信越] [高校１年生]
すみません。自分の考えをかくのを忘れていました。

ひいたのが赤球である確率は1/3×1/2＋1/3＝1/2
ひいたのが赤球であり、箱に残っているのも赤球である確率1/3

よって(1/3)/(1/2)＝2/3
であっているでしょうか？

よろしくお願いします。
No.5090 - 2010/06/08(Tue) 01:02:41
☆ Re: 条件つき確率 / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．
それでokですよ．
No.5093 - 2010/06/08(Tue) 18:31:51
★ 順列 / 水団 ♂ [中国] [高校１年生]
はじめまして。塾のプリントで分からないところがあり、質問します。

問題；立方体の各面に隣り合った面の色は異なるように、色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。

(1) 異なる６色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(2) 異なる５色をすべて使って塗る方法は何通りあるか
(3) 異なる４色をすべて使って塗る方法は何通りあるか

ここからは自分で解いてみた結果です。
(1)上側を１色きめて、底を決めようとすると、あと５色使える。そして残りの４色で側面を塗るので円順列と考えて
5*(4-1)!＝30通り。

(2)同じ色が隣り合わないということは、上と底に同じ色が来るはずだから、その色の決め方が５通り。そしてあと４色が円順列。
5*(4-1)!=30通り。

ここまで解いたときに、６色と５色は答えが同じなのか？と悩んでしまい、結局合っているかどうか自信がありません。
また、(3)については手がつけられませんでした。

よろしくお願いします。
No.5078 - 2010/06/06(Sun) 19:06:34
☆ Re: 順列 / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。ルイです。

(1)6色をＡＢＣＤＥＦとします。必ずすべての面が異なる色で塗られ，同じ色は1回だけ登場し，かつ，どの色も登場します。したがって，どんな塗り方に対してもＡの面が1つだけあります。その面を上にして置きます。すると，下はＢ〜Ｆの5通りがあります。そして残りの側面はお考えのとおり円順列ですから，結局30通りで盛会ということになります。

(2)5色をＡＢＣＤＥとします。まず，いずれかの色は2回使うことになりますが，まずはＡを2回使うこととしましょう。隣り合ってはならないので，向かい合う面であるという考えは正しいですね。そこで，上の面をＡ，下の面もＡとします。側面を円順列であると考えると，正面をＢで塗ったとして，時計回りにＢ→Ｃ→Ｄ→Ｅと塗ったものと，Ｂ→Ｅ→Ｄ→Ｃと塗ったものは，同じものでしょうか？それとも違うものでしょうか？絵を描いて考えてみてください。
No.5080 - 2010/06/07(Mon) 01:41:54
☆ Re: 順列 / 水団 ♂ [中国] [高校１年生]
上下をさかさまにすると、時計回りに塗ったものと半時計のものが同じになるから、おなじですかね。。

ってことは30/2=15通りですか？
No.5083 - 2010/06/07(Mon) 15:39:37
☆ Re: 順列 / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。

>上下をさかさまにすると、時計回りに塗ったものと半時計のものが同じになるから、おなじですかね。。

そうなんですね。上下が同じ色ということは，ひっくり返すということが可能になるので，時計回りと反時計回りに塗ったものは同じになり，2で割る必要があります。

上下がＡの場合は，側面は(4−1)！/2＝3通り，上下はＡのほかにＢＣＤＥも考えられるので，全体としてはこの5倍の，15通りが答えとなります。

では(3)にいきましょう。
まず，4色を使うということは，
(a)ＡＡＡＢＣＤのように，同じ色を3回，1回，1回，1回と使う方法
(b)ＡＡＢＢＣＤのように，同じ色を2回，2回，1回，1回と使う方法
の2通りがまず考えられます。

そこで問題です。ここで使う4色をＡＢＣＤとします。
問題１．(a)のように塗る方法は何通りあるでしょうか？
問題２．(b)のように同じ色を使う場合，(2)で考えたように向かい合った面を塗ることしかできませんでしたね。2回使う色がＡとＢだった場合，何通りの塗り方があるでしょう？
問題３．以上をヒントにして，結局合計何通りの塗り方があるでしょう？

わかる範囲で答えてみてください。
No.5086 - 2010/06/07(Mon) 20:49:07
☆ Re: 順列 / 水団 ♂ [中国] [高校１年生]
こんばんわ。

問題1→隣り合った面の色は異なるように塗らないといけないが、1色を３面以上に使うとどうしても同じ色が隣り合ってしまうので、０通り。。

問題2→１通りですか？

問題3→4色のうち、2回使う色を2色決めると、4C2=6。

問題2、3より、1*6=6通り・・・でどうですか？
No.5088 - 2010/06/07(Mon) 23:32:14
☆ Re: 順列 / ルイ ♀ [大学生]
水団さん。こんにちは。

>1*6=6通り・・・でどうですか？

正解です！(3)では(a)(b)2つのパターンがあることを発見し，それぞれについて考えることです。そして，(a)(b)は同時には起こりえないので，それぞれを最後に足し合わせればよいのです(この場合は，(a)が0通りなので，あまり面白くありませんが)

この問題と同じ条件(隣り合う面どうしは異なる色で塗る)で，
(4)異なる7色が与えられたとき，塗り方は何通りあるか？

という問題あたりが，この問題の総まとめです。暇なときにでもぜひチャレンジしてみて下さい。
No.5092 - 2010/06/08(Tue) 18:11:12
★ 漸化式について / みのり ♀ [関東] [再受験生]
こんばんわ。漸化式の解答の仕方についてよろしくお願いします。

「漸化式 α＝1，αn+1 = 3αn + 2 で与えられる数列｛αn｝を求めよ」

という問題で、問題集の解答に、
t=3t+2 とおくと、αn+1 - t = 3(αn - t)
t=-1であるから、αn+1 + 1 = 3(αn + 1) …（以下省略）

と書いてあったのですが、t=3t+2 といった計算は実際するけど、解答には書いてはいけないと授業で習った覚えがあるのですが、どちらが正しいですか？
No.5061 - 2010/06/04(Fri) 22:48:13
☆ Re: 漸化式について / londontraffic [教育関係者]
みのりさん，こんばんは．

怪しい答案%%%%%%%%%%%
αn+1とαnをtとして，
t=3t+2を解くとt=-1
よって
αn+1 + 1 = 3(αn + 1)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%

この問題集の解答%%%%%%
t=3t+2 とおくと、【αn+1 = 3αn + 2 からこの等式を引いて】
αn+1 - t = 3(αn - t) 【・・・（あ）となる】
t=-1であるから、【t は（あ）を満たしているので，（あ）のtに-1を代入して】
αn+1 + 1 = 3(αn + 1)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%【　】は省いてある議論（と思われます）

くらいの差があります．
後者，すなわち問題集の解答であれば全く問題がないのですが，
みのりさんの仰る
「解答には書いてはいけない」
というのは，前者のように思われるからと指導された方が配慮されて，ご指導されたのでしょう．

後者の解答がお好みなら，そちらで構わないと思います．
No.5066 - 2010/06/05(Sat) 20:27:47
☆ Re: 漸化式について / みのり ♀ [関東] [再受験生]
【　】の部分、とても助かりました！
αn+1 - t = 3(αn - t) と αn+1 = 3αn + 2 を比較してｔを出しているから、問題ないんですね。

londontrafficさん 詳しい説明ありがとうございました☆
No.5085 - 2010/06/07(Mon) 19:04:08
★ 確率 / りく ♀ [関東] [高校3年生]
はじめまして、こんにちは。
１〜６のサイコロ(1個)を、奇数の目が出るまでふる。
サイコロをふる回数が４回以上となる確率は？

答えは1/8です。
３回偶数が出れば、サイコロをふる回数が４回以上となるので、
偶数の確率（1/2）を３回かければいいのでしょうか。
1/2×1/2×1/2=1/8
この解法で良いか教えて下さい。よろしくお願いします。
No.5064 - 2010/06/05(Sat) 06:56:18
☆ Re: 確率 / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　りくさん，おはようございます。

　その考え方で大丈夫ですよ。
　奇数が出たら振るのは終わりなのですから，４回以上振ることになるとしたら，
３回目までは偶数が出続けなければならないということです。
No.5073 - 2010/06/06(Sun) 08:40:51
☆ Re: 確率 / りく ♀ [関東] [高校3年生]
留数さんおはようございます。
確率の問題は「組合せ」や「順列」を使うことが多かったので、
解き方に不安がありました。
返信ありがとうございました。
No.5074 - 2010/06/06(Sun) 09:00:36
★ (No Subject) / れい ♀ [東海] [高校１年生]
こんにちわ。


数?Tの二次関数です

４ＳＴＥＰの二次関数の１３４番なのですが

点(ｘ，ｘ^2)は、放物線ｙ＝ｘ^2上の点で、２点Ａ(−１，１)，Ｂ(４，１６)の間にある。
このとき，△ＡＰＢの面積の最大値を求めよ。


この問題を教えて下さい
どのように考えていけばいいか
全くわかりません…

よろしくお願いします
No.5059 - 2010/06/04(Fri) 20:25:56
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

『書き込まれる方へのお願い』にありますように、問題文のみの書き込みはご遠慮いただいております。
No.5063 - 2010/06/05(Sat) 01:55:04
★ (No Subject) / ヘボ太 [浪人生]
すみません、問題を解いている最中に不思議な現象を起こしてしまったのでご指摘お願いします。。

y=-2x^2+3ax+6a^2
y=-x+k

が接するときのkの値が求めたいのですが、以下の2通りのやり方でやってなぜか結果が合いません。

＜判別式を使う＞

2式を連立して
2x^2-(3a+1)x-6a^2=0
これが重解を持つから、
D=57a^2+6a-8k+1=0
∴k=(57a^2+6a+1)/8　（これが正解）

＜微分を使う＞

y'=-4x+3a
∴y'=-1のときx=(3a+1)/4（接点のx座標）
これを二次関数の方に代入して計算すると
y=(57/8)a^2（接点のy座標）となります。
よって、
k=x+y==(57a^2+6a+2)/8　（？？？）
No.5051 - 2010/06/03(Thu) 22:39:11
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ヘボ太さん、こんばんは。河童です。

わたしも計算してみましたが、ともに k=(57a^2+6a+1)/8　になりました。
最後から３行目で、y座標を計算されていますが、ここはぐっと我慢して、
そのまま x = (3a+1)/4 を足すのがいいでしょう。
その際、-1/8 ( 3a+1 ) でくくると、計算が楽になりますね。
No.5055 - 2010/06/04(Fri) 00:50:15
☆ Re: / ヘボ太 [浪人生]
わざわざ計算させてしまい、すみません。
直接代入すると確かに正解に至りました。

間違えていた理由は、微分の代入でよく使う手法で、
割り算により
y=(-4x+3a)Q(x)+(57/8)a^2
これに代入すると(-4x+3a)=0だから･･･

としていたんですが、0でなくて-1ですね･･･。
こういう単純なミスは思いこんでいるので他人に指摘されるまでなかなか気付けません。。
お手を煩わして済みませんでした。
No.5056 - 2010/06/04(Fri) 12:34:58
★ 空間図形 / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
よろしくお願いします。
同じ平面上にない３つの直線a,b,cについて、aとbが垂直でbとcが垂直ならaとcは垂直といってよいのでしょうか。証明を含めて教えてください。
No.5036 - 2010/06/02(Wed) 10:24:04
☆ Re: 空間図形 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みなみのさん、こんにちは。

ご質問が高校内容かどうかは微妙なところですが、簡単に回答します。

時計の、長針と短針、それらの回転軸で考えてみればいかがでしょう？
No.5038 - 2010/06/02(Wed) 14:40:08
☆ Re: 空間図形 / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
ご返事ありがとうございます。a、cが時計の長針と短針で回転軸がbだと考えるとわかりやすかったです。垂直とは言えないことがわかりました。実はこの質問は添付したファイルの赤の線で囲んだ部分の証明の仕方に疑問を感じたからです。ご面倒ですが添付ファイルを見ていただいてよろしいでしょうか。証明は青の線で囲んだ、aとbが平行でbとcが平行ならaとcは平行の証明をまねてやってみたいのですがよろしくお願いします。
No.5046 - 2010/06/03(Thu) 12:57:24
☆ Re: 空間図形 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＞赤の線で囲んだ部分の証明の仕方に疑問を感じたからです

どのような疑問を感じられたのでしょうか？
No.5048 - 2010/06/03(Thu) 14:42:52
☆ Re: 空間図形 / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
すみませんでした。直線l(エル)と直線b(BH)が垂直であることを言っているのだと勘違いしました。しっかり見ないで質問してすみませんでした。本当にすみません。解決です。
No.5049 - 2010/06/03(Thu) 15:27:33
★ 数列 / みー [高校3年生]

問題と解答は画像のとおりです。

分からないところが３つあるのですが…。

１．なぜ a1,a3,a5…のように
奇数だけなのですか？
２．どういう計算のしかたをしたのかがわかりません。
３．どういう計算のしかたをしたのかがわかりません。

多くてすいません。
よろしくお願いいたします。
No.5029 - 2010/05/29(Sat) 22:07:00
☆ Re: 数列 / すきゅーず ♂ [近畿] [大学生]
<?@について>
c_n=0 ( n は偶数 ) ですから c_2=c_4=c_6=c_8=c_10=0
よって Σa_k*c_k=a_1*c_1+a_2*c_2+a_3*c_3+...+a_9*c_9+a_10*c_10
=a_1*c_1+a_3*c_3+...+a_9
0 がかかって書かれていないだけです.

<?Aについて>
S=2^2+2^3+...+2^8+2^9 とおく
2S= 2^3+...+2^8+2^9+2^10 で
　2S-S=S=2^10-2^2=2^2*(2^8-1)=4*(2^8-1) です.
教科書に等比数列の和の公式があると思いますよ.この際に見てみては?

<?Bについて>
Σ(1/(2k-1)-1/(2k+1))
=1/3-1/5+1/5-1/7+1/7+...-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1)
=1/3-1/(2n+1)
部分分数分解というのは聞いたことありますか?
上の計算は結局,最初と最後の項だけが残ります.
Σ計算は実際に代入していくと代入しないままでは見えなかったものが見えますよ.
この作業を面倒だと思わないでください.
No.5030 - 2010/05/30(Sun) 00:40:29
☆ Re: 数列 / みー

１.どうせ0になるから
省かれていただけだったんですね。

２.等比数列和の公式を
覚え間違えていました(;･_･)

３.実際に数値を代入するだけで
こんなに見えてくるものなんですね!
これは理解できたのですが、
ここで部分分数分解が
使えるのですか?
部分分数分解は最近習得しました。

No.5031 - 2010/05/30(Sun) 06:27:15
☆ Re: 数列 / すきゅーず ♂ [近畿] [大学生]
「ここで部分分数分解がつかえる」
→「ここ」ってどこでしょうか?




No.5032 - 2010/05/30(Sun) 10:27:23
☆ Re: 数列 / みー

Σ(1/(2k-1)-1/(2k+1))

の計算で、という意味です(>_<)

分かりにくくて申し訳ありません。

No.5033 - 2010/05/30(Sun) 16:25:07
☆ Re: 数列 / すきゅーず ♂ [近畿] [大学生]
??? 1/k(k+1) を 1/k-1/(k+1) のように変形することを部分分数分解というのですが...
Σ(1/(2k-1)-1/(2k+1)) を一見して,最初と最後の項が残ると判断できるのか? ということでしょうか? もしそうでしたら,私には答えづらいですね.何度も今回のような問題を扱うと自然にできるようになると思いますけど...

質問の意味を解釈できていなければ申し訳ないです.また聞いてください.
No.5034 - 2010/05/30(Sun) 22:13:00
☆ Re: 数列 / みー

部分分数分解の意味を
狭くとっていました(;･_･)

それも部分分数分解と
いうのですね。

形が変わると別物のように
見えてしまって(>_<)

理解できました。
ありがとうございました！

No.5035 - 2010/05/31(Mon) 06:01:58
★ 軌跡の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
こんにちは初めましてです。

日本女子大学の問題です。
点(2,0)を通る直線と、楕円4x^2+y^=1との交点を
P、Qとし、線分PQの中点をRとするとき、Rの軌跡を
求め図示せよ。

直線の方程式をx=2は不適だから傾きmとしてつくり楕円と
連立して解と係数の関係からRの座標をつくったのですが
ここからmを消去する方法がわからないのです。
答えは(x-1)^2+(y^2)/4=1(0≦x≦1/8)となっています。
よろしくお願いいたします。
No.5008 - 2010/05/25(Tue) 00:00:44
☆ Re: 軌跡の問題 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はじめまして。

＞直線の方程式をx=2は不適だから傾きmとしてつくり楕円と連立して解と係数の関係からRの座標をつくった

方針はこれでＯＫです。

Ｒの座標を m で表すと、どうなりましたか？

計算間違いされていないか確認したいので、書き込んでください。
No.5018 - 2010/05/27(Thu) 17:24:43
☆ Re: 軌跡の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
返信ありがとうございます。Rの座標は

R (2m~2)/(m^2+4)、(-8m)/(m^2+4)
となりました。
簡単な問題ですとここからm=?xとしてyに
代入すると式ができるみたいなのです。
No.5021 - 2010/05/27(Thu) 19:25:37
☆ Re: 軌跡の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
自分なりに考えて
Rからm=0でないとき、y=(-4x)/m、y=0でないから

m=-4x/y

これをRのどちらかに代入して(x-1)^2+(y^2)/4=1
m=0のとき R(0.0)はこの式を満たすのでOK。

答えとしてはあっているみたいなのですが解答の方針では
直線の式からx=2でないとき、m=y/(x-2)を代入するという
方法をとっています。この問題の場合どちらでもよいのか
それとも自分の方針では間違いなこともあるのかと思います。
もちろん記載していない実数解をもつことからmの条件も考慮
してます。
No.5023 - 2010/05/27(Thu) 20:15:05
☆ Re: 軌跡の問題 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

私もあっくわんさんと同じように解きました。

授業でも 、m=y/(x-2)を代入する解き方には、あえて触れません。
というのも、以下のように解いてしまう危険を避けるためです。

模範解答は,　m=y/(x-2) を y=(-8m)/(m^2+4)　に代入していると思うのですが、
x=(2m~2)/(m^2+4) に代入してみてください。

4x^3+xy^2-16x^2-2y^2+16x=0
という式がでてきます。
これを答えとしては、もちろん間違いです。
因数分解すれば、(x-2)(4x^2-8x+y^2)=0 となるのですが、それに気づく人は少ないでしょう。
このように、m=y/(x-2) を代入する解法では、y=(-8m)/(m^2+4) を求めなくても軌跡を求めることができますが、y=(-8m)/(m^2+4) にも配点があると思われ、求めていなければ減点の可能性大です。

m=y/(x-2)は、一つの知識として頭の片隅においておく程度でいいと思います。
No.5026 - 2010/05/28(Fri) 14:46:39
☆ Re: 軌跡の問題 / あっくわん ♂ [関東] [再受験生]
どうもありがとうございました。解等の方法ではいきなり
代入して整理して・・・(x-1)^2+(y^2)/4=1である
となっていて因数分解のところにも触れていませんでした。
円に戻して考える別解も載っていましたが先生と同じ方法
で安心できました。今後ともよろしくお願いいたします。
No.5027 - 2010/05/28(Fri) 16:33:26
★ 等比数列の極限の問題 / みのり ♀ [関東] [再受験生]
こんにちわ。初めまして。よろしくお願いします。

|r|<1ならばr＾n→０（ｎ→∞）ですが、n(r)^n→０（ｎ→∞）となるのが分かりません。
掛け算と同じような考え方でやればいいのですか？
ｎが定数であれば、納得なのですが、変数なのに…？！というところがひっかかってます。
No.5009 - 2010/05/26(Wed) 16:23:39
☆ Re: 等比数列の極限の問題 / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．londontrafficと申します．
早速いきましょう．

まずは感覚で．
y=xとy=r^x(0<r<1)のグラフをイメージしてください（もしくはグラフを描いてみてください）．
掛け算して（xr^xです），xをどんどん大きくしていくとどうなると思いますか？

次に数式で理詰めしますか．
0<r<1であるとき，r=1/sとするとs>1となります．
r^n=1/s^n
であり，s=1+tとすれば0<t<1．
s^n=(1+t)^n≧1+nt+n(n-1)t^2/2・・・【二項定理より】
よって，nr^n=n×1/s^n≦n/{1+nt+n(n-1)t^2/2}=1/{1/n+t+(n-1)t^2/2} →0

これでどうですか？
No.5010 - 2010/05/26(Wed) 21:49:12
☆ Re: 等比数列の極限の問題 / みのり ♀ [関東] [再受験生]
返信ありがとうございます！
実際グラフを描いてみて掛け算したところ、確かにxを大きくしたら０に近づきますね。
数式での証明なのですが、ちょっと気になる点がありまして、

> s=1+tとすれば0<t<1

という所は 0<t ではないかと思うのですが違いますか？
No.5017 - 2010/05/27(Thu) 10:07:21
☆ Re: 等比数列の極限の問題 / londontraffic [教育関係者]
> 0<t ではないかと思うのですが違いますか？
おお，そうですね．すっかり違う問題と勘違いしていました．ゴメンナサイ<(_ _)>
No.5019 - 2010/05/27(Thu) 17:24:57
☆ Re: 等比数列の極限の問題 / みのり ♀ [関東] [再受験生]
完全に納得できました☆
londontrafficさん本当に有り難うございました(＾＾)
No.5024 - 2010/05/27(Thu) 20:40:52
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