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★ 微分方程式 / かまた ♂ [甲信越] [大学生]
こんにちわ。

教科書の問題で微分方程式の一般解を求めよという問題なのですが、この微分方程式が何系なのかが分からず解けません。
dy/dx=(y^2)+1
No.4995 - 2010/05/22(Sat) 15:03:59
☆ Re: 微分方程式 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
かまたさん、こんにちは。

変数分離形ですので、dy/(y^2+1)=dx と変形して、両辺を積分します。

ただ、∫dy/(y^2+1) の計算は、高校範囲を若干超えてしまうところがありますので、回答はここまでとさせていただきます。
No.5007 - 2010/05/24(Mon) 14:21:39
★ 積分の応用 / みー [高校3年生]

こんばんは。
テスト前なのになかなか問題集が進まず焦っています。
力を貸してください!!

問題と解答は画像のとおりです。
オレンジの矢印の過程でどういう
計算が行われたのかがわかりませんでした。
よろしくお願いいたします。
No.4988 - 2010/05/21(Fri) 21:11:02
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
はじめまして。回答させていただきます。


ポイントとしては(x-1)'=1 という当たり前のことに着眼して下さい。

もっと突っ込んだヒントを出しますと

∫[2→e+1]{log(x-1)}dx=∫[2→e+1]{(x-1)'log(x-1)}dx

として部分積分に持ち込んでください。

なお、問題集(?)の解答の書き方からして本来部分積分から導かれる

∫logx=xlogx-x+C (ただしCは積分定数）

を公式化しているように思えますが理系であり余裕があれば上述の公式を準公式として覚えておくのも試験中の時間短縮の一つの手段かと思われます。
No.4990 - 2010/05/21(Fri) 22:06:46
☆ Re: 積分の応用 / みー

こんばんは。
迅速な回答ありがとうございます。

部分積分を使うと
式の後半部分が
-∫[2→e+1]{1/(x-1)}(x-1)dx
となり、最終1になる気が
するのですが…。

No.4991 - 2010/05/22(Sat) 04:27:26
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
おはようございます。

被積分関数が1と定数になってしまうということでしょうか？

ではまず、いずれの(解答と今回提示した回答)方法でも最終的な答えが1になる事は確認できていますでしょうか？


数式上では[x][2→e+1]も[x-1][2→e+1]も最終的な答えが同じになりますから同じものです。
前者の場合は(e+1)-2となり後者の場合は{(e+1)-1}-(2-1)となるのですから等しくなるのはあきらかですね。

ここで、みーさんの疑問に移りますと

解答の途中式と合わないので疑問に思われたものと察しますが、上記の様な理由でどちらも計算上は正しいということが分かっていただけますでしょうか？

では何故このような違いが生じるかと言いますと解答の途中式の二段目の後半に出てくるx-1の「-1」の部分は私が挙げた方法では不定積分で言うところのいわゆる積分定数の部分にふくまれるものです。

私が解答の式を見て対数の積分を公式化してると感じたのはこのような理由からです。
（公式化されたxにx-1をそのまま代入すれば同じ式が得られますね？）

こういうところも数学の楽しさの一つだと思います。

いかがでしょう？
No.4992 - 2010/05/22(Sat) 05:28:34
☆ Re: 積分の応用 / みー

あのあとの計算を止めずに
最後まで解くと答えが合いました!

たしかにこの解答では
かなり公式化しているような
書き方ですね…(;･_･)

ところで、部分積分では
式の途中にもう一度∫を書かなければならない
部分がありますよね(今回悩んでいたところです)。

あのとき、不定なら何も考えずに∫を
書けばよかったのですが、
定の場合この部分の∫にも
範囲を書かなければ
いけないのでしょうか。
定のときの途中式の書き方に
いまいち慣れていないです。

No.4993 - 2010/05/22(Sat) 10:17:08
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
こんばんは。返信遅れてしまい申し訳ありません。


定積分の場合は部分積分の第二項目につく積分記号にも積分区間をつけなければなりません。

解答作成の際の途中式でもしっかりと積分区間を明記しましょう。
No.5005 - 2010/05/22(Sat) 23:46:25
☆ Re: 積分の応用 / みー

そうなんですか。
範囲のことが分かれば
解決です!

とてもわかりやすく
すっきりしました。

ありがとうございました。

No.5006 - 2010/05/23(Sun) 05:22:12
★ 極限 / マサキ ♂ [関東] [高校3年生]
初めまして。極限の問題の中で解法がわからないものがあったので教えてください。

次の極限を求めよ。
lim 1-cos3X/X^2
x→0

ちなみに答えは9/2となるようです。
No.4996 - 2010/05/22(Sat) 16:55:21
☆ Re: 極限 / londontraffic [教育関係者]
マサキさん，こんにちは．londontrafficと申します．

確認なのですが，問題は
lim_{x→0}(1-cos3x)/(x^2)
【分子が1-cos3x 分母がx^2】
でよろしいですよね．

さてこの問題は，いわゆる極限の典型問題に帰着する前に，
1)三角関数の３倍角の公式
2)（因数定理を利用する）因数分解
の利用が必要です．

まず1)です．cosの３倍角の公式は
cos3x=○cosx+△cos^3x
の形をしていまが，○と△には何が入りますか？
No.4998 - 2010/05/22(Sat) 17:19:04
☆ Re: 極限 / マサキ ♂ [関東] [高校3年生]
返信ありがとうございます。
問題は記していただいた通りで結構です。

○には3 △には-4が入ります。
No.4999 - 2010/05/22(Sat) 17:43:55
☆ Re: 極限 / マサキ ♂ [関東] [高校3年生]
間違えました。
○には-3 △には4が入ります。
No.5000 - 2010/05/22(Sat) 17:45:54
☆ Re: 極限 / マサキ ♂ [関東] [高校3年生]
アドバイスに基づいて計算した結果、

lim −(cosx−1)(2cosx+1)^2/x^2
x→0
というところまで出ました。ここまではよろしいですか？
その後はどのように解けばよいのかまだわかりません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

No.5002 - 2010/05/22(Sat) 19:16:34
☆ Re: 極限 / londontraffic [教育関係者]
レス遅れてスイマセン．
ここまでパーフェクト．後は定石通りにいけばokとなります．
−(cosx−1)(2cosx+1)^2/x^2 =(1-cosx)(2cosx+1)^2/x^2
と変形できて，こちらの方が進めやすいので，これでやりますね．

さて，その定石の話です．
lim_{x→0}sinx/x=1
であることはおわかりですよね．この形にもっていくので，
sin^2x=1-cos^2x
を作ります．分子に1-cosxがあるので，分母・分子に1+cosxを掛けると・・・

これでうまくいくはずです．
No.5003 - 2010/05/22(Sat) 21:17:33
☆ Re: 極限 / マサキ ♂ [関東] [高校3年生]
できました！
丁寧な解説ありがとうございました！
No.5004 - 2010/05/22(Sat) 21:25:00
★ ベクトルについて / 曹操 ♂ [近畿] [浪人生]
解いてみましたが、(3)がわからないので、解き方を教えていただければと思いお願いにあがりました。よろしくお願いします。

問題
　正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OCの中点をE、辺BCを3:1に内分する点をFとし、辺AB上に点Gをとると、線分DF、EGは点Hで交わる。vec{OA}=vec{a}、vec{OB}={b}、vec{OC}=vec{c}とおくとき、次の問いに答えなさい。

(1) vec{ED}、vec{EF}をそれぞれvec{a}、vec{b}、vec{c}で表せ。
(2) AG:GEを求めよ。
(3) 直線OHと平面ABCの交点をIとし、四面体OIAB、OIBC、OICAの体積をそれぞれV1、V2、V3とおくとき、V1:V2:V3を求めよ。

(1)はvec{ED}=1/3vec{a}-1/2vec{c}、vec{EF}=1/4vec{b}+1/4vec{c}
(2)は2:3とでましたが、(3)でつまりました。模範解答は14:3:4となるそうですが…よろしくお願いします。
No.4958 - 2010/05/19(Wed) 08:35:16
☆ Re: ベクトルについて / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

私が解いてみたら、模範解答と違う答えになってしまったのですが、おそらく私がどこかで計算間違いをしたのだろうと思います。

(3)でつまったということですが、逆にどこまでは出来ました？
vec{OH} や vec{OI} を　vec{a}、vec{b}、vec{c}で表わしてみましたか？
No.5001 - 2010/05/22(Sat) 18:59:09
★ No.4934ももんがさんの質問の続き / londontraffic [教育関係者]
いよいよ本題に突入します．
>15の倍数
をどう処理するかです．

例えば
「1,1,2,3,4の５つの数から３個の数を選ぶとき，2,3を含むものは何通りあるか」
という問題ならば，
（全体）ー（2,3を含まないもの）
というアプローチの仕方もありますが，素直にやると
【2,3は必ず含むから（それらを取り除いて），残り１個を選ぶ方法を考えればよい】となるので
1,1,4から１つ選ぶのは，１または２なので，『２通り』となります．

今回は15の倍数ということから15=3×5なので，
「少なくとも3と5は１つずつ入る」
ということになります．
6000=2^4×3×5^3
なので，3と5を１つずつ入るから（それらを取り除いて）
2^4×5^2
で約数を考えます．今までのことからこの2^4×5^2の約数の個数が
>6000の正の約数の中で15の倍数であるものが何個あるか。
になります．

どうでしょう？
No.4972 - 2010/05/19(Wed) 18:51:10
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

お返事遅くなってすみません

3,5
3,5,2
3,5,4
3,5,8、
3,5,8
3,5,5
3,5,25
の七通りの組み合わせですか？
No.4976 - 2010/05/19(Wed) 20:50:48
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / londontraffic [教育関係者]
いいえ．3,5,5,2など忘れ物がありますね．

今までのやりとりをもう一度，考えてみましょう．
6000=2^4×3×5^3の約数は，5×2×4=40個でした．
それは2,3,5の指数に１を加えた数「5,2,4」の積．
これと同じ事を2^4×5^2でやるのです．

どうでしょう？
No.4978 - 2010/05/19(Wed) 21:14:05
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

あ、3つの数字とは限らないんですよね。



2＾4の約数の個数と
5＾2の約数の個数の数をだすんですか？

2＾4の約数は1,2,2^2,2^3,2^4 の5つ
5＾2の約数は1,5,5^2　　の3つ
5×3で15ですか？
No.4979 - 2010/05/19(Wed) 21:25:29
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / londontraffic [教育関係者]
はい，okですよ．
下に１５個を挙げておきました．

いよいよ最後の総和です．
例えば，a,b,c,d,eを全て自然数とすると，15a+15b+15c+15d+15e=15(a+b+c+d+e)
となりますね．すなわち５つの数
15a,15b,15c,15d,15e
の総和を作るときは，a+b+c+d+eの部分を計算して，それに１５を掛ければ得られます．

さあ，今までやってきたことを考えて計算してみましょう．
もしヒントが欲しかったら，その旨カキコしてください．
No.4982 - 2010/05/20(Thu) 06:57:46
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

お返事遅くなってすみません(T_T)

15個全部書かなくちゃならないんですよね？

＞a+b+c+d+eの部分を計算して，それに１５を掛ければ得られます
ていうのはわかるんですが
そのa+b+c+dの何通りあるのかの数え方がわかりません。
No.4983 - 2010/05/20(Thu) 15:20:31
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / londontraffic [教育関係者]
>15個全部書かなくちゃならないんですよね？
そうですか？
今回a+b+c+dに当たる部分は，
『2^4×5^2』の約数ですよ．

No.4954とNo.4955でやったことを駆使してみましょう！
No.4984 - 2010/05/20(Thu) 18:33:40
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

すみません遅くなりました。

あ、ちょっとわかった気がします。
1+2+4+8+16＝31
1+5+25＝31
31×31＝961　　　　ですか？
No.4985 - 2010/05/20(Thu) 20:00:18
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / londontraffic [教育関係者]
very good!
あとはその数と15を掛ければokです．
No.4986 - 2010/05/20(Thu) 20:43:41
☆ Re: No.4934ももんがさんの質問の続き / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]
londontrafficさん。

本当にありがとうございました。
いつも丁寧に教えてもらってありがとうございます。（＾−＾）

また質問することがあると思うので、よろしくお願いします。
No.4987 - 2010/05/20(Thu) 21:27:47
★ 三角関数 / jyori [中学生]
三角関数で、

tanΘ=a

という式があるとき、実際にΘの値を求める事って可能ですか？

どのようにすれば良いですか？

一度、tanΘの値がずらっと並んでる表を見たことがあるのですが、そういうのじゃなくて数式がほしいです。
No.4928 - 2010/05/16(Sun) 11:14:37
☆ Re: 三角関数 / londontraffic [教育関係者]
jyori さん，こんにちは．londontrafficと申します．
中学生だそうですが，学校で三角比や三角関数を学んだのですか．

さて，本題です．
>実際にΘの値を求める事って可能ですか？
たとえば0°≦θ≦180°としたときに，
tanθ=1であればθ=45°となりますし，tanθ=2-sqrt{3}であればθ=15°です．
ただし，これは特殊な値だから得られるものです．
おそらくjyoriさんは，どんな実数aに対してもθの値を求められる公式（のようなもの）がないかということですよね．高等学校で学ぶ範囲においてはそのようなものはありませんし，私も知りません．ただ，
>tanΘの値がずらっと並んでる表
とあるように，作表できる人はその値を知っているわけですから，もしかすると便利な公式が存在するのかもしれませんね．
No.4936 - 2010/05/17(Mon) 09:30:14
★ (No Subject) / 優 ♂ [関東] [高校2年生]
こんにちは。次の問題が分からないので教えてください。

三角形ABCの三辺BC、CA、ABを1：2の比に内分する点をL、M、Nとし、ALとCNの交点をP、ALとBMの交点をQ、BMとCNの交点をRとするとき、三角形PQRの面積と三角形ABCの面積との比を求めよ。（東京大）

三角形PQR=三角形ABC-(三角形BCR+三角形CAP+三角形ABQ)だから
三角形PQR/三角形ABC=1-(三角形BCR/三角形ABC+三角形CAP/三角形ABC+三角形ABQ/三角形ABC)
次に三角形の面積の比を出していこうと思ったのですが、どうすれば良いのか分かりません。よろしくお願いします。
No.4946 - 2010/05/18(Tue) 16:52:40
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
まず、1つ質問しますので、お答え下さい。

三角形ABL, 三角形BCM, 三角形CANそれぞれの面積は、
三角形ABCの面積の何倍になるでしょうか?
No.4956 - 2010/05/18(Tue) 23:23:50
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
それぞれ1/3だと思います。

三角形ABQ、三角形BCR、三角形CAPも同様に考えたらそれぞれ1/3×1/3=1/9でしょうか？
No.4959 - 2010/05/19(Wed) 16:41:01
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> それぞれ1/3だと思います。

そうです。その通りです。

三角形ABLは辺BLを、三角形ABCは辺BCを、それぞれ底辺として考えると、
この2つの三角形は、高さが等しく、底辺の長さの比がBL：BC＝1：3なので、この比が2つの三角形の面積比となります。
ですから、三角形ABLの面積＝(1／3)・三角形ABCの面積ですね。

三角形BCRと三角形CAPも同様に考えれば、ともに三角形ABCの面積の1／3となりますね。

> 三角形ABQ、三角形BCR、三角形CAPも同様に考えたらそれぞれ1/3×1/3=1/9でしょうか？

こちらの方は、そのようにはなりません。どうなるかは引き続き考えていきましょう。

では、2つ目の質問です。

三角形ABLと三角形ABQの面積比は、何を調べればわかるでしょうか?
(この投稿の上部の、私の説明もヒントになります。)
No.4960 - 2010/05/19(Wed) 17:03:16
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
ごめんなさい、分かりません。
ABが共通しているので高さまたは底辺を見ていこうとしたのですが、分かりませんでした。
No.4961 - 2010/05/19(Wed) 17:15:11
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> ごめんなさい、分かりません。
> ABが共通しているので高さまたは底辺を見ていこうとしたのですが、分かりませんでした。

図は書いているという前提で説明を進めています。

ある方向から見ると、三角形ABLと三角形ABQは高さが等しい三角形とみなせる状態になります。
用紙を回転などさせてその状態を作ってみて下さい。

その状態ができれば、三角形ABLと三角形ABQの底辺はそれぞれ何になるか考えて下さい。
No.4962 - 2010/05/19(Wed) 17:25:29
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
三角形ABLの底辺はAL、三角形ABQの底辺はAQでしょうか？
No.4963 - 2010/05/19(Wed) 17:31:57
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> 三角形ABLの底辺はAL、三角形ABQの底辺はAQでしょうか？

そのように考えると、三角形ABLと三角形ABQは高さの等しい三角形とみなせますね。

この事を踏まえると、

三角形ABQは辺AQを、三角形ABLは辺ALを、それぞれ底辺として考えると、
この2つの三角形は高さが等しいので、2つの三角形の面積比は□□：□□となります。

□1個にはアルファベットが1文字ずつ入ります。どうなりますか?
No.4964 - 2010/05/19(Wed) 17:39:35
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
AQ:ALでしょうか。
No.4965 - 2010/05/19(Wed) 17:43:59
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> AQ:ALでしょうか。

そうです。AQ：ALがわかれば、三角形ABQが三角形ABLの何倍になるかがわかります。

では、AQ：ALを求めるには…?　と思うかもしれませんが、いくつか方法があります。
(a)　「平行線と角」, 「相似な図形」の性質を用いる。(中学数学2年,3年)
(b)　「メネラウスの定理」を用いる。(高校数学A)
(c)　「ベクトルの相等」を用いる。(高校数学B)

さて、優さんはどの方法が得意ですか?(できそうですか?)
No.4966 - 2010/05/19(Wed) 17:54:54
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
(a)は分からなく、(c)はまだ習っていないので(b)でやろうと思います。
メネラウスの定理より
CB/BL・LQ/QA・AM/MC=1
3/1・LQ/QA・2/1=1
LQ/QA=1/6
よって三角形ABQは三角形ABLの6倍

なんだか間違ってるような気もしますが、どうでしょうか？
No.4967 - 2010/05/19(Wed) 18:08:21
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> (a)は分からなく、(c)はまだ習っていないので(b)でやろうと思います。

「メネラウスの定理」を使うと、答案が一番短くなります。

> メネラウスの定理より　CB/BL・LQ/QA・AM/MC=1　3/1・LQ/QA・2/1=1　LQ/QA=1/6

ここまでは、合っています！　一気に進みましたね。

LQ／QA＝1／6より、AQ：QL＝6：1なので、AQ：AL＝□：□となり、　　←　　□1個には数字が1文字ずつ
三角形ABQの面積は、三角形ABLの面積の(□／□)倍になります。　　←　　□1個には数字が1文字ずつ

□のところを埋めて下さい。
No.4968 - 2010/05/19(Wed) 18:19:19
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
AQ:AL=6:7
三角形ABQの面積は三角形ABLの6/7
これで合っていますか？
No.4969 - 2010/05/19(Wed) 18:32:57
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> AQ:AL=6:7　三角形ABQの面積は三角形ABLの6/7　これで合っていますか？

はい、合っています。

三角形ABQの面積は三角形ABLの面積の(6／7)倍となり、
三角形ABLの面積は三角形ABCの面積の(1／3)倍でしたね。

では、三角形ABQの面積は、三角形ABCの何倍になるでしょうか?

答えまでたどり着けそうなら、最後まで計算していただいてもかまいません。
No.4971 - 2010/05/19(Wed) 18:41:38
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
6/7×1/3=2/7
したがって三角形ABQの面積は三角形ABCの2/7倍
同様にして三角形BCR、三角形CAPの面積はそれぞれ三角形ABCの2/7倍
よって三角形PQR=1-(2/7+2/7+2/7)=1/7
ゆえに三角形PQRは三角形ABCの比は1:7

こんな感じでしょうか？
No.4973 - 2010/05/19(Wed) 18:52:50
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> 三角形ABQの面積は三角形ABCの2/7倍
> 同様にして三角形BCR、三角形CAPの面積はそれぞれ三角形ABCの2/7倍
> よって三角形PQR=1-(2/7+2/7+2/7)=1/7
> ゆえに三角形PQRは三角形ABCの比は1:7

うん、最後の答えまで到達しましたね!!
些細な事ですが、最後の1行は、「三角形PQR『と』三角形ABCの比は1：7」ですね。

せっかくですから、「平行線と角」, 「相似な図形」の性質を用いた解法(概略)を書いておきます。(図で確認すると、意外とわかる内容だと思います。)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

三角形ABCの面積を「△ABC」と表現する。　　←　三角の記号が表示されない場合はご容赦下さい。
Mを通りBCに平行な直線と、線分ALの交点をSとおくと、
BL＝(1／3)BC, CL＝(2／3)BC, MS＝CL・(AM／AC)＝(2／3)CL＝(4／9)BCで、
三角形MSQ∽三角形BLQより、SQ：LQ＝MS：BL＝(4／9)BC：(1／3)BC＝4：3となり、
AQ：AL＝AS＋SQ：AL＝2SL＋SQ：3SL＝2(SQ＋QL)＋SQ：3(SQ＋QL)
　　　＝2(4＋3)＋4：3(4＋3)＝6：7なので、
△ABQ＝△ABL・(AQ／AL)＝(6／7)△ABL＝(6／7)・{△ABC・(BL／BC)}＝(6／7)・(1／3)△ABC＝(2／7)△ABCとなる。
同様に、△BCR＝△CAP＝(2／7)△ABCとなるので、
△PQR＝△ABC−(△ABQ＋△BCR＋△CAP)＝△ABC−{(2／7)△ABC＋(2／7)△ABC＋(2／7)△ABC}＝(1／7)△ABCとなり、
△PQR:△ABC＝1：7である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

「メネラウスの定理」は使えると便利ですが、適用できる状況に気づきにくい事もあります。

残りの2つの解法も重要だと思いますので、時間があるときにでもやってみる事をおすすめします。
No.4974 - 2010/05/19(Wed) 19:18:11
☆ Re: / 優 ♂ [関東] [高校１年生]
答えが出て嬉しいです。
とても分かりやすい説明でした。
どうもありがとうございました。
No.4975 - 2010/05/19(Wed) 19:21:53
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
優さんが答えまでたどり着いた投稿No.4973につきまして、

> 三角形PQR=1-(2/7+2/7+2/7)=1/7
これは表現としておかしいので、せめて以下のどちらかぐらいの表現にしておいて下さい。

・　三角形PQR＝三角形ABC−{(2／7)三角形ABC＋(2／7)三角形ABC＋(2／7)三角形ABC}＝(1／7)三角形ABC
・　三角形PQR／三角形ABC＝1−(2／7＋2／7＋2／7)＝1／7
No.4977 - 2010/05/19(Wed) 21:14:01
★ (No Subject) / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]
こんばんわ・・・
　次の問題がわからないので教えてください。
　
　6000の正の約数の中で15の倍数であるものが何個あるか。

　またそれらの総和を求めよという問題です。よろしくお願いします。
No.4934 - 2010/05/16(Sun) 22:36:04
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
こんにちは．
この問題を解く前にどこまでももんがさんが準備できているか，確認させてください．

１）12の正の約数の個数を求めよ．
２）12の正の約数の総和を求めよ．
以上２つ結果を利用した計算式すべてと共に書きこんでください．よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.4935 - 2010/05/17(Mon) 09:18:48
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

お返事遅くなってすみません。

(1)1.2.3.4.6.12
　　　　なので6つですよね？
(2)1+2+3+4+6+12＝28
　　　　　　　ですよね？
No.4939 - 2010/05/17(Mon) 18:01:18
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．okです．
それではいきましょう．

>(1)1.2.3.4.6.12
初めに，この６この約数がどう作られるかを考えましょう．
12=2^2×3
と素因数分解できるので，約数はこの「因数」もしくは「因数の積」で作られます．ただし1は全ての数の約数なので忘れてはなりません．
2^2の因数は，1，２，2^2(=4)
3の因数は，１，３
ですので，「2^2の因数３コの中から１つ」と「3の因数２コの中から１つ」を組み合わせるので
(2+1)×(1+1)=3×2=6コ
が解となります
．
次に(2)ですが，上で述べた
−−−「2^2の因数３コの中から１つ」と「3の因数２コの中から１つ」を組み合わせる−−−
を踏まえます．
集合Aに数a_1 , a_2，集合Bに数b_1 , b_2が属しているとしましょう．
集合Aから１つ，集合Bから１つの数を選び出して，その積をつくると
a_1b_1，a_1b_2，a_2b_1，a_2b_2
の４コあって，この４数の総和は
a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2=(a_1b_1+a_1b_2)+(a_2b_1+a_2b_2)
=a_1(b_1+b_2)+a_2(b_1+b_2)=(a_1+a_2)(b_1+b_2)
となります．よって，
1+2+3+4+6+12=(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+3)+2(1+3)+4(1+3)
=(1+2+4)(1+3)=(1+2+2^2)(1+3)=28
と計算できます．

ここまでいかがですか？ご理解いただけたのなら，これらを踏まえて
３）6000の正の約数の総数
４）6000の正の約数の総和
を求めてください．
No.4940 - 2010/05/17(Mon) 20:29:22
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

すみません


．> ，「2^2の因数３コの中から１つ」と「3の因数２コの中から１つ」を組み合わせる

という意味がわかりません。
この問題に初め挑戦するときひとつの例題をみてやったんですが、
今回だしていただいたものとおそらく同じ問題で
2＾2の因数が　　　3
3の因数が　　2
その3と2をかけて6なるんだと思ったのでとけなかったのだと思います。
No.4941 - 2010/05/17(Mon) 20:51:43
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>2＾2の因数が　　　3個
>3の因数が　　2個
ですから，ももんがさんの３×２＝６はokですし，私が意図している
>>「2^2の因数３コの中から１つ」と「3の因数２コの中から１つ」を組み合わせる
【数式で書けば 3C1×2C1＝３×２=6】と同じです．
これでどうでしょう？
No.4945 - 2010/05/18(Tue) 06:47:23
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

お返事遅くなってすみません。

とゆうことは
6000を素因数分解すると、2＾3×3×5＾3
2＾3の約数は、1.2.2＾2.2＾3の　　4つ
3の約数は、1.3の　　2つ
5＾3の約数は、1.5,5＾2,5＾3 の4つ
4×2×4＝32　　　　でいいんですか？((+_+))
No.4947 - 2010/05/18(Tue) 18:22:42
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>6000を素因数分解すると、2＾3×3×5＾3
>4×2×4＝32　　　　でいいんですか？((+_+))
アプローチはokです．
素因数分解が2^3×3×5^4なので4×2×5=40個ですね．
和はどうなります？
No.4948 - 2010/05/18(Tue) 18:51:27
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

5＾4ですか？
5＾3になるんですけど・・・(＠_＠;)
No.4949 - 2010/05/18(Tue) 18:57:44
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
あーごめんなさい．2^4でした<(_ _)>
6000=2^4×3×5^3
なので5×2×4=40個です．
No.4951 - 2010/05/18(Tue) 20:55:49
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

あ、すみません
ひとつかぞえまちがえていました。

そうですね！
2＾5の約数は5こだから
5×2×4ですかっ！！
わかりました！！

すみません（4）も考えてみたのですがいまいちわかりません(T_T)
集合にあらわすんですか？
No.4952 - 2010/05/18(Tue) 21:20:44
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
では，いきましょう．

６の約数の総和において，私は
>>1+2+3+4+6+12=(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+3)+2(1+3)+4(1+3)
>>=(1+2+4)(1+3)=(1+2+2^2)(1+3)=28
と書きました．黒いところに注目です．
2^2の約数の総和と3の約数の総和を掛け合わせると，求める総和になります．

ですから，4)は
（2^4の約数の総和）×（３の約数の総和）×（５の約数の総和）
で得られます．

どうですか？
No.4954 - 2010/05/18(Tue) 22:11:12
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [高校１年生]

とゆうことは
2＾4の約数の総和は1+2+4+8+16で31
3の約数の総和は1+3で4
5＾3の約数の総和は1+5+25+125で156
31×4×156で19344　　　…ですか？

かなり違う気がします。
理解できていなければすみませんm(__)m
No.4955 - 2010/05/18(Tue) 22:38:23
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
いや，okですよ．次は本題です．

長くなったので，
件名「No.4934ももんがさんの質問の続き」
で続きを書きますので，そちらでレスください．
No.4970 - 2010/05/19(Wed) 18:37:49
★ (No Subject) / ごっさん ♂ [近畿] [高校3年生]
（√2）（ｓｉｎ1）−ｓｉｎ2^（ｎ+1）＞0を証明する問題についての質問です。（ｎは自然数）


ｓｉｎ（π/4）＜ｓｉｎ1＜ｓｉｎ（π/2）より
　　（√2）/2　＜ｓｉｎ1＜1
よって、　　1＜（√2）（ｓｉｎ1）＜√2・・・?@

また、ｓｉｎ2^（ｎ+1）≦1・・・?A

?@の最小は、1より大きく、1に限りなく近い値。
?Aの最大値は、1

よって、（√2）（ｓｉｎ1）−ｓｉｎ2^（ｎ+1）＞0が成立する。


感覚的には、合ってる感じがしますが、証明方法として上記のような解答でも大丈夫なのでしょうか？

問題のある部分や、よりよい証明方法があれば教えてください。
No.4944 - 2010/05/18(Tue) 00:49:47
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> 感覚的には、合ってる感じがしますが、証明方法として上記のような解答でも大丈夫なのでしょうか？
> 問題のある部分や、よりよい証明方法があれば教えてください。

「　この証明方法でいいと思います。　」

(1)　最初の部分は、sin(π／4)＜sin1＜sin(π／3)を使ってもかまいません。
　　(π／4≒0.79, π／3≒1.05, π／2≒1.57)

(2)　1はπ／4よりもπ／3に近いので、
　　√2・sin1は√2・sin(π／3)＝√6／2に近い値をとり、
　　また、√2・sin1は定数となるので、
　　[誤]　?@の最小は、1より大きく、1に限りなく近い値。　　←　定数なのに「最小は?」
　　[正]　?@は1より大きい値をとる。　　←　これだけで十分。
　　とだけされた方がいいでしょう。

(3)　自然数n＋1が無理数になることはありませんので、
　　?Aは、0＜{sin(n＋1)}^2＜1でもかまいません。

結論の前に、
「?@, ?Aより、0＜{sin(n＋1)}^2＜1＜√2・sin1＜√6／2」
(ごっさんの答案の内容だと「?@, ?Aより、{sin(n＋1)}^2≦1＜√2・sin1」)
と書いておくと、より丁寧な解答になると思います。
No.4953 - 2010/05/18(Tue) 21:40:27
☆ Re: / ごっさん ♂ [近畿] [高校１年生]
1に限りなく近い値。　の部分や、結論へのもって行き方で不安を感じていましたが、解決できました。

ありがとうございました。
No.4957 - 2010/05/19(Wed) 07:56:41
★ (No Subject) / とも ♀ [東海] [新高校3年生]
高3です。学校のプリントの問題です。

すべてのxに対しcos(x+α)+sin(x+β)+√{2}cosxが一定になるようなα、βを求めよ。
ただし0<α<2π　0<β<2πとする。


途中までなんとなくやってみたので書きます。


f(x)=cos(x+α)+sin(x+β)+√{2}cosxとすると
f(x)=cosx･cosα-sinx･sinα+sinx･cosβ+cosx･sinβ+√{2}cosx
=cosx(cosα+sinβ+√2)+sinx(-sinα+cosβ)


f(0)=(cosα+sinβ+√2)
f(π/2)=-sinα+cosβ

f(x)=一定よりf(0)=f(π/2)
cosα+sinβ+√2=-sinα+cosβ
sinα+cosα+sinβ-cosβ=-√2
√{2}sin(α+π/4)+√{2}sin(β-π/4)=-√2
sin(α+π/4)+sin(β-π/4)=-1　…?@

↑どうにもなりそうにないのでf(3/2π)もやってみました。

f(3/2π)=sinα-cosβ
f(0)=f(3/2π)より
sin(α+3/4π)+sin(β+π/4)=
cos(α+π/4)+cos(β-π/4)=-1　…?A

?@−?Aをすると

sinα=cosβ
になりました。

でもこれを満たす0<α<2π　0<β<2π　のα、βがいくらでもあるなーと思って
この先わからなくなりました。
解く方向間違えたんですかね。

よろしくお願いします。
No.4906 - 2010/05/12(Wed) 19:16:00
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，最近鬱傾向の ＣＯＲＮＯ が久方ぶりにお相手します．

ともさん，決して方向を間違えているわけではないと思います．
ただ，ここに登場しているのは，
　　sinα，sinβ，cosα，cosβ
の４つです．
つまり，４文字の(１次)方程式を解こうとしているのですから，
　　f(0)=cosα+sinβ+√2
　　f(π/2)=-sinα+cosβ
　　f(3/2π)=sinα-cosβ
では足りないと思います．つまり，
　　f(π)= ………
も必要だと思います．
ただ，まだ足りないですよね？
すると，これに加えてあの三角関数での重要な公式を考えて，関係式を増やすのだと思います．
「あの三角関数での重要な公式」ってわかりますよね，あれです．

まずはここまでとします．
No.4907 - 2010/05/12(Wed) 20:08:38
☆ Re: (No Subject) / とも
f(x)=cosx(cosα+sinβ+√2)+sinx(-sinα+cosβ)


f(0)=cosα+sinβ+√2…?@
f(π/2)=-sinα+cosβ…?A
f(π)=-cosα-sinβ-√2…?B
f(3π/2)=sinα-cosβ…?C


で…
文字減らそうと足したり引いたりいろいろしました。
でもそうすると文字が全部消えて0になってしまいました。

三角関数で大事な公式は…
Sin^2θ+cos^2θ=1かなと思いました。
2乗したらまたまた
くっちゃくちゃになってしまいました…。
No.4909 - 2010/05/13(Thu) 00:25:52
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．
まずですが，丸囲み数字の使用はやめましょう．
おそらく今は，たいがいのコンピュータでは大丈夫だと思うんですが，機種依存文字と呼ばれる丸囲み数字の使用はやめた方が無難です．

> f(0)=cosα+sinβ+√2
> f(π/2)=-sinα+cosβ
> f(π)=-cosα-sinβ-√2
> f(3π/2)=sinα-cosβ
>
> 文字減らそうと足したり引いたりいろいろしました。
> でもそうすると文字が全部消えて0になってしまいました。
　組み合わせを考えてください．やみくもにやっても駄目です．
　文字が全部消えることのないように，組み合わせを考えてやれば…（※に続く）

> 三角関数で大事な公式は…
> Sin^2θ+cos^2θ=1かなと思いました。
　そうです，これです．例えば今は，sin^2β＋cos^2β＝１ として使いましょう．

> 2乗したらまたまた
> くっちゃくちゃになってしまいました…。
　（※）くちゃくちゃになることはないでしょう．
No.4910 - 2010/05/13(Thu) 06:03:22
☆ Re: (No Subject) / とも
丸数字の件すみません。気をつけます。


くちゃくちゃになりませんか?
私はかなりパニックになってます。

f(x)=kと考えると
f(0)+(π/2)+(π)+(3π/2)=4k=0
になりました。
つまりf(x)はずっと0?


2乗の公式を使おうと思ったらf(0)=f(π/2)
f(π)=f(3π/2)
の組み合わせだと思いました。

f(0)=f(π/2)
cosα-cosβ+sinα+sinβ+√2=0

f(π)=f(3π/2)
-cosα+cosβ-sinα-sinβ-√2=0

どこで2乗使おうかさっぱりわかりません。
やみくもに使おうとして計算パニックです…。
ここまであっていますか?
No.4917 - 2010/05/14(Fri) 00:49:40
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．
パニックとのことですから，一気に行ってしまいましょう．

> f(0)=cosα+sinβ+√2
> f(π/2)=-sinα+cosβ
> f(π)=-cosα-sinβ-√2
> f(3π/2)=sinα-cosβ
　この４本を見ると，１本目と３本目，２本目と４本目が同じものが含まれるセットとなるものと考えられます．
　すると，１本目と３本目から，
　　　cosα+sinβ+√2=-cosα-sinβ-√2
　となって，
　　　cosα+sinβ=-√2
　ですが，sin^2β＋cos^2β＝１ にもっていくためには，
　　　sinβ=-cosα-√2
　としましょう．これで，sin^2β＋cos^2β＝１ に代入できます．
　同様に，２本目と４本目から)
　　　cosβ= …
　が作れます．これも sin^2β＋cos^2β＝１ に代入すると，sinα と cosα の式になります．
　さらに，sin^2α＋cos^2α＝１ を使えば，sinα か cosα の値が求められるはずです．
No.4919 - 2010/05/14(Fri) 06:12:53
☆ Re: (No Subject) / とも
ありがとうございます!
できたような…
予感がしてます。


f(0)=f(π)より
sinβ=-cosα-√2
f(π/2)=f(3π/2)より
cosβ=sinα

sin^2β+cos^2β=1より
(-cosα-√2)^2+sin^2α
=cos^2α+2√2cosα+sin^2α-1
=2√2cosα=0
よってcosα=0
0<α<2πよりα=π/2,3π/2
(?T)α=π/2のとき
cosβ=sinα=1
0<β<2πより-1≦cosβ＜1より不適。
(?U)α=3π/2のとき
cosβ=sinα=-1
よってβ=π

以上よりα=3π/2,β=π


どうでしょう??
No.4921 - 2010/05/15(Sat) 00:22:14
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．

> sin^2β+cos^2β=1より
> (-cosα-√2)^2+sin^2α
> =cos^2α+2√2cosα+sin^2α-1
> =2√2cosα=0
> よってcosα=0
　ここが違っています．
　　　(−cosα−√２)^2＋sin^2α＝１　　←方程式を解くのですから＝１までしっかり　書きましょう．
　で，これから
　　　(cos^2α＋２√２cosα＋２)＋sin^2α＝１
　となります．もう一度，ここからやってみてください．
　なお，αとβが出たら，もとの式
> cos(x+α)+sin(x+β)+√{2}cosx
　に代入してみれば，得られた解が正しいかどうかは確認できます．
　そこまでやってみてください．
No.4923 - 2010/05/15(Sat) 06:15:18
☆ Re: (No Subject) / とも
遅くなってしまい大変申し訳ありません。

sin^2β+cos^2β=1より
(-cosα-√2)^2+sin^2α=1
cos^2α+sin^2α+2√2cosα+2-1=0
2√2cosα=-2
cosα=-√2/2
α=3π/4，5π/4

(?T)α=3π/4のとき
sinα=cosβ=√2/2
sinβ=±√2/2

sinβ=+√2/2で各値を代入するとf(x)=√2cosxで一定でなくなり
sinβ=-√2/2
で代入すると一定になるから
β=7π/4

同じようなことをα=5π/4のときもやるとβ=5π/4
になりました。


どうでしょう…
No.4943 - 2010/05/18(Tue) 00:26:17
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，続けます．

> sin^2β+cos^2β=1より
> (-cosα-√2)^2+sin^2α=1　　←※
> cos^2α+sin^2α+2√2cosα+2-1=0
> 2√2cosα=-2
> cosα=-√2/2
> α=3π/4，5π/4
　ここまではおおむねいいでしょう．
　で次ですが，場合分けは必要ありません．
　なぜなら，※のところは，
　　　sinβ＝−cosα−√２
　を考えていますよね？

　答の数値はその通りだと思います．
No.4950 - 2010/05/18(Tue) 20:25:43
★ 確率 / 俊佑 ♂ [北陸] [浪人生]
始めまして、俊佑と申します。
年は１９、一年休学留学してまして３月に高校を卒業しました。

大学には落ちまして、所謂浪人生をやっています。

今回の質問の出典は
赤チャートの数学A
例題５３、和事象の確率

です。

問題文は

xy平面上の点Pは原点から出発して、次の規則で動くものとする。

さいころを振って　偶数の目が出れば,x軸の正の方向に１動き、
　　　　　　　　　奇数の目が出れば,y軸の正の方向に１動く。

さいころを６回振るとき、次の確率を求めよ。

（１）Pが点（３、３）に来る確率

（２）Pが点（１、２）または点（２，３）を通る確率


です。

それで今回解らないのは（２）

なのです。

これの解答は

点（１、２）を通る確率は

3C1×2^3/64＝3/8

（これは納得）

点（２、３）を通る確率は
5c2×2/64＝5/16
（疑問はここにあります）

点（１，２）と点（２，３）をともに通る確率は

3c1×2c1×2/64＝3/16

よって求める確率は

3/8+5/16-3/16＝1/2


・・・とあるのですが

点（２、３）を通るまでに五回進まねばならないのだから
２を５乗するべきだと考えたのですが、解答にはそうではなく、２を掛けているだけでした。

この2は何を意味するのか？
そして何故5乗してはいけないのか？

よろしければ教えて下さい。
No.4932 - 2010/05/16(Sun) 19:07:16
☆ Re: 確率 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
点(1, 2)を通る確率のところも誤解されている可能性がありますので、合わせて説明します。
点(1, 2)を通る確率と点(2, 3)を通る確率は、どちらも確率を求める式は同じ形になっています。

さいころを6回振って点(a, b)(ただし、a＋b≦6)を通る場合は、
<1> スタートからさいころをa＋b回振って点(a, b)へ移動　(a＋b回のうちa回右)
<2> 点(a, b)からさいころを6−(a＋b)回振って移動してストップ
という流れになりますので、

さいころを6回振ることにより、点(a, b)(ただし、a＋b≦6)を通る確率は、
点(a, b)(ただし、a＋b≦6)を通る確率
＝{点(a, b)を通る経路の総数}／{全経路の総数}
＝[{点(a, b)までの経路の総数}×{点(a, b)からの経路の総数}]／{全経路の総数}
＝{a＋bCa×26−(a＋b)}／(2^6)　　←　a＋bCaはa＋bCbでもOKです。
＝a＋bCa×26−(a＋b)／64
となります。

つまり、
点(1, 2)を通る確率は、1＋2C1×26−(1＋2)／(2^6)＝3C1×26−3／64＝3C1×23／64となり、
点(2, 3)を通る確率は、2＋3C2×26−(2＋3)／(2^6)＝5C2×26−5／64＝5C2×2／64となります。

> 点（２、３）を通る確率は5c2×2/64＝5/16
> この2は何を意味するのか？
> そして何故5乗してはいけないのか？

ここまで書いたらもう説明はいらないかとも思いますが、

点(2, 3)を通る確率を求める式で使われている「2」は、
「点(2, 3)からのさいころを1回振って進む経路の総数」(26−(2＋3)＝2)です。
さいころを1回振って進む経路の総数だから、5乗なんかしたら・・・。

また、点(1, 2)と点(2, 3)をともに通る場合は、
<1> スタートからさいころを3回振って点(1, 2)へ移動　(3回のうち1回右)
<2> 点(1, 2)からさいころを2回振って点(2, 3)へ移動　(2回のうち1回右)
<3> 点(2, 3)からさいころを1回振って移動してストップ
という流れになりますので、
点(1, 2)と点(2, 3)をともに通る確率は、3C1×2C1×2／64＝3／16となります。
No.4933 - 2010/05/16(Sun) 22:06:25
☆ Re: 確率 / 俊佑 ♂ [北陸] [高校１年生]
ありがとうございます。
どうやら誤解していたようで、

残りのさいころに対しての２だったのですね。

大変解り易い説明で有難かったです。
No.4938 - 2010/05/17(Mon) 12:04:43
★ 積分 / zac ♀ [近畿] [高校3年生]
曲線y=｜x^2-2x｜と直線y=ax(0<a<2)によって囲まれる図形の面積の和を求めよ。

私は、
曲線y=｜x^2-2x｜と直線y=axとの共有点のx座標は
0,2-a,2+a
y=x^2-2xとy=axによって囲まれる図形と、
y=-x^2+2xとy=axによって囲まれる図形は対称だから、
0≦x≦2+aの範囲でax≧x^2-2xより
S(a)=2int_{0}^{2+a} (-x^2+2x+2a) dx
としたのですが、答えが違っていました。
どこが間違っているのか分かりません。よろしくお願いします
No.4929 - 2010/05/16(Sun) 14:45:44
☆ Re: 積分 / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんにちは。さっそく解答に入ります。

と、その前にひとつ確認させてください。
グラフは書いてみましたか？
とくに、aが確定していませんから、aを想定したグラフを複数書いてみましたか？

もしまだなら、そこから始めてみてください。
No.4930 - 2010/05/16(Sun) 16:37:43
☆ Re: 積分 / zac ♀ [近畿] [高校3年生]
aの範囲は決まっているのに、グラフを複数書く必要があるのですか？
No.4931 - 2010/05/16(Sun) 17:00:57
☆ Re: 積分 / せら。 ♂ [関東] [社会人]
必要なので、そのように指示しました。
ａの範囲はありますが、値がひとつに定まっているわけではありません。
No.4937 - 2010/05/17(Mon) 10:22:55
★ (No Subject) / すご ♂ [関東] [社会人]
二次関数f(x)＝ax＾２＋bx＋cは、x＝−１で最大値４をとり、方程式f(x)＝０は、x＝１を解にもつとするとbの値はいくらか？
こんばんは
まったくわかりません懇切丁寧に教えて下さい
よろしくお願いします
No.4908 - 2010/05/12(Wed) 20:49:54
☆ Re: / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
すごさん、こんにちは。

＞x＝−１で最大値４をとり、

このことから、y=f(x)のグラフ（放物線）の頂点の座標がどうなるかはわかりますか？
No.4911 - 2010/05/13(Thu) 16:16:20
☆ Re: / すご ♂ [関東] [社会人]
　　　新矢さんこんばんは
＞x＝−１で最大値４をとり、

このことから、y=f(x)のグラフ（放物線）の頂点の座標がどうなるかはわかりますか？
　　解　　　(x．y)＝(０．４)　になると思います
　　どうでしょうか？
No.4913 - 2010/05/13(Thu) 21:22:06
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

頂点の座標は (0,4) ではありません。

ところで、すごさんは社会人でいらっしゃるということですが、どのような理由で今回
質問をされたのでしょうか？
大学再受験をお考えなのでしょうか？

指導者として、すごさんのお立場にマッチした回答をさせていただきたく存じますので、よろしければお聞かせください。

『書き込まれる方へのお願い』にありますように、同時に複数の質問は禁止させていただいておりますので、三角比の質問記事は削除させていただきました。
No.4918 - 2010/05/14(Fri) 02:36:32
☆ Re: / すご ♂ [関東] [社会人]
新矢さんこんにちは
職場の選抜試験あるのでそれにむけての学習です。
No.4924 - 2010/05/15(Sat) 13:58:40
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
すごさん、こんばんわ。

この掲示板は主に大学受験生を対象に、解き方のわからない問題について、糸口を与えることで、自力で解決することを目的としており、教科書内容を一から解説する場ではありません。

現役高校性からの質問であれば。

=========
教科書・参考書などで、２次関数のグラフの書き方をもう一度復習してから次の問題を考えてみてください。
『y=2x^2-6x+10 の最小値を求めよ』
答えは 『x=3/2 のとき　最小値　11/2』となります。
これがクリアできたら、もう一度ご質問の問題に戻り、頂点の座標がいくつかを考えてみましょう。
教科書・参考書で復習していてわかりにくいところがあれば、その個所の解説部分を書き込んで、質問してください。
==========

というようなレスになります。申し訳ありませんが、掲示板運営上の理由から、すごさんにも質問の問題については、同様の回答になってしまいます。

しかし、すごさんの場合は、職場の選抜試験ということですので、時間的にさはど余裕がないかと思います。
かといって、２次関数や三角比について、一からの解説はこの掲示板ではできません。

ですので、試験までの数学の学習法に関して少しでもお力になることが、このサイトの役目かと考えます。

1.試験日
2.数学の出題範囲
3.試験時間（問題数）
4.手に入るのであれば過去問題を数題
5,数学以外の科目もあると思いますが、全得点に占める数学の配点

これらをお聞かせいただければ、数学の試験対策学習法について、アドバイスを差し上げることができるかと思います。

ただ、この掲示板で交わす内容ではなくなりますので、ご希望されるのであれば、
↓の学習相談掲示板でお聞かせいただければと思います。

http://lykeion.info/yybbs/yybbs.cgi

当掲示板の趣旨をご理解いただき、このような回答で納得していただければ幸甚です。
No.4926 - 2010/05/16(Sun) 05:13:30
★ (No Subject) / ヘボ太 [浪人生]
よろしくお願いします。一橋の問題です。
解いてみたのですが答えが合わないのでご指摘お願いします。

「箱A、箱Bのそれぞれに赤玉が1個、白玉が3個、合計4個ずつ入っている。
1回の試行で箱Aの玉1個と箱Bの玉1個を無作為に選び交換する。
この試行をn回繰り返した後、箱Aに赤玉が1個、白玉が3個入っている確率P(n)を求めよ。」

P(n)とは、n回繰り返した後、はじめの状態に戻っている確率である。
P(1)=(1/4)(1/4)+(3/4)(3/4)=5/8
∴P(n)=P(n-1)･(5/8)+(1-P(n-1))･(3/8)
=(1/4)P(n-1)+3/8 (n≧2)

∴P(n+1)=(1/4)P(n)+3/8 (n≧1)
この漸化式を解くと、
P(n)=(1/2){(1/4)^n + (1/2)}
No.4912 - 2010/05/13(Thu) 20:56:42
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
P(1)＝5／8は合っていますが、
P(n)=P(n-1)･(5/8)+(1-P(n-1))･(3/8)は既に正しくありません。

ある回の試行前の状態から、試行後に各箱の中身が赤玉1個, 白玉3個となる確率をまず考えてみて下さい。

・　A(赤1, 白3)&B(赤1, 白3) → A(赤1, 白3)&B(赤1, 白3)の場合、
　(A→B, B→A)＝(赤, 赤)または(A→B, B→A)＝(白, 白)なので、
　この場合の確率は、1／4・1／4＋3／4・3／4＝10／16＝5／8となる。
・　A(赤0, 白4)&B(赤2, 白2) → A(赤1, 白3)&B(赤1, 白3)の場合、
　(A→B, B→A)＝(□, □)なので、
　この場合の確率は、□・□＝□となる。
・　A(赤2, 白2)&B(赤0, 白4) → A(赤1, 白3)&B(赤1, 白3)の場合、
　(A→B, B→A)＝(□, □)なので、
　この場合の確率は、□・□＝□となる。

以上より、A(赤1, 白3)&B(赤1, 白3)の状態をX, そうでない状態をnotXとおくと、
ある回の試行により、X→Xとなる確率は□, notX→Xとなる確率は□となり、

(ちなみに、3／8というのはX→notXの確率です。本問では使用しません。)

n回の試行の後、Xである確率をP(n)とすると、
P(n)＝(n−1回でXの確率)･(X→Xの確率)＋(n−1回でnotXの確率)}･(notX→Xの確率)
　　＝P(n−1)･(5／8)＋{1−P(n−1)}･□となります。
No.4916 - 2010/05/13(Thu) 23:00:28
☆ Re: / ヘボ太 [高校１年生]
X→Xとなる確率は5/8, notX→Xとなる確率は1/2ですね。
よくわかりました。
ありがとうございました。
No.4920 - 2010/05/14(Fri) 22:49:33
★ 不等式の証明 / ニコクー ♀ [東海] [新高校2年生]
はじめまして。絶対値の付いた不等式の証明の問題です。

よろしくお願いします。

問題）｜a｜＜１、｜ｂ｜＜１　のとき

　　　　　　｜a+b｜＋｜a-b｜＜２
No.4741 - 2010/04/09(Fri) 18:01:33
☆ Re: 不等式の証明 / londontraffic [教育関係者]
ニコクーさん，おはようございます．londontrafficと申します．

上にある【書きこまれる方へのお願い】を読んでいただきたいと思います．読み終わったらその旨，レスください．よろしくお願いいたします<(_ _)>
No.4750 - 2010/04/10(Sat) 08:11:56
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー ♀ [東海] [新高校１年生]
> ニコクーさん，おはようございます．londontrafficと申します．
>
> 上にある【書きこまれる方へのお願い】を読んでいただきたいと思います．読み終わったらその旨，レスください．よろしくお願いいたします<(_ _)>

londontraffic様

大変失礼しました。ごめんなさい。


自分では、次のように考えてしまいました。

−１＜ａ＜１、−１＜ｂ＜１より

−２＜ａ＋ｂ＜２　となり、０≦｜ａ＋ｂ｜＜２・・・?@
−２＜ａ−ｂ＜２　となり、０≦｜ａ−ｂ｜＜２・・・?A

?@＋?Aより０≦｜ａ＋b｜＋｜ａ−ｂ｜＜４　となり、

　　　　　　　　　　　　　｜ａ＋b｜＋｜ａ−ｂ｜＜４　となってしまうのですが
　

?@、?Aのａ、ｂは同じ値を取るはずなので、これだと　?@、?Aのａ、ｂが別々の値のようですよね。　ふーむ。


ご迷惑かけて申し訳ありません。よろしくお願いします。
　　　　　　　
No.4819 - 2010/04/28(Wed) 22:06:33
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー ♀ [東海] [新高校2年生]
学年は　新高校２年生です。　不慣れで申し訳ありませんでした。　　　
No.4820 - 2010/04/28(Wed) 22:11:03
☆ Re: 不等式の証明 / londontraffic [教育関係者]
本掲示板の趣旨をご理解いただいてありがとうございます．
ではいきましょう！

>?@、?Aのａ、ｂは同じ値を取るはずなので、これだと　?@、?Aのａ、ｂが別々の値のようですよね。　ふーむ。
これ大事ですね．残念ながらこの方法では証明できないようです．地道ですが絶対値を外していきましょう．

絶対値の外し方はご存じですよね．今回は２つ絶対値があるので，説明してから本題に入りましょう．
例えば|x|+|y|のとき，xに関してはx≧0のとき|x|=x，x<0のとき|x|=-x．yについても同様に外すことができるので，
1)x≧0かつy≧0　2)x≧0かつy<0　3)x<0かつy≧0　4)x<0かつy<0
の４つに場合分けします．

では，本題．
答案をすっきりさせるために　K=|a+b|+|a-b|　としますね．
1)a+b≧0かつa-b≧0のとき，すなわち a≧-bかつa≧b のとき
K=(a+b)+(a-b)=2a　となり -1<a<1 から -2<a<2 ゆえに　-2<K<2　となり K<2 が成り立つ

とりあえず最初の場合分けのところはこんな感じですね．
残りの３つはニコクーさんにやってもらいましょうか．
No.4821 - 2010/04/29(Thu) 07:14:14
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー [新高校2年生]
londontraffic様

ありがとうございます。了解しました。続きをやってみますね。
その前に1)のご説明の　-2<a<2　は　-2<2a<2　ですよね？

2)a+b≧0 かつ a-b<0 のとき、すなわち a≧-b かつ a　
　K=(a+b)+(-a+b)=2b となり、条件の -1<b<1 から -2<2b<2 となり K<2 が成り立つ

3)a+b<0 かつ a-b≧0 のとき、すなわち a<-b かつ a≧b のとき

　K=(-a-b)+(a-b)=-2b となり、条件の -1<b<1 から 2>-2b>-2 つまり -2<2b<2 となり
K<2 が成り立つ

4)a+b<0 かつ a-b<0 のとき、すなわち a<-b かつ a
　K=(-a-b)+(-a+b)=-2a となり、条件の -1<a<1 から 2>-2a>-2 つまり -2<2a<2 となり
K<2 が成り立つ

以上、1)〜4)より K<2 が示され |a|<1,|b|<1 のとき｜a+b｜＋｜a-b｜<2 が成り立つ。

となりました。よろしくお願いします。
No.4884 - 2010/05/06(Thu) 17:20:19
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー [新高校2年生]
londontraffic様
2)と4)の場合分けの最終形がなぜか切れてしまいます。申し訳ございません。

2)は a≧-b かつ a<b のとき
　
4)は a<-b かつ a<b のとき

です。
No.4885 - 2010/05/06(Thu) 17:28:59
☆ Re: 不等式の証明 / londontraffic [教育関係者]
>その前に1)のご説明の　-2<a<2　は　-2<2a<2　ですよね？
大反省ですm(_ _)m

これも含め，大正解！
No.4886 - 2010/05/06(Thu) 18:36:59
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー [新高校2年生]


londontraffic様

ありがとうございます。すっきりしました。

御丁寧な解説でとても分り易かったです。

ふと思ったのですが、必要条件、十分条件や命題の考えで

P:｜a｜＜１、｜ｂ｜＜１　ならば　Q:｜a+b｜＋｜a-b｜＜２　と考えて

Pの領域がQの領域に含まれれば「PならばQであるは,真(PはQの十分条件または必要十分条件)」が言えるので、図示して証明しても良いのでしょうか？
No.4889 - 2010/05/06(Thu) 23:05:00
☆ Re: 不等式の証明 / londontraffic [新高校１年生]
>Pの領域がQの領域に含まれれば・・・
それでもokですよ．
ただ，｜a｜＜１、｜ｂ｜＜１は容易に図示できますが，｜a+b｜＋｜a-b｜＜２はどうします？
場合分けしないでできそうですか？
No.4895 - 2010/05/07(Fri) 18:34:31
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー [新高校2年生]
> >Pの領域がQの領域に含まれれば・・・
> それでもokですよ．
> ただ，｜a｜＜１、｜ｂ｜＜１は容易に図示できますが，｜a+b｜＋｜a-b｜＜２はどうします？
> 場合分けしないでできそうですか？

londontraffic様

やはり｜a+b｜、｜a-b｜から基本の４つの場合分けになりました。ab平面(aが横軸、bが縦軸)で考え、その上にb=-aとb=aの２直線によって４つの領域に分けて、その領域内で各領域を調べまとめてみると、Pの領域となる(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)を４角とする正方形の周を除く内部と同じ領域でした。つまりPはQと同値(PはQであるための必要十分条件)となるので、「PならばQである」ことは真となり成り立つ・・・ということでよいでしょうか？
No.4896 - 2010/05/07(Fri) 21:51:05
☆ Re: 不等式の証明 / londontraffic [教育関係者]
別なPCからカキコしたら，高１になってしまいました．再びスイマセン．

さて本題．
私も同じ図が書けましたよ．
>つまりPはQと同値(PはQであるための必要十分条件)となるので、
そうなりますね．
実は回答する前から私は図を書いていました．理由は「-2<K<2　となり K<2 が成り立つ」の部分が気持ち悪かったからです．
ただ今回は場合分けしてしまえば式変形だけで証明できるので，手間と時間を考慮すれば作図する必要はないと思います．が，普段から作図する癖をつけておけば，テストで役に立つかもしれませんね．
No.4897 - 2010/05/08(Sat) 06:33:09
☆ Re: 不等式の証明 / ニコクー [新高校2年生]

londontraffic 様

ありがとうございました

毎回分かりやすい解説で本当に助かります

またの質問の際もどうぞよろしくお願いします
No.4905 - 2010/05/09(Sun) 20:49:42
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