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★ 不等式の問題について / ふくすけ ♂ [近畿] [社会人]
こんにちは。ネット上で掲載されていた対数の問題で分からない部分がありました。
不明な部分のみ下記明記します。よろしくお願いします。

　　　　　　　　　　　　　　　　　記

【問題・解説　一部抜粋】
-3≦x＜-2、1＜x≦2 とする。
log3｜x｜=1 は、｜ｘ｜＝３よりx＝−３
log3｜x｜=1/4 は、｜ｘ｜＝4√３よりx＝4√３

【疑問点】
-3＜x≦-2、1＜x≦2 から、x＝−３となるのは分かります。
（ｘ＝３は範囲外なので）
次に「｜ｘ｜＝4√３よりx＝4√３」ですが、なぜ、-4√３
が除外できるのか分かりません。
解説では、「＋の方をとればよい」とのみあります。
おそらく、-4√３の方は範囲外となるのだろうとは思うのですが、
なぜ、そのように判断できるかが分かりません。
判断法をご教授頂きたく。

以上、宜しくお願いします。
No.4822 - 2010/04/29(Thu) 13:08:28
☆ Re: 不等式の問題について / ルイ ♀ [大学生]
こんにちは。ルイと申します。
No.4823 - 2010/04/29(Thu) 16:38:27
☆ Re: 不等式の問題について / ふくすけ ♂ [近畿] [社会人]
ルイさん、ご回答有難うございます。
Ｎ＝１でしょうか？
すると、１＜4√３＜２となり、解説のようになる
との理解で問題ないでしょうか？
No.4825 - 2010/04/30(Fri) 00:52:34
☆ Re: 不等式の問題について / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。これで，ほぼ解決ですね。
No.4826 - 2010/04/30(Fri) 01:35:23
☆ Re: 不等式の問題について / ふくすけ ♂ [近畿] [社会人]
ルイさん

こんばんは。連休で帰省しており、返事できませんでした。
申し訳ありません。
さて、Ｎ=1と判断した理由ですが、下記です。

　　　　　　　　　　　　　　　記

1^4<3<2^4 なので、１＜4√３＜２となると判断しました。
問題ないでしょうか？
No.4892 - 2010/05/07(Fri) 00:50:24
☆ Re: 不等式の問題について / ルイ ♀ [大学生]
ふくすけさん，こんばんは。

>1^4<3<2^4 なので、１＜4√３＜２となると判断しました。
>問題ないでしょうか？

はい，まったく問題ありません。それさえ分かれば，後は前の返信で書いたようにして，負の方が範囲外と判断できます。そして，正の方が範囲内であることも判断できますね。
No.4894 - 2010/05/07(Fri) 00:57:57
☆ Re: 不等式の問題について / ふくすけ ♂ [近畿] [社会人]
ルイさん

回答有難うございます。
理解できました。とても助かりました。

引き続き、勉強に励んでいきます。
No.4904 - 2010/05/09(Sun) 15:57:04
★ 対数の応用 / supernova ♂ [地球外] [新高校2年生]
はじめまして。対数の応用問題でわからないことがあるので教えてください。

問題　3^nが11桁の整数となる自然数nの値を求めよ。
　　　
学校のプリントの問題です。


自分の途中までの考えは、3^nの常用対数をとって　nlog_{10}3として
nlog_{10}3を10と11ではさみ、10^10＜nlog_{10}3＜10^11と、書けるだけ書いてみたのですが、先へ進めません。

3をn乗したときに、10の10乗より大きく、10の11乗より小さければ、
3のn乗は11桁になると思うのですが・・

対数の考え方が自分の中に定着していないので、飲み込むのに時間が掛かるかもしれませんが、回答よろしくお願いします。
No.4890 - 2010/05/06(Thu) 23:30:23
☆ Re: 対数の応用 / ルイ ♀ [大学生]
supernovaさん，こんばんは。ルイと申します。地球外から書き込みですか(笑)

3^nが11桁の整数となるとは，式で表現すれば，
10000000000≦3^n＜100000000000
となりますね。更に，指数を用いてやれば，
10^10≦3^n＜10^11
ということになります。質問文を見る限り，ここまでは理解なさっているようですね。

>10^10＜nlog_{10}3＜10^11

とありますが，これは違いますね。まぁ，直前に「10と11ではさみ」とあるので，単なる記入ミスでしょうが。

とりあえず，辺々の常用対数をとって，
log{10}10^10≦log{10}3^n＜log{10}10^11
とします。これは
10≦nlog{10}3＜11
とできます(これも理解できているようですね)。
ところで，log{10}3の値は与えられていませんか？
No.4893 - 2010/05/07(Fri) 00:54:09
☆ Re: 対数の応用 / supernova ♂ [地球外] [新高校１年生]
早速回答ありがとうございます。
返信遅れてすいません。

log{10}3の値のこと、忘れてました；
そういえば別紙でもらった常用対数表を使って良いと言っていたかもしれません。

log{10}3の値は0.4771だったと思います。

これを使えば解けるかな・・？
一応続きのほうもお願いします。

地球外と言う選択肢があるとは・・
supernovaとは超新星という意味なのでピッタリです（笑）
No.4898 - 2010/05/08(Sat) 17:15:29
☆ Re: 対数の応用 / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。

>log{10}3の値は0.4771だったと思います。

では，その値を10≦nlog{10}3＜11に代入して，nを求めてみましょうか。
それが答えです。
No.4900 - 2010/05/08(Sat) 20:42:38
☆ Re: 対数の応用 / supernova ♂ [地球外] [新高校2年生]
>　10≦nlog{10}3＜11に代入して，nを求めてみましょうか。
これは10≦0.4771nと0.4771n＜11の連立不等式ということでいいのでしょうか・・
そうすると

20....≦n＜23....となり、
3を20乗すると10ｹﾀ、21〜23乗すると11桁なので
nは自然数だから
nは21、22、23の３つということですか？
No.4901 - 2010/05/08(Sat) 22:07:31
☆ Re: 対数の応用 / ルイ ♀ [大学生]
正解です。

不等式に代入して，詳しく計算すると，

20.95…≦n＜23.05
となり，これを満たす自然数nは21,22,23ですね。
実際，
3^20＝3486784401　　(10桁)
3^21＝10460353203　 (11桁)
3^22＝31381059609 (11桁)
3^23＝94143178827　 (11桁)
3^24＝282429536481　(12桁)
No.4902 - 2010/05/09(Sun) 00:41:21
☆ Re: 対数の応用 / supernova ♂ [地球外] [新高校１年生]
ありがとうございました＾＾
わかりやすく説明していただき感謝してます。

またお世話になるかもしれないので今後もよろしくお願いします。
No.4903 - 2010/05/09(Sun) 01:19:24
★ (No Subject) / 東筑BOY ♂ [九州] [新高校１年生]
こんばんわ。はじめまして。新高校1年の男です。よろしくお願いいたします。

二次関数の問題です。

「長さ12cmの針金を2つに切り、2本の針金をそれぞれ折り曲げて正方形を2つ作る。
　それらの正方形の面積の和が最小となるには、針金をどのように切ったときか。
　またそのときの最小値を求めよ。」

はりがねを2つに切ったうちの1本をxcmとし、もう1本を(12−x)cmとする。

y＝{(1/4)x}^2＋{(12−x)/4}^2
＝1/8(x−6)^2＋9/2

までは出せたのですが、ここからどうすれば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.4834 - 2010/05/01(Sat) 21:17:05
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
東筑BOYさん，はじめまして．londontrafficと申します．
さっそくいきましょう！

>y＝{(1/4)x}^2＋{(12−x)/4}^2
>＝1/8(x−6)^2＋9/2
ここまでパーフェクトですね．２次関数のグラフは描けますよね．
グラフを作れば最小値を求めることができますが，描く前に定義域すなわちxの変域を求めておきましょう．

いかがですか？
No.4839 - 2010/05/02(Sun) 07:16:50
☆ Re: / 東筑BOY ♂ [九州] [新高校１年生]
ありがとうございます。
できました！
No.4899 - 2010/05/08(Sat) 19:59:50
★ (No Subject) / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]
こんばんは（*^_^*）

因数分解について教えてください。
　
　ａ＾３-ｂ＾3-ｃ＾3-3ａｂｃ
　
　公式ってありますか？
No.4863 - 2010/05/05(Wed) 00:47:43
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。ルイです。

これは，基本となる準公式的なものがあります。そこで，まず問題です。

問題１．次の式を展開して下さい。

(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−zx)
No.4864 - 2010/05/05(Wed) 01:40:28
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

すみません
遅くなりました

それは公式で覚えたんですが
x^3+b^3+c^3-3abc でいいんですか？
No.4870 - 2010/05/05(Wed) 19:03:47
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。

>x^3+b^3+c^3-3abc でいいんですか？

う〜ん，式の形は合ってますが，ここでは，

x3＋y3＋z3−3xyz　…(★)

と答えるべきでしたね。まぁ，それはともかく，この公式を覚えているなら，話は早いです。まず，(★)式と，問題の式を見比べると，x＝aとしてもいいと予想されますね。そこで実際，(★)式のxをaと置き換えると，

a3＋y3＋z3−3ayz

なる式が得られます。では続いて，yをbと置き換えると，

a3＋b3＋z3−3abz

となります。しかしよく見ると，問題の式とは，b3の直前の符号が違ってしまっています。そこで問題です。

問題２．(★)式のyをbと置き換えてはうまくいきません。では，yをどのように置き換えればいいと思いますか？また，置き換えた後の式を書き込んで下さい。
No.4871 - 2010/05/05(Wed) 19:32:08
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

あ、すみません
a,b,cで覚えたもので途中からおかしくなっていました


a^3-b^3+z^3　　ですか？
意味わかっていなかったらすみません
No.4872 - 2010/05/05(Wed) 19:52:24
☆ Re: / ルイ ♀ [新高校１年生]
今からしようといていることは，

x3＋y3＋z3−3xyz　…(★)

のx，y，zに何を代入すれば，あなたが因数分解しようとしている式

a3−b3−c3−3abc　…(問題の式)

になるか，ということです。(★)と(問題の式)を見比べると，xにはaを代入すればよさそうですね。

(★)式のxにaを代入すると，

a3＋y3＋z3−3ayz

となるのはいいですか？同じ調子で，yにbを代入すると，

a3＋b3＋z3−3abz

となるのもいいですね？しかし，これではb3の符号が＋になってしまっており，(問題の式)とは違う式になってしまいました。では，(問題の式)と同じように，b3の符号を−にするためには，yにbを代入するのではなく，一工夫必要というわけです。一体，yに何を代入すればいいでしょうか？ということです。
No.4874 - 2010/05/05(Wed) 20:12:56
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

すみません・・・

　一生懸命考えてみましたがわかりませんでした((+_+))
No.4875 - 2010/05/05(Wed) 21:29:25
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
それでは，x＝a，y＝−bを(★)に代入してみて下さい。
No.4877 - 2010/05/05(Wed) 22:43:24
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

a^3-b^3+z^3-3xyz

でいいんですか？
展開するんですか？
No.4878 - 2010/05/05(Wed) 23:05:23
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
>a^3-b^3+z^3-3xyz

x，yがまだ残ってますよ。x，yの全てにa，−bを代入してください。
No.4880 - 2010/05/05(Wed) 23:16:20
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
では，方針を立てやすいように例を示しますね。

例題

次の式を因数分解せよ。

(1)　9a2−36b2
(2)　a3＋8b3−c3＋6abc

まず(1)を解きましょう。(1)の基本となる公式は

(x＋y)(x−y)＝x2−y2

であることは容易に判断できるかと思います。上の式の右辺である

x2−y2

のxに3aを，yに6bを代入してみましょう。すると，

x2−y2＝(3a)2−(6b)2＝9a2−36b2

となり，例題の(1)と同じ式になりましたね。つまり，例題の(1)は，公式(x＋y)(x−y)＝x2−y2のxを3a，yを6bに替えただけのものである，といえます。よって，因数分解すると，(x＋y)(x−y)ですが，xを3a，yを6bに変えて，(3a＋6b)(3a−6b)と因数分解されますね。ポイントは，基本となる公式を思い出して，公式のそれぞれの文字を適切なものに書き換えて，与えられた式と同じ式を作ることです。

続いて例題の(2)を解いてみましょうか。

まず問題の式を見た時点で，基本となる公式は

(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−zx)＝x3＋y3＋z3−3xyz

と分かります。上の公式の右辺

x3＋y3＋z3−3xyz

において，x＝a，y＝2b，z＝−cを代入してやると，

x3＋y3＋z3−3xyz
＝(a)3＋(2b)3＋(−c)3−3(a)(2b)(−c)
＝a3＋8b3−c3＋6abc

となり，例題の(2)の式と同じになりました。つまり，a3＋8b3−c3＋6abcと言う式は，ただ単に，公式のxをa，yを2b，zを−cに変えただけだったのです。したがって，因数分解も，公式のxにa，yに2b，zに−cを入れてやればよいだけです。公式による因数分解は(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−zx)でしたから，xにa，yに2b，zに−cを代入して，

(a＋2b−c)(a2＋4b2＋c2＋2ab−2bc−ca)

が答えですね。なんとなく，コツは分かりましたか？同じようにすれば，

質問の　a3−b3−c3−3abc　も解けますよ。

基本となる公式は　x3＋y3＋z3−3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−zx)　です。

公式のx，y，zに何を代入するのか，式とにらめっこして下さい。

※因数分解は，展開とは違って，難しいものです。特にこの問題は，難易度が高めです。ですので，今，分からなくても，あせる必要はないと思うので，じっくりとやりましょう。慣れるまでは大変ですが，逆に慣れてしまえば，方針も簡単に立ち，解けるようになります。
No.4887 - 2010/05/06(Thu) 19:31:06
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

　ルイさん。ありがとうございます。ゴールデンウィークの課題の中の一つでした。
　高校に入って、因数分解につまづいています・・・（涙）
　というより、苦手です。ひらめかないというか。

　たくさん問題を解いてルイさんの言うように慣れればいいなと思っています。
　
　頑張ってみます。ありがとうございました。（＾−＾）
No.4891 - 2010/05/07(Fri) 00:07:35
★ (No Subject) / たまぴ ♂ [近畿] [新高校2年生]
はじめまして。学校のプリントからの問題の質問です。　　　　
「log2３、log3４、log4２の大小を比べよ」
log2３>log4２までは導けたのですが、log3４と他の数との大小関係がわかりません。　お願いします。
No.4855 - 2010/05/02(Sun) 23:49:49
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たまぴさん、はじめまして。河童です。

これは難しいですね。
たまぴさんがひとりで進めるのは難しいでしょうから、途中でわたしが助け舟を出します。頑張ってください。

まず、

＞　log2３>log4２までは導けた

ということですが、３数の中で log{4}2 だけが１より小さい数だということはよろしいでしょうか。
それが分かれば、log{2}3 と log{3}4 だけを比べればいいですね。

ところでたまぴさん、log{2}3 と log{3}4　の大きさを比べ難くしているのは、何が原因なんでしょうか？
それともうひとつ、２つの数の大小を比べるときの常套手段って何でしたっけ？
例えば、不等式を証明するとき、つまり左辺と右辺の大小を比べるとき、よく使う手がありましたよね。
ちょっと考えてみてください。

尚、今日の３日は外出するため、わたしの返信は夜になりますのでご了承ください。
No.4857 - 2010/05/03(Mon) 02:21:22
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校１年生]
河童さん、よろしくお願いします。

> それが分かれば、log{2}3 と log{3}4 だけを比べればいいですね。

色々と変形して比べてみたのですが、どれも分子にlogが入ってきて、いまいちよく分からないです。


> それともうひとつ、２つの数の大小を比べるときの常套手段って何でしたっけ？

（大）−（小）＞０より、（大）＞（小）ということでしょうか？
No.4858 - 2010/05/03(Mon) 18:12:48
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たまぴさん、こんばんは。
返事が遅くなりました。申し訳ありません。

＞（大）−（小）＞０より、（大）＞（小）ということでしょうか？

そうですね。その通りです。
あくまで正負を判断するだけです。具体的な値を出すわけではありません。
そこのところを強く心に留めておいてください。

＞　色々と変形して比べてみたのですが、どれも分子にlogが入ってきて、いまいちよく分からないです。

分子ではなく、分母ですよね＾＾
その、分母に log が入る変形というのを記入してください。
No.4859 - 2010/05/04(Tue) 02:34:49
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校2年生]
こんばんわ。
> 分子ではなく、分母ですよね＾＾

間違えました（笑）

> その、分母に log が入る変形というのを記入してください。

log{3}4=2/log{2}3としました。
No.4861 - 2010/05/04(Tue) 22:30:44
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たまぴさん、こんばんは。

＞　log{3}4=2/log{2}3としました

そうですね。
底を統一する。基本ですね。

さて、これから log{2}3 と log{3}4 の大小を比べようというのですが、

log{2}3 - log{3}4 = log{2}3 - 2/log{2}3

の右辺を通分して、その分子を因数分解した形で表してください。
No.4862 - 2010/05/05(Wed) 00:13:21
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校2年生]

> log{2}3 - log{3}4 = log{2}3 - 2/log{2}3
>
> の右辺を通分して、その分子を因数分解した形で表してください。

＝（log{2}3）^2-2/log{2}3
=（log{2}3-√{2}）（log{2}3+√{2}）
No.4866 - 2010/05/05(Wed) 07:13:11
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校2年生]

> log{2}3 - log{3}4 = log{2}3 - 2/log{2}3
>
> の右辺を通分して、その分子を因数分解した形で表してください。

＝（log{2}3）^2-2/log{2}3
=（log{2}3-√{2}）（log{2}3+√{2}）/log{2}3
No.4867 - 2010/05/05(Wed) 07:14:12
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たまぴさん、こんにちは。

＞（log{2}3-√{2}）（log{2}3+√{2}）/log{2}3

そうですね。その通りです。

ここで log{2}3-√{2} 以外はどちらも正ですので、結局 log{2}3 と √{2} の大小を比べればよいですね。
ところがこのふたつを比べようとすると、3 と 2^√{2} （2のルート2乗）の大小を比べなければなりませんね。
お分かりでしょうか。

そこで、√{2} = 1.4142……　に近い 1.5 = 3/2 と比べてみましょう。
つまり、3 と 2^{3/2} のどちらが大きいかということなんですが。
どうでしょうか。
No.4869 - 2010/05/05(Wed) 12:26:00
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校2年生]
なるほど。
ということは、log{2}3>log{2}2^√{2}なので、log{2}3-√{2}>0
つまり
　　　（log{2}3-√{2}）（log{2}3+√{2}）/log{2}3>０ということなので、

log{2}3>log{3}4>log{4}2でいいですか？
No.4876 - 2010/05/05(Wed) 22:18:36
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たまぴさん、こんばんは。

その通りです。
ただ、たまぴさんがどういう経緯でその不等式を出されたのか定かでないのですが、
大丈夫ですよね？
No.4879 - 2010/05/05(Wed) 23:10:30
☆ Re: / たまぴ ♂ [近畿] [新高校１年生]
こんばんわ。

理解できました。

また機会があれば、そのときはよろしくお願いします。
No.4888 - 2010/05/06(Thu) 22:06:23
★ (No Subject) / リブ ♂ [関東] [新高校3年生]
実数x・yは４x2＋４y2＋７ｘｙ＋ｘ＋ｙ−１＝０を満たしているとする。
このとき　u＝ｘ＋ｙ　および　ｖ＝ｘｙ　のとりうる値の範囲を求めよ。

１）ｖをｙで表すと、ｖ＝　□　である。また、u　のとりうる値の範囲は、□　である。

２）ｖのとりうる値の範囲は　□　である。

の　□　を教えて下さい。宜しくお願いします。
No.4865 - 2010/05/05(Wed) 02:49:05
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
リブさん，こんにちは．londontrafficと申します．
上にある【書きこまれる方へのお願い】はお読みになりましたか？
お読みになったのなら，その旨カキコしてください．
よろしくお願いいたします<(_ _)>
No.4868 - 2010/05/05(Wed) 07:49:35
★ (No Subject) / ABCDE [新高校１年生]
数研出版の「サクシード　数学?T＋A」の１８ページ２７番（２）の問題です。　　　　不等式２X＋a＞５（X-1）を満たすXのうちで、最大の整数が４である時、定数aの値の範囲を求めよ。という問題です。自力で７＜aまではわかりました。　　　　　　　　　　　でも解答は７＜a≦１０となっています。　　なぜ１０以下という範囲がでるのかわかりません。教えてください。
No.4853 - 2010/05/02(Sun) 21:47:09
☆ Re: / ブルボン [大学生]
不等式を整理すると x<(a+5)/3 となりましたよね.
また 4<(a+5)/3 から 7<a なわけですが,この条件だけだと
a=19 も問題の条件を満たすわけですが,実際に代入してみると
x<8 で 最大の整数は 7 になってしまいます.
ですから,aの範囲は上からもおさえられるはずです.

で,本題ですが, M=(a+5)/3 として
x<M を満たす x のうちで最大の整数が 4 であるには
4<M は分ったんですよね?
これに加えて M≦5 というのは分りますか?
No.4854 - 2010/05/02(Sun) 23:11:28
★ (No Subject) / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
こんばんは。日々お世話になっています。下記問題について質問です。

（問）
国際的な競技会が開催された．世界中から1000 人の競技者が集まり，多くの種目で競
い合った．各種目の成績上位者には，金メダル，銀メダル，または銅メダルが授与された．
種目によっては，複数の人が同じ種類のメダルを授与されることもあった．また，複数の
種目に参加する競技者もいた．メダルを獲得した競技者を調べてみたところ，3 種類のメ
ダルすべてを獲得した人は1 人もいなかったが，2 種類以上のメダルを獲得した人は24
人いて，このうち，金メダルを含む人は12 人，銀メダルを含む人は17 人いた．残念なが
ら何のメダルもとれなかった競技者は814 人だった．さらに，金メダルだけをとった人の
数は，銀メダルをとった人の数より27 人少なく，また，銅メダルをとった人の数のちょ
うど40％だった．このとき，銀メダルと銅メダルの両方をとった人の数を求めよ．また，
金メダルをとれなかった人の数を求めよ． (慶応義塾大)

n（A∩B∩C）＝0,　n（bar｛A∪B∪C｝）＝814　は読み取ることができました。しかし、ここまでしか分かりません。教えてください。
No.4824 - 2010/04/29(Thu) 20:47:18
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
全体集合U, その部分集合A, B, Cからなるベン図を添付しますので、
図中の各エリアの集合がどのように表現されるかをまず把握して下さい。

例として、?FはA∩B∩C，?Gは(notA)∩(notB)∩(notC)またはnot(A∪B∪C)
となります。
(勝手ながら、集合Aの補集合をnotAで表しています。)

なお、図中の各エリアの集合はすべて(AかnotA)∩(BかnotB)∩(CかnotC)の形で表せます。

その後、競技者全体, 金メダル獲得者, 銀メダル獲得者, 銅メダル獲得者の集合を
それぞれU, A, B, Cとおいて、

「3種類のメダルすべてを獲得した人は1人もいなかったが，2種類以上のメダルを獲得した人は24人いて，
　このうち，金メダルを含む人は12人，銀メダルを含む人は17人いた．」の部分から、

n(A∩B∩C)＝0,
n(□∩□∩□)＋n(□∩□∩□)＋n(□∩□∩□)＋n(A∩B∩C)＝24,
n(□∩□∩□)＋n(□∩□∩□)＋n(A∩B∩C)＝12,
n(□∩□∩□)＋n(□∩□∩□)＋n(A∩B∩C)＝17

という4つの関係式をつくって連立方程式を解くことにより、
「銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数」を求めることができます。

まずはここまでできるだけ考えてみて下さい。
No.4831 - 2010/04/30(Fri) 22:44:57
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
おむすびころりん様　回答ありがとうございます。
ベン図があることでいっそうよく分かりました。

私もおむすびころりん様のように補集合AをnotAと表すことにします。
n（A∩B∩C）＝0
n（A∩B∩notC）+n（notA∩B∩C）+n（A∩notB∩C）+n（A∩B∩C）＝24
n（A∩B∩notC）+n（A∩notB∩C）+n（A∩B∩C）＝12
n（A∩B∩notC）+n（notA∩B∩C）+n（A∩B∩C）＝17
でよろしいのでしょうか。
もし、あっているならば、この先どのように連立方程式を立てればいいのでしょうか。
No.4832 - 2010/05/01(Sat) 09:10:44
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> n（A∩B∩C）＝0
> n（A∩B∩notC）+n（notA∩B∩C）+n（A∩notB∩C）+n（A∩B∩C）＝24
> n（A∩B∩notC）+n（A∩notB∩C）+n（A∩B∩C）＝12
> n（A∩B∩notC）+n（notA∩B∩C）+n（A∩B∩C）＝17
> でよろしいのでしょうか。
> もし、あっているならば、この先どのように連立方程式を立てればいいのでしょうか。

ベン図の?@から?Gまでの確認はしなくても大丈夫なようですね。

窓達さんが書いた式は、全部きちんと合っています。

これら4つの式全部が連立方程式です。
ベン図を用いると、4つの方程式は次のように言いかえられます。

例:n(A∩B∩C)を、勝手に「?F」で代用します。
(適切な表現方法とは言い難いですが、こちらの方がわかりやすいかもしれません。)

?F＝0
?C＋?D＋?E＋?F＝24
?C＋?E＋?F＝12
?C＋?D＋?F＝17

4つの方程式からなる連立方程式はどうやって解くのだろうと思うかもしれませんが、
中学校2年で習っている(と思う)加減法や代入法で解くことができます。

?F(＝n(A∩B∩C))＝0なので、これを残りの3つの方程式に代入すると、

?C＋?D＋?E＝24
?C＋?E＝12
?C＋?D＝17

となります。代入法で計算を続けてもかまいませんが、
この3つの方程式について加減法で、
ある方程式＋ある方程式−ある方程式を計算すると、?Cが求まります。
そうすると後は代入法で?Dと?Eを求めることができます。

?C(＝n(A∩B∩notC)), ?D(＝n(notA∩B∩C)), ?E(＝n(A∩notB∩C))を求めてみて下さい。

連立方程式を解くと、「銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数」は、丸…＋丸…の値となります。
(ベン図を見て考えて下さい。)
No.4833 - 2010/05/01(Sat) 11:03:31
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
丸4をx、丸5をy、丸６をzと置き換えて計算してみたところ、
（x,y,z）=（5,12,7）になりました。
銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数は、
丸5+丸7より、　12人です。　　　　←これであってますか?
No.4835 - 2010/05/01(Sat) 21:21:34
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> ?Cをx、?Dをy、?Eをzと置き換えて計算してみたところ、
> （x,y,z）=（5,12,7）になりました。
> 銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数は、
> ?D+?Fより、　12人です。　　　　←これであってますか?

?C, ?D, ?E, 銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数、いずれも正解です！

窓達さん、一旦確認させて下さい。
「?C, ?D, ?E, ?D＋?F」
上の行の「」の中の丸数字はそちらの環境では読めますでしょうか？
読めるようでしたら、丸数字の文字を使用していきたいと思います。

一応、今までの内容を解答としてまとめますと、
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
競技者全体, 金メダル獲得者, 銀メダル獲得者, 銅メダル獲得者の集合をそれぞれU, A, B, Cとおくと、
「3種類のメダルすべてを獲得した人は1人もいなかったが，2種類以上のメダルを獲得した人は24人いて，
　このうち，金メダルを含む人は12人，銀メダルを含む人は17人いた．」ので、
n(A∩B∩C)＝0, 　　←　　?F＝0
n(A∩B∩notC)＋n(notA∩B∩C)＋n(A∩notB∩C)＋n(A∩B∩C)＝24, 　　←　?C＋?D＋?E＋?F＝24
n(A∩B∩notC)＋n(A∩notB∩C)＋n(A∩B∩C)＝12, 　　←　?C＋?E＋?F＝12
n(A∩B∩notC)＋n(notA∩B∩C)＋n(A∩B∩C)＝17となり、　　←　?C＋?D＋?F＝17
これら4つの関係式より、
n(A∩B∩notC)＝5, n(notA∩B∩C)＝12, n(A∩notB∩C)＝7, n(A∩B∩C)＝0となるので、　　←　?C＝5, ?D＝12, ?E＝7, ?F＝0
「銀メダルと銅メダルを両方獲得した競技者の人数」は、
n(B∩C)＝n(notA∩B∩C)＋n(A∩B∩C)＝12＋0＝12人である。　　←　?D＋?F＝12
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

窓達さん、引き続き以下の2つの記述から少し計算をしてみて下さい。
「世界中から1000 人の競技者が集まり，多くの種目で競い合った．」,
「何のメダルもとれなかった競技者は814 人だった．」より、
n(□)＝1000, n(notA∩notB∩notC)＝n(not(A∪B∪C))＝814(窓達さん作成済み)なので、
n(A∪B∪C)＝…(計算)＝…(数字)
また、この結果は、ベン図ではどのエリア(該当エリア全て)の人数を表すのでしょうか？
No.4836 - 2010/05/01(Sat) 22:02:50
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
すみません。先の書き込みは記述に誤りが何か所かありましたので、修正を加えています。

また、窓達さんの環境で丸数字の使用もOKと投稿(No.4838)いただきましたので、
本問にかかる今までの投稿を丸数字を使用したものに修正しました。
No.4837 - 2010/05/01(Sat) 22:14:53
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
丸数字の文字も普通にOKです。
No.4838 - 2010/05/01(Sat) 22:52:11
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
n（U）＝1000　なので、
ｎ（A∪B∪C）＝ｎ（U）-ｎ（not（A∪B∪C）
　　　　　　 ＝1000-814　
　　　　　　 ＝186
ベン図では、?@,?A,?B,?C,?D,?E，?F　を指している　　これでいいですか?
No.4840 - 2010/05/02(Sun) 08:35:43
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> n（U）＝1000　なので、
> ｎ（A∪B∪C）＝ｎ（U）-ｎ（not（A∪B∪C）
> 　　　　　　 ＝1000-814　
> 　　　　　　 ＝186
> ベン図では、?@,?A,?B,?C,?D,?E，?F　を指している　　これでいいですか?

窓達さん、合っています！　考え方もきちんとしています。

この問題のもう1問はこれが必要になります。

けれど、n(A∪B∪C)＝186を一旦脇に置いといて、もう少し考えてもらいます。

「金メダルだけをとった人の数は，銀メダルをとった人の数より27 人少なく，
　また，銅メダルをとった人の数のちょうど40％だった．」という内容から、
以下の2つの関係式を作って下さい。

n(□∩□∩□)＝n(□)−27,
n(□∩□∩□)＝n(□)×□　　←　右端の□は分数または小数です。

2つの式ができましたら、どちらの式もn(□)＝…(式)という形に書きかえましょう。
No.4841 - 2010/05/02(Sun) 09:53:16
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
ｎ（A∩notB∩notC）＝ｎ（B）-27
ｎ（A∩notB∩notC）＝ｎ（C）×2/5
よって、
　　　ｎ（B）-27＝ｎ（C）×2/5　　　　ですか
No.4842 - 2010/05/02(Sun) 10:03:58
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> ｎ（A∩notB∩notC）＝ｎ（B）-27
> ｎ（A∩notB∩notC）＝ｎ（C）×2/5
> よって、ｎ（B）-27＝ｎ（C）×2/5　　　　ですか

最後の式はちょっと違います(勿論、式自体は誤りではありません。)が、
前の2つの関係式が合っていますので、引き続き進めることにしましょう。

n(A∩notB∩notC)＝n(B)−27, n(A∩notB∩notC)＝n(C)×2／5より、
n(B)＝n(A∩notB∩notC)＋27, n(C)＝5／2×n(A∩notB∩notC)となります。

ここで、もう1つ、「問題文に直接表れていない関係式」が必要になります。

n(A∩notB∩notC), n(B), n(C), n(□∩□)を使って、
n(A∪B∪C)＝…(式)　という式を作って下さい。

ヒント1
ベン図で、n(A∪B∪C)が表すエリアとn(A∩notB∩notC), n(B), n(C), n(□∩□)が表すエリアを考えるといいでしょう。
ヒント2
3つ足して1つ引きます。(これは大ヒントかも?)
No.4843 - 2010/05/02(Sun) 10:39:23
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
ｎ（A∪B∪C）＝n(A∩notB∩notC)+ｎ（B）+ｎ（C）-ｎ（B∩C）　になります。
No.4844 - 2010/05/02(Sun) 10:57:52
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> ｎ（A∪B∪C）＝n(A∩notB∩notC)+ｎ（B）+ｎ（C）-ｎ（B∩C）　になります。

窓達さん、OKです。この関係式が2つ目の答えを出すためのPointです!

さて、材料がほぼ揃いました。

n(A∪B∪C)＝n(A∩notB∩notC)＋n(B)＋n(C)−n(B∩C)　に、

n(A∪B∪C)＝186, n(B)＝n(A∩notB∩notC)＋27, n(C)＝5／2×n(A∩notB∩notC), n(B∩C)＝12(1つ目の答え)を代入してみて下さい。

n(A∩notB∩notC)についての方程式ができ、これを求めることができると思います。

n(A∩notB∩notC)を求めることができたら、
問題文から作成した、n(A∩B∩notC)＋n(A∩notB∩C)＋n(A∩B∩C)＝12がありますので、
n(A)の値がわかるはずです。そうすると、2つ目の答えもきっと…。

さあ、2つ目の答えまで突き進んでみましょう。
No.4845 - 2010/05/02(Sun) 11:15:42
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
計算が分からなくなりそうなので　n(A∩notB∩notC)=x　と置き換えると、
186＝ｘ+ｘ+27+2/5ｘ-12　より、
ｘ＝285/4　　＝71.25　となったのですが、これでいいのでしょうか。
これを四捨五入し、71と置いたら、
71+12＝83
　金メダルを取った人数は　83人
No.4846 - 2010/05/02(Sun) 11:47:25
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> 計算が分からなくなりそうなので　n(A∩notB∩notC)=x　と置き換えると、
> 186＝ｘ+ｘ+27+2/5ｘ-12　より、
> ｘ＝285/4　　＝71.25　となったのですが、これでいいのでしょうか。
> これを四捨五入し、71と置いたら、71+12＝83　金メダルを取った人数は　83人

1か所だけ修正して計算し直すと、2つ目の答えまでたどり着くかと思います。

> 186＝ｘ+ｘ+27+2/5ｘ-12
の「2/5」が違っています。

n(A∩notB∩notC)＝n(C)×2／5より、n(C)＝5／2×n(A∩notB∩notC)となっています。
No.4847 - 2010/05/02(Sun) 12:09:11
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
あれ？　ホントですね。　正反対になっていました。
186＝ｘ+ｘ+27+5/2ｘ-12 より、
ｘ＝38
よって、38+12＝50　金メダルを取った人数は50人ですね。
No.4849 - 2010/05/02(Sun) 16:01:18
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
あれっ、後半の説明に丸数字を全然使いませんでしたね。

> 金メダルを取った人数は50人ですね。

窓達さん、ここまでたどり着きましたね。

ちなみに、求めるのは、「金メダルをとれなかった人の数」です。

1つ目の問いの内容と同様に、2つ目の問いの内容を解答としてまとめておきます。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「世界中から1000 人の競技者が集まり，多くの種目で競い合った．」,
「何のメダルもとれなかった競技者は814 人だった．」より、
n(U)＝1000, n(notA∩notB∩notC)＝n(not(A∪B∪C))＝814なので、　　←　?@＋・・・＋?G＝1000, ?G＝814
n(A∪B∪C)＝n(U)−n(not(A∪B∪C))＝1000−814＝186となり、　　←　?@＋・・・＋?F＝186
「金メダルだけをとった人の数は，銀メダルをとった人の数より27 人少なく，
　また，銅メダルをとった人の数のちょうど40％だった．」より、
n(A∩notB∩notC)＝n(B)−27, 　　←　?@＝?A＋?C＋?D＋?F−27
n(A∩notB∩notC)＝n(C)×2／5なので、　　←　?@＝(?B＋?D＋?E＋?F)×2／5
n(B)＝n(A∩notB∩notC)＋27, 　　←　?A＋?C＋?D＋?F＝?@＋27
n(C)＝5／2×n(A∩notB∩notC)となる。　　←　?B＋?D＋?E＋?F＝5／2×?@
また、n(A∪B∪C)＝n(A∩notB∩notC)＋n(B)＋n(C)−n(B∩C)で、
　　　　　　　↑　?@＋・・・＋?F＝?@＋(?A＋?C＋?D＋?F)＋(?B＋?D＋?E＋?F)−(?D＋?F), 問題文で触れられていない
今までの計算より、n(B∩C)＝12なので、　　←　?D＋?F＝12
n(A∪B∪C)＝n(A∩notB∩notC)＋{n(A∩notB∩notC)＋27}＋{5／2×n(A∩notB∩notC)}−12
　　　　　　＝9／2×n(A∩notB∩notC)＋15＝186が成り立つ。　　←　9／2×?@＋15＝186
この方程式を解くと、n(A∩notB∩notC)＝38となり、　　←　?@＝38
n(A)＝n(A∩notB∩notC)＋{n(A∩B∩notC)＋n(A∩notB∩C)＋n(A∩B∩C)}＝38＋12＝50なので、　　←　?@＋?C＋?E＋?F＝50
「金メダルを獲得できなかった競技者の人数」は、
n(notA)＝n(U)−n(A)＝1000−50＝950人である。　　←　?A＋?B＋?D＋?G＝950
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1つ目の問いは、問題文から関係式を作りさえすれば答えを得ることはできますが、
2つ目の問いは、問題文から関係式を作っただけでは答えを得るのが少し難しいですね。

この時期の高校1年生が解くには、難しい問題だったかと思いますが、
この問題はきっと集合についての復習になったのではないかと思います。
集合を考える上で、ベン図を使うと考えやすくなる事の再確認にもなったかと思います。

窓達さんの高校生活3年間が充実しますよう、応援しています。
No.4850 - 2010/05/02(Sun) 17:03:00
☆ Re: / 窓達 ♂ [関東] [新高校１年生]
金メダルを獲得できなかった競技者の人数は
n（U）−ｎ（A）＝1000-50　＝950人　ですよね。

この問題は、確かに、集合の復習になりました。
これからも質問していくと思いますが、よろしくお願いします。
分かりやすい、ていねいな解説、ありがとうございました。
No.4852 - 2010/05/02(Sun) 20:47:51
★ 図形と計量平面図形 / ラウ「 [浪人生]
はじめまして、浪人生ラウと申します。
（図が載せられなく説明しにくいのですが、すいません。問題は河合2010マーク式総合問題集数学?TA第8回目からです）
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝90°、ＡＢ＝ＣＤ＝2√２である二つの直角二等辺三角形ＯＡＢ、
ＯＣＤが図のうようにかさなっている。
辺ABと辺CDの交点をEとし。∠BOC＝θとする。
四角形ACBDの外接円の半径は２であり、
∠CAD＝∠BDA＝□°という問題なのですが、
解説で、円周角と中心角の関係により、∠CAD＝1/2∠CODと書いてあるのですが、円周角と中心角定理は中心角は円周角の2倍になる。と参考書には書いてあるのですが、自分自身で図を書いても、∠CADは円周角で∠CODは中心角という事になりますが、理解できません。大変長くなりましたが、教えてくださいよろしくお願いします。
No.4814 - 2010/04/28(Wed) 00:18:08
☆ Re: 図形と計量平面図形 / londontraffic [教育関係者]
ラウさん，はじめまして．londontrafficと申します．
図ですが，携帯で撮影したものでも結構ですよ．

さて，私が想像したのは下の図の左側です．
いらない線を消したのが右側ですが，いかがですか？
No.4817 - 2010/04/28(Wed) 06:57:47
☆ Re: 図形と計量平面図形 / ラウ [浪人生]
返信が大変遅くなり申し訳ありません！
図はそうです。その図の中で円周角と中心角の定理にどう当てはめたらいいかわかりません。教えてください。よろしくお願いいたします！！
No.4848 - 2010/05/02(Sun) 13:12:03
☆ Re: 図形と計量平面図形 / londontraffic [教育関係者]
>∠CAD＝∠BDA＝□°という問題なのですが、
の□は45が当てはまります．
>その図の中で円周角と中心角の定理にどう当てはめたらいいか
∠CADが円周角で∠CODが中心角です．

申し訳ありませんが，ラウさんが何を尋ねてるのか私には分かりません．教えてください．
No.4851 - 2010/05/02(Sun) 20:07:17
★ (No Subject) / nana [新高校3年生]
はじめまして。高３のnanaと申します！証明で分からないところがあったので質問させて下さい。
問題：△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD、辺BCの中点をMとする。３点A、D、Mを通る円がAB、ACと交わる点をそれぞれE、Fとするとき、BE＝CFであることを証明せよ。

BA・BE＝BD・BM―?@
?@においてBE＝BD・BM／BA―?A
CA・CF＝CM・CD―?B
?BにおいてCF＝CM・CD／CA―?C
ADは∠Aの二等分線なのでBD：DC＝AB：AC
よってAB・DC＝AC・BD―?D

ここまでは出来たのですが・・・分かりません。
よろしくお願いします！！
No.4809 - 2010/04/24(Sat) 22:27:50
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。ルイと申します。

>ここまでは出来たのですが・・・分かりません。

むしろ，ここまで出来る実力があれば，解けると思いますよ。

(5)式の両辺をAB・AC(≠0)で割ると，　DC/AC＝BD/AB　が得られますね。
一方，(2)式は　BE＝BM×(BD/AB)　(3)式は　CF=CM×(CD/AC)　ですね。
ここで，MはBCの中点なので…

これで分からなければ，もう一度，書き込んでください。

※○の中に数字が入ったものは，「機種依存文字」と呼ばれるもので，環境により表示できませんので，今後は使用しないよう注意してください。
No.4810 - 2010/04/25(Sun) 02:21:37
☆ Re: / nana [新高校3年生]
分かりました！
でもなぜAB・ACで割ってもいいんですか？？
No.4811 - 2010/04/25(Sun) 07:34:44
☆ Re: / ルイ ♀ [大学生]
こんばんは。

>でもなぜAB・ACで割ってもいいんですか？？

では，逆に質問しますが，どうしてAB・ACで割ってはいけないと思うのでしょうか？

(5)式は普通の文字式ですよね？両辺を同じ数や文字(≠0)で割っても問題はありません。

(もしかすると，「・」記号をベクトルの内積の記号と混同されているのでしょうか？確かに内積の「・」記号の場合は，今回のような変形はできませんが，この質問における「・」は「×(かける)」と同じ意味ですね。)
No.4812 - 2010/04/25(Sun) 19:49:45
☆ Re: / nana [新高校3年生]
返信が遅くなってすみませんでした。
文字式の場合は割ってもいいんですね。
勘違いしてました！

ありがとうございました。
またなにかあったとき利用させてもらいます。
No.4818 - 2010/04/28(Wed) 18:28:35
★ 指数・対数について / みー ♀ [新高校3年生]

こんばんは。いつもお世話になっております。

質問なのですが、問題と解答は
画像のとおりです。

わからないのはオレンジの下線部分なのですが、
t=1で最大値をとる理由がわかりません。
ふつうに頂点(x=3/4)で最大値をとる、と
考えてはいけないのでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.4813 - 2010/04/27(Tue) 20:51:49
☆ Re: 指数・対数について / londontraffic [教育関係者]
みーさん，こんばんは．

頂点(x=3/4)が定義域（t ≧1）内にあれば，みーさんの仰るとおりになりますね．
どうですか？
No.4815 - 2010/04/28(Wed) 04:11:17
☆ Re: 指数・対数について / みー

あ、域外ですね(;･_･)

ものすごく初歩的な
間違いでした。

ありがとうございました。


No.4816 - 2010/04/28(Wed) 04:24:22
★ (No Subject) / kei [浪人生]
こんばんはいつもお世話になっています。

質問です　

| x | が十分０に近い時、ｘ＾3−ｘ＾2の大部分は　-ｘ＾2である。

このことがわかりません。　よろしくお願いします。
No.4799 - 2010/04/17(Sat) 21:01:21
☆ Re: / kei [浪人生]
質問の仕方が悪かったので補足します。
数標?VC　標問30の精講で説明されている箇所です。

お願いします。
No.4801 - 2010/04/18(Sun) 08:08:44
☆ Re: / kei [浪人生]
追加です。
No.4802 - 2010/04/18(Sun) 08:10:10
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
kei さん、こんにちは。河童です。

これは、0 に近づけば近づくほど、-x^2 に比べて x^3 の方が（絶対値が）無視できるほど小さいという意味です。
-x^2 + x^3 として計算した方が分かりやすいと思います。
例えば、x = 10 のとき、

-100 + 1000

で、+ 1000 の部分が x^3 の値で、-x^2 と -x^2 + x^3 との誤差にあたりますね。
この誤差は大きいですよね。
ところが、x = 0.000001 くらいになると………

-x^2 + x^3 = -x^2 ( 1 - x )

と変形してみると、x がどんどん 0 に近づいていくと括弧の中がどんどん 1 に近づき、
-x^2 に近づくことが分かりますね。
x^3 の存在が無視できるようになるわけです。

喩えて言えば、財布に１２０円しかないとき、１０円玉１枚の存在は大きいですよね。
ジュースが買えなくなりますから＾＾
でも、一億持っている人には、１０円玉１枚くらいは屁でもないでしょう。
そんなイメージですね。
No.4803 - 2010/04/18(Sun) 11:07:30
☆ Re: / kei [浪人生]
> -x^2 + x^3 = -x^2 ( 1 - x )

＞　と変形してみると、x がどんどん 0 に近づいていくと括弧の中がどんどん 1 に近づ
＞　き、-x^2 に近づくことが分かりますね。

こうやって変形すると、当然のことだと思えました。独学だとちょっとしたことで躓いて
しまいます。

ありがとうございました。
No.4805 - 2010/04/18(Sun) 19:36:01
★ (No Subject) / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
はじめまして。この春大学入試に落ち、ただいま浪人中のｽﾀﾞﾙｶと申します。よろしくお願いします。
青チャート数学?V+Ｃの27ページ、総合演習第一章の２番を質問させてください。

問題文
「y=f(x)=√{x-1}+1の逆関数をy=g(x)とすると、g(x)=(空欄ア)である。いま、不等式y≦f(x)とy≧g(x)を同時に満たす点(x,y)の集合をＭとし、x、yによって定まる値Ｆ(x,y)=ay+bxの最小値を求める。
(1)a=0のとき、b＞0なら最小値は(空欄イ)、b＜0なら最小値は(空欄ウ)。
(2)a＞0のときb/aが不等式(空欄エ)を満たすならば、x=x0 (1＜x0＜2)に対してF(x,y)は最小値をとる。例えば、a=(空欄オ)、b=(空欄カ)のとき、x=5/4、y=(空欄キ)において、F(x,y)は最小値7/8をとる。」
※問題文(2)のx0というのはxの右下に小さい0が付いており、番号をふったものと思われます。

空欄ア、および(1)までは難なく解答できたのですが、(2)のほうは空欄エで詰まり、解答を読んでみたら「ay+bx=kとおき、y=-bx/a+k/aの傾き-b/aが0＜-b/a＜g´(2)　すなわち-2＜b/a＜0を満たすときkは最小値をとる」というのが理解できず、止まってしまいました。また｢ay+bxが最小値をとる」という事をどうグラフ的にイメージしたらいいかも教えていただきたいです。

数学は苦手意識を持ってしまっている教科なので、克服できるよう一つ一つ理解を重ねていきたいと思います。よろしくお願いします。
No.4716 - 2010/04/06(Tue) 20:12:47
☆ Re: / kinopy [塾講師]
ｽﾀﾞﾙｶ永森さん，はじめまして。kinopyです。
今年こそ目標の大学に合格できるといいですね。頑張ってください！

さて，ご質問の内容は数学3というより，数学2ですね。

> ｢ay+bxが最小値をとる」という事をどうグラフ的にイメージしたらいいかも教えていただきたいです。

http://lykeion.info/keijiban-pdf/ryoiki-max.pdf
をご覧ください。分かりにくい個所があれば，その旨書き込み願います。

pdfの内容が分かれば，再度青チャートに取り組んでみてください。
No.4724 - 2010/04/08(Thu) 04:57:48
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
kinopy先生、pdfのほう拝見させていただきました。類題を探してもなかなか見つけられなかったので大変役に立ちましたm(_ _)m有難うございます。
pdfの問題は理解できたのですが、チャートの問題のようにa,bといった文字が入った場合、どのように扱えばよいのでしょうか？
No.4728 - 2010/04/08(Thu) 09:49:25
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

> チャートの問題のようにa,bといった文字が入った場合、どのように扱えばよいのでしょうか？
う〜ん…文字が入っても考えることは同じなんですよ(^_^;)

a>0のとき
y=-bx/a+k/a　が領域と共有点をもつときのy切片 k/a が最小になるときにkは最小です。

まずはa,bは気にせずに図で行きましょう。
テキトーに直線を書いて，領域と直線が共有点をもつとき，y切片が最小になるのはどのような直線になってますか？

また，直線の傾きによって「どのような直線」という答えが変わってくると思いますが，それはわかりますか？
No.4746 - 2010/04/10(Sat) 00:08:34
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
y切片が最小になるのは･･･y=-bx/a+k/aとg(x)が接するような直線のときだと思います。
直線の傾きによって答えが変わるというのはどういうことでしょうか？／(＞＜)＼
No.4751 - 2010/04/10(Sat) 15:26:41
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

> y切片が最小になるのは･･･y=-bx/a+k/aとg(x)が接するような直線のときだと思います。
ありがとうございます。
最適な答えです^^

> 直線の傾きによって答えが変わるというのはどういうことでしょうか？／(＞＜)＼
この種の文字係数の問題をやった経験がないと気づかないですが，下記のPDFを見てください。
http://lykeion.info/keijiban-pdf/ryouiki-max-toi.pdf

ｽﾀﾞﾙｶ永森さんのイメージされた y=-bx/a+k/a の傾きは，1つ目の図のようなものだと思います。
しかし，傾き-b/aが急になると下の図のような傾きになりますね。

y=g(x)と接するときを書いてみると，図のように領域の外で接します。
この場合は(2,2)を通る時が最小と言うことになります。


さて，ｽﾀﾞﾙｶ永森さんに再質問ですが，今の所，PDFの上のように「接するときが最小」下のように「(2,2)を通る時が最小」と2通り出てきましたが，「傾きが○○より小さい時は接するとき最小で，○○より大きい時は(2,2)を通る時が最小」ということはOKですね？

○○は求められますか？
No.4755 - 2010/04/11(Sun) 00:00:07
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
接していて、傾きが一番大きくなるなら、領域の端のところで傾きがg´(2)=2のときでしょうか･･･？
No.4784 - 2010/04/12(Mon) 22:49:11
☆ Re: / kinopy [塾講師]
お〜正解です！！(*^_^*)

文字係数の場合は，このように傾きによって最小になる状況が変わってくるのです。

さて，青の問題からはさらに離れますが…(^^ゞ
・接するときが最小
・(2,2)を通る時が最小

という2つの場合が今挙がっています。
他のケースはないですか？




なお，チャートの問いについては，もうすでに解ける準備はできていますので取り組んでみてくださいね。
No.4788 - 2010/04/13(Tue) 03:45:46
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
他のケースというと･･･x軸やy軸に平行なときですか？
No.4790 - 2010/04/13(Tue) 20:50:02
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

> x軸やy軸に平行なときですか？
う〜ん，y軸に平行な場合はb=0のときですから，また別に考える必要がありますが…
x軸に平行な時（傾きが0のとき）も最小になるのは「接するとき」ですから，既に考えています。

直線の傾きが負の時はどうでしょうか？
No.4793 - 2010/04/13(Tue) 23:29:07
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
傾きが負で切片が最小になるなら、グラフの左端である(1,1)を通るときでしょうか？
No.4797 - 2010/04/16(Fri) 23:16:05
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

OKです。

問題の穴埋めを無視して，y切片の最小値を求める場合なら場合分けは
i)　傾き<0のとき，(1,1)を通る時最小
ii) 0≦傾き≦2のとき，g(x)と直線が接するとき
iii)傾き>2のとき，(2,2)を通る時

の３通りの場合分けが必要。
と言うことになります。

これで，チャートの問題に取り組むか解答を見れば納得できると思いますがいかがでしょうか？
No.4800 - 2010/04/18(Sun) 04:15:08
☆ Re: / ｽﾀﾞﾙｶ永森 ♂ [東北] [浪人生]
非常にすっきりとわかりました。どうも有難うございました。
図まで付いた丁寧な解説、しかも深夜遅くまで本当にお疲れ様です。くれぐれもお体も大事になさってください。
それではまたわからない問題があったときはよろしくお願いします。本当に有難うございました。
No.4804 - 2010/04/18(Sun) 18:12:35
★ (No Subject) / 七海

はじめまして
七海といいます。

夜遅くにゴメンなさい?ﾐ?ｬ
わからなくて困ってます?ﾓ
指数関数についての問題です。

問題：

実数xに対して、t=2^x+2^-x、ｙ=4^x-6･2^x-6･2^-x+4^-xとおく｡

(１)xが実数全体を動くとき、tの最小値を求めなさい。

(2)ｙをtの式で表しなさい｡

(3)xが実数全体を動くとき、ｙの最小値を求めなさい。
という問題です。

解き方がわからなくて困ってます?ﾓ?ｬ

わかる方は解答・解説お願いします?ﾐ?ｩ
No.4796 - 2010/04/15(Thu) 23:29:57
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
七海さん，こんにちは．londontrafficと申します．
ご質問を見ると「全く手が出ない」状況のようですが，(3)までやるにはかなりの時間がかかりそうです．

まず(2)から始めた方が良さそうなので，(2)からいきましょう．
t^2がちゃんと計算出来ると，(2)はあっという間に終わります．
t^2を計算してみてください．できなかったら，その旨カキコしてください．
あと，学年を教えてください．
No.4798 - 2010/04/17(Sat) 10:17:38
★ (No Subject) / 槇 [新高校3年生]
この前も質問したのに申し訳ないです。
こんばんは。

進研模試2009年度11月模試です。高校２年のものです。

画像をごらんになってもらいたいのですが
四面体apmqがあってｐから垂線ｈをひきます。
そうすると四面体の高さになると思うのですが
もし平面acd上(acdを伸ばしていく？)にｈ´をとるとすれば
これも四面体の高さになるでしょうか？

よろしくお願いします。
No.4744 - 2010/04/09(Fri) 22:00:35
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。河童です。

立体図形は見にくいためにお気持ちは分からないでもないのですが、
残念ながら点 H' は平面ACD上にとることはできません。
つまり、槇さんが書かれた H' という点は、PH'⊥ACD ではないのです。
というのも、既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。
直線 L と平面 α とが垂直であることの定義は、直線 L と平面 α との交点を通る平面α上のすべての直線と L とが直交することです。
もし、槇さんの H' が垂線の足だとすると、直線 HH' と 直線 PH' が直交するはずです。
ところが、直線 PH も 直線 HH' と直交するのですから、これでは△PHH'の内角のふたつが直角になってしまいますよね。
お分かりでしょうか。
No.4748 - 2010/04/10(Sat) 01:57:13
☆ Re: / 槇 [新高専3年生]
河童先生返信どうもありがとうございます。
いまいちよくわかりません。


既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。

とありますが私の書き方が悪かったのですがHをとった場合。
H´をとった場合と分けて考えました。
問題を考えるときにHをひかなければいけないことは分かったのですが
じゃあHをひかなければ同じ面だしH´はとれるんじゃないかと思ったんです。

例えば体積の問題で高さを調べるときはその立体のそとに高さのしるし
I←のようなものをかきますよね？

だから平面AMQと平面ACDは同じ平面ならば、Hを高さにする場合orH´を高さに
する場合があるのではないでしょうか？

そして線分ｐｈとｐｈ´の長さは等しくなって
ｐｈ´は四面体apmqの高さにはならないでしょうか？

もちろんそのときはHはひかないでおきますが。

文章が下手で申し訳ないです。どうか読み取ってもらいたいです。

よろしくお願いします。
No.4752 - 2010/04/10(Sat) 18:09:32
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

わたしの方こそ文章が分かりにくかったかも知れません。

＞　既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
＞　同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。

この部分は、「点Hがとられているから」点H'がとることができない、
という意味ではなく、
「点Hが垂線の足であるから」他の点は「垂線の足にはなり得ない」
という意味です。

もし、頂点のP以外の点P'を、四面体の外側にPP'と底面が平行になるようにとれば、
槇さんのおっしゃるように、点H'をとることができますが、
槇さんの描かれた図のように、頂点Pから点H以外の点に垂線を引くことはできません。
それは、前回のわたしの回答に書いたように、ひとつの点から２本以上の垂線を引くことはできない、ということです。
その詳しい理由は、前回書いておりますので、もう一度じっくりお読みください。
No.4756 - 2010/04/11(Sun) 00:20:14
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
補足です。
槇さんが描かれた図は、このような状況になっているんですね。
No.4757 - 2010/04/11(Sun) 00:44:05
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生がせっかくしてくださるのに分かりません...

私が問題をかかなかったからかも知れません。

問題

右のような四面体abcdがあり、aｂ＝ac＝8
ad=bd=6√2、cos∠bac=4/5 ∠cad=45°である
辺ACの中点をMとし辺AB上にAC⊥PMとなるように
点Pを辺AD上にAC⊥QMとなるように点Qをとる。

（1）tan∠bacの値を求めよ
また線分PMの長さを求めよ

（2）線分pqの長さを求めよ

（3）点Pから平面ACDに垂線をひき、その交点をHとする
線分PHの長さを求めよ。

（3)の平面acdに垂線のひきかたが分からないんです。
acd上ならそれに続くところにHをとってもいいですか？

添付した画像が本当の問題です。
最初に添付したものは問題を解く過程のものでした
すみません
No.4761 - 2010/04/11(Sun) 12:31:39
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
こっちが本当の画像です
ごめんなさい

よろしくお願いします
No.4762 - 2010/04/11(Sun) 12:36:50
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
追記です

質問というのはこの画像で
acdと同じ面上にHをとっても
底面amqとした時、四面体apmqの体積の高さに
なるでしょうか？

これが聞きたいことです。
何度も申し訳ありません。
No.4766 - 2010/04/11(Sun) 20:20:47
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

たしかに、下の図のように、垂線が外にはみ出ることはあり得ます。

また、

＞（3)の平面acdに垂線のひきかたが分からないんです

ということですが、「引く必要はない」というのがわたしの回答です。
逆に、問題が面倒になればなるほど、垂線が引ける場合はほとんどない、と思ってください。
槇さんが最初に貼られた解説の図には、PH という垂線が引かれていました。
これは単に説明のために引かれているもので、PH の長さを求めるために引かれているものではありません。
解説にも書いてあると思いますが、通常体積を利用して垂線の長さ（高さ）を求めます。
本問の(1)と(2)、それと、AC⊥PM　および　AC⊥QM　がそのための準備になってますね。
No.4773 - 2010/04/12(Mon) 00:19:11
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
図を忘れていました。
No.4774 - 2010/04/12(Mon) 00:22:28
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生図までありがとうございます。
で結局のところacdと同じ面上にHをとっても
底面amqとした時、四面体apmqの体積の高さに
なるでしょうか？

なんども申し訳ないです

お願いします！
No.4775 - 2010/04/12(Mon) 00:55:56
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生の図にアルファベットをうってみました
こうであってますか？

これであってれば私の疑問は解消されるんですが

よろしくお願いします。
No.4781 - 2010/04/12(Mon) 14:58:48
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。
そうですね、その図であってますよ＾＾

ただ、ちょっと誤解されそうなので言っておきますが、本問の場合は解説の図のように△AMQの内部に垂線の足Hがありますから、この図のようにはなりませんよね。
No.4785 - 2010/04/13(Tue) 00:20:21
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
こんばんは　でもこの問題の図はこのスレッドの上から7番目のやつなんです。
もし△amqの内部に垂線の足があったらまずいですね。

私が変な図をはってしまったからごめんなさい。
No.4786 - 2010/04/13(Tue) 00:30:19
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

なるほど！
∠PMQ が鈍角のようですので、たしかに三角形の外部に垂線が引けそうですね。
失礼しました。

ただ、この問題の本質は、垂線の位置を考える必要がないということだとお考えください。
No.4794 - 2010/04/14(Wed) 00:20:08
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
はい分かりました
どうもありがとうございました！！
No.4795 - 2010/04/14(Wed) 16:08:01
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