 | たびたびお世話になります。数学Bの数列の問題です
標準問題精講?UBの[124-3]の問題です
以下問題、解答を記載します
また、数列記号の書き方が分からないので、以下( n , k=1 )Σ(k)を
1,2,3,4,…,n の数列の合計を表す記号として書きます
[124-3]
＜問題＞
a(1),a(2),…a(n) は0または1であるとし, ( n , i=1 )Σa(i)*2^(i-1) の形にあらわされる数を考える.自然数nを固定するとき,このように表される数の全体の集合を S(n) とする.
(1) 50 = ( 8 , i=1 )Σa(1)*2^(i-1) となるような a(1),a(2),…a(n) を求めよ.
(2) a(1)+a(2)+…+a(n) = 1 を満たすような S(n) の要素の和を求めよ.
(3) a(1)+a(2)+…+a(n) = 2 を満たすような S(n) の要素の和を求めよ.
＜解答＞
((1)は答えのみ記述します)
(1)
a(2),a(5),a(6) = 1 それ以外は0
(2)
a(1)+a(2)+…+a(n) = 1 となるのは a(1),a(2),…a(n) のうち1つが1で,
他はすべて0のときである.ここで,a(k)のみ1であるとすると,
( n , i=1 )Σa(i)*2^(i-1) = 2^(k-1)
であるから,求める要素の和は,
( n , k=1 )Σ2^(k-1) = 2^n-1
(3)
a(1)+a(2)+…+a(n) = 2 となるのは a(1),a(2),…a(n) のうち2つが1で,
他はすべて0のときである.ここで,a(k),a(j)のみ1であるとすると,
( n , i=1 )Σa(i)*2^(i-1) = 2^(k-1)+2^(j-1)
となるから,求める要素の和は,
( n , 1≦j＜k≦n )Σ{2^(k-1)+2^(j-1)}
= ( n-1 , j=1 ) Σ [ ( n , k=j+1 )Σ{ 2^( k-1 ) + 2^( j-1 ) } ]…※
= ( n-1 , j=1 ) Σ [ ( n-j ) * 2^(j-1) + 2^j * { 2^(n-j)-1 / 2-1 } ]
= ( n-1 , j=1 ) Σ { 2^n + ( n-j-2 )*2^(j-1) }
= ( n-1 ) * 2^(n) + ( n-1 , j=1 ) Σ ( n-j-2 )2^(j-1)
ここで, ( n-1 , j=1 ) Σ ( n-j-2 )2^(j-1) = T(n-1) とおくと,
T(n-1) = (n-3) + (n-4)*2 + (n-5)*(2^2) + … + (-1)*{2^(n-2)}
2T(n-1) = (n-3)*2 + (n-4)*(2^2) + … + (0)*{2^(n-2)} + (0)*{2^(n-1)}
2式の差をつくると,
-T(n-1) = (n-3) - 2 - 2^2 - … - 2^(n-2) + 2^(n-1)
= n-2-{ 2^(n-1) - 1 / 2-1 } + 2^(n-1)
= n-1
よって,求める和は,
(n-1)*(2^n) - (n-1) = (n-1)(2^n-1) …答
とても読みづらくて申し訳ないです
(1),(2)は自力で解けたのですが,(3)が分かりません
特に,※以降の演算が分かりません
というかまずそもそも※の一つ前の式から何故※になるのかが分かりません
よろしければ教えて下さい。
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No.4709 - 2010/04/05(Mon) 17:22:48
| ☆ Re: 数学B 数列の問題です / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [新高校3年生] | | | | >>kinopyさん
はい！ その節はどうもありがとうございました。
私としても
> ( n , 1≦j＜k≦n )Σ{2^(k-1)+2^(j-1)}
この記号は初めて見たので意味や計算方法などが分かりませんでした。
そうですね…
やはり自分としてもこの記号は訳がわからないし、kinopyさんがおっしゃるならなおさら使うのを避けた方がよさそうな気がします。
ですので、個人的にはこのS(n)の要素の和の求め方を教えて頂きたいです。
なかなか注文が細かくて申し訳ないのですが…
もしよければご教授ください。
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No.4720 - 2010/04/07(Wed) 21:35:52 |
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