 | こんばんは．随分前にも質問させてもらったarcです．
今回は，学校で出された課題プリントについての問題について質問させて下さい．
(答えしか配られておらず，解説はなし)
問題は，
a,b,cは正の定数とする． ax+by+cz=1のとき，
min{x/a,y/b,z/c}の最大値と，そのときのx,y,zの値を求めよ．
という問題なのですが，さっぱり方針が浮かびません．
普段max,minの問題はグラフを書いて，そこから考えるのですが，この問題はグラフをどう書いていいかわかりませんし，文字が多くどうしていいかわかりません．
答えは，
x=a/(a^2+b^2+c^2),y=b/(a^2+b^2+c^2),z=c/(a^2+b^2+c^2)のとき，
最大値1/(a^2+b^2+c^2)
です．
解説どうかよろしくお願いします．
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No.4337 - 2010/02/02(Tue) 06:19:51
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | |  | こんばんは、arcさん。
確かに文字が多いとどうして処理したものか…と悩みますよね。
今回ご質問いただいた問題を解く鍵は、min{x/a,y/b,z/c}の取り扱いです。
今、その最小値が具体的に与えられていないので、とりあえずkとしておきます。
イメージしやすいように、仮にx/a=kとしましょう。
そうすると、残りのy/b,z/cはk以上ですよね。
そのような大小関係と、条件ax+by+cz=1をうまく使って、
kの最大値を求めてみましょう。
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No.4339 - 2010/02/02(Tue) 19:51:43 |
| ☆ Re: / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | 解答有難うございます．
min{x/a,y/b,z/c}=kとすると，
x/a≧k⇔x≧ka⇔ax≧ka^2…?@
y/b≧k⇔y≧kb⇔by≧kb^2…?A
z/c≧k⇔z≧kc⇔cz≧kc^2…?B
ここでax+by+cz=1を利用するため,?@＋?A＋?Bをして
ax+by+cz≧k(a^2+b^2+c^2)
ここでax+by+cz=1より
1≧k(a^2+b^2+c^2),a^2+b^2+c^2＞0より,1/(a^2+b^2+c^2)≧k
ゆえにkの最大値は1/(a^2+b^2+c^2)
ここまではわかりました．しかし，どうやってx,y,zの値を出すのでしょうか？
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No.4340 - 2010/02/02(Tue) 21:50:07 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [高校１年生] | | | | こんばんは。一匹にゃんこです。
最大値の求め方はその通りです。
『どうやってx,y,zの値を出すのでしょうか？』ということですが,
k=1/(a^2+b^2+c^2)となるのは, arcさんが書いてくれている不等式
1/(a^2+b^2+c^2)≧k
において等号が成立しているときですよね。
その不等式を導き出している過程に注意すると、
等号が成立するのがどういうときなのかが分かると思いますが、
それはどういうときでしょうか。
そこからx,y,zの値を考えてみてください。
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No.4341 - 2010/02/03(Wed) 00:40:03 |
| ☆ Re: / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | 不等式からk=x/a=y/b=z/cとは解ったのですが，感覚的にピンと来なかったのでイチから考え直してみました．
x/a=X y/b=Y z/c=Z
とすると，
k≦X ,k≦Y,k≦Zなのだから，
kの最大値はK=N(X,Y,Zの中で最小になるもの…?@)
つまり，このNが最大となるときが，求める最大値である．
ここでX=x/a,Y=y/b,Z=z/c，よりx,y,zの値が大きければ大きいほどそれぞれの値は大きくなる． よって，Nが最大となるようなx,y,zにすればよい．
ここで，ax+by+cz=1,またa,b,cは正の定数より，
仮にXを大きくしようとした場合，必然的にY,Zの値は小さくなる．
よって，X=Y=ZのときNは最大値を取る．…?A
つまり，k=x/a=y/b=z/cより，
x=ka,y=kb,z=kc
あとはkを求めるため，x,y,zを消去すれば良い．
ax=ka^2 ,by=kb^2 , cz=kc^2より
それぞれ加えて ax+by+cz=k(a^2+b^2+c^2)
条件式より
1=k(a^2+b^2+c^2)⇔1/(a^2+b^2+c^2)=k
よってx=ka,y=kb,z=kcのとき最小値k=1/(a^2+b^2+c^2)
∴x=a/(a^2+b^2+c^2) ,y=b/(a^2+b^2+c^2),z=c/(a^2+b^2+c^2)
となる．
これでいいでしょうか？ 理解しつつ解いていったら長くなってしまいましたが…
答えは合いましたが，論理的な部分の自信はあまり有りません．
また，この解法で
?@…具体的な数値のmax,minを扱うときは範囲の場合によって最大，最小の関数が変わるときが有りますが，それを考慮せずX,Y,Zの大小だけ考えましたがそれでいいのでしょうか？
?A…直感的に自明なこととはわかるのですが，論理的にこのことを言うにはどうすればいいのでしょうか？
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No.4343 - 2010/02/03(Wed) 02:44:31 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | おはようございます。一匹にゃんこです。
自分が納得いくまでアプローチを変えながら、１つの問題を探究しようとする、arcさんの今の数学への情熱を大切にしてくださいね。
その姿勢と、?Aのような数学的直感を持ち合わせている(今回の『推論』は多くの問題で有効ですし、問題を解決に導く糸口になります…)arcさんならきっとこれから数学の力は伸びていくはずですから頑張ってください。
ところで、本題ですが…結論から言うと、今回のarcさんの解答では残念ながら証明にはなっていません。
arcさんも気づいているとおり、?Aのarcさんの考えは、あくまでも『推論』でしかなく、書かれている内容ではその推論が本当に正しいものなのか、検証されてはいないのでほんとうに正しいかどうかはこれでは言えていることにはなりません。
また、実際に検証しようとすると、『a>0,b>0,c>0』という条件しかなく, x,y,zに関しては何もありませんよね。せいぜいax+by+cz=1ということであり、x>0,y>0,z>0などの条件があるわけではないですから、少し難しいかもしれません。(?@に関しても同じ理由で、自分の考えがしっかりと問題に適用できるのかは検証が必要です。)
ですから、証明自体は一番最初にarcさんが条件を慎重に扱いながら、不等式を変形し証明した方法がよいのではないかと思いますよ。
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No.4347 - 2010/02/04(Thu) 05:35:50 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | 補足です…。ただ、このような答え方をすると、
せっかくここまでarcさんが考えてきた証明をふいにしかねないので、
私の方もarcさんの納得のいく論証を考えてみますね。
もし、arcさんがこれだ!!ということが思いついたら是非教えてください。
ただ一般的な独立多変数関数の最小値の求め方を紹介しておくと、
?@まず、ｘを変数として、y,zを固定して定数と見る。
つまり, F(x,y,z)=f(x)とおいて, xの関数f(x)の最小値を求める。
min f(x) = m1(x=αのとき)とすれば,m1はy,zの式ですよね。
?A次にyを変数として, zを固定して定数と見て,
m1 = g(y)として,yの関数g(y)の最小値を求めます。
min g(y) = m2(y=βのとき)とすれば, m2はｚの式になりますね。
?B最後に, ｚを変数として,
m2 = h(z)とおいて, ｚの関数h(z)の最小値を求めます。
min h(z)= m3(z=γのとき)とすれば, m3は定数です。
?@,?A,?BからF(x,y,z)=f(x)≧m1=g(y)≧m2=h(z)≧m3(定数)
ができるので, x=α, y=β, z=γ のとき min F(x,y,z)=m3となる
…という流れです。今回使えるかどうか、arcさんの数学的着想の豊かさなら
見つかりそうなので、チャレンジしてみてください。
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No.4348 - 2010/02/04(Thu) 22:02:00 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | たびたびすいません…。
最大値の場合は、基本的にこの流れに沿いながら、最大値を次々に出していけば
よいことになります。
いずれにしても、まだいろいろな数学的手法が考えれるかもしれませんから、今回の
ように自分なりの証明が思いついたら書き込んでみてください。
その中で新たな発見があるかもしれませんから…。
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No.4349 - 2010/02/04(Thu) 22:06:48 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | 三度登場…arcさんの数学への熱意に促されて、いろいろと考える手段を伝えたいと思ったばかりに、今回の問題に必要な肝心な説明をしていませんでした(ごめんなさい)
今回の問題のような、2個以上の変数が与えられた関係を満たす今回のような従属変数の場合のf(x,y,z)の最大値・最小値の問題では,zを固定するのが常套手段です。
例えば、今回の場合, x,yを
ax+by+cz=1 ⇒ ax+by=1-cz (1-czを定数と見る)
を満たす変数として, ２変数x,yの状態でf(x,y,z[定数])を分析する
というのが一般的な手法です。
そこからどう展開できるか…先ほども言いましたが, arcさんの熱意に期待して待っています。
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No.4350 - 2010/02/04(Thu) 22:23:59 |
| ☆ Re: / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | 回答有り難う御座います。
正直ここまで詳しく書いてもらえるとは思っていなくとても嬉しいです。ありがとうございます。
しかし、月曜日・火曜日に学年テストがあり時間が取れないので、火曜日以降に考えてみようと思います。時間が空きますが･･･ごめんなさい。
火曜日以降、自分の考えを書き込もうと思います。
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No.4353 - 2010/02/06(Sat) 01:13:42 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | おはようございます、一匹にゃんこです。
月曜・火曜と学年テストですか…大変ですね。
しっかりと頑張ってください!!(遠く北海道より応援しております！！)
解答の方は自分と向き合いながら、じっくりと考えることが大事ですから…推論⇒検証を繰り返しながら、自分の納得いくまでやってみてください。
いつでも構いませんから…お待ちしております。
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No.4356 - 2010/02/06(Sat) 05:52:45 |
| ☆ Re: / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | 暫く考えてみましたが上手くいきません…
ax+by=1-cz,a>0b>0よりx,yが増加するとczの値は減少することはわかりますが…
もう少しヒントを頂けないでしょうか…
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No.4419 - 2010/02/14(Sun) 20:09:22 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [高校１年生] | | | | こんばんは、arcさん。お返事が遅れてすいません。
この問題は、条件式「ax+by+cz=1」の構成要素a,b,c,x,y,zの制約が「a>0,b>0,c>0」しかありませんから, 自分でx,y,zの優劣関係を仮定して証明するしかないでしょうね。
具体的には…
ax+by+cz=1において, x≦y≦z と仮定しましょう。
このとき ax+by=1-cz≧1-c*k[1] (k[1]：zの最大値)…?@(∵c>0)
?@より ax ≧1-c*k[1]-by≧1-c*k[1]-b*k[2] (k[2]：yの最大値)…?A(∵b>0)
?Aより x ≧{1-c*k[1]-b*k[2]}/a (∵a>0) …?B
ですよね。
よって,?Bよりmin{x/a,y/b,z/c}は x/a={1-c*k[1]-b*k[2]}/a^2 …?C とできるでしょう。
問題は?Cよりmax{x/a,y/b,z/c}=max{1-c*k[1]-b*k[2])/a^2}を求めることですが, これは
どのような条件のときにもつのでしょうか？
それは、x/a=y/b=z/cのときですが, x≦y≦ｚを考慮すると,
1-c*k[1]-b*k[2]/a^2=k[2]/b=k[1]/c のときですよね。
そこから考えてみてください。
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No.4440 - 2010/02/18(Thu) 02:35:04 |
| ☆ Re: / arc [高校１年生] | | |  | 回答ありがとうございます。
暫く考えてみたのですが、
なぜ
(1-c*k[1]-b*k[2])/a^2(x/aの最小値)
=min{x/a,y/b,z/c}となるのでしょうか？
導出過程は理解出来ていますが…
定数a,b,cについての議論をしなくてもいいのですか？
また、max{x/a,y/b,z/c}=max{(1-c*k[1]-b*k[2])/a^2}というのもよくわからないです。。
max{(1-c*k[1]-b*k[2])/a^2}とはどういう意味ですか？
なんだかわからないこと尽くしで申し訳ないのですが、max,minの扱いや特殊な多変数の扱いなど初めてのことが多く、更にx/a,y/b,z/cのせいでイメージしづらくてちんぷんかんぷんになってきてしまいました。情けないですが，解答よろしくお願いします…
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No.4470 - 2010/02/22(Mon) 02:21:13 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | arcさん、おはようございます。返信が遅れて申し訳ありません。
私の解答がarcさんの混乱を招いたこと、誠に申し訳ありません。
実際、私が書いたものを見直しましたら、誤解を招くものが多く、それは決してarcさんの数学的知識によるものではありません。
むしろ、数学的土台がしっかりとされていて、式の本質を見極めているarcさんだから
こそ、もたれる疑問ですから自信をもってください。
(arcさんの質問を受け、私の方が反省しているところです…)
前回、独立・従属変数に関わる主要な証明方法を紹介しましたが…今回は、少し手法を
変えてお話します。
(最大値などで押さえていくと、最終評価の仕方に難しさがあるので…)
まず、ax+by+cz=1という条件式から
●x=(1-by-cz)/a → x/a=(1-by-cz)/a^2
●y=(1-cz-ax)/b → y/b=(1-cz-ax)/b^2
●x=(1-ax-by)/c → z/c=(1-ax-by)/c^2
となりますね。
今回の問題のmin{x/a,b/y,c/z}=min{(1-by-cz)/a^2,(1-cz-ax)/b^2,(1-ax-by)/c^2}の最大値をどう評価するかですが…、
min{(1-by-cz)/a^2,(1-cz-ax)/b^2,(1-ax-by)/c^2}の最大値
=『{(1-by-cz)/a^2,(1-cz-ax)/b^2,(1-ax-by)/c^2}の組の中での最大値と最小値の差
を最小となるもの』
=『{(1-by-cz)/a^2,(1-cz-ax)/b^2,(1-ax-by)/c^2}の組の中での最大値-最小値=0となる
値』
=『{(1-by-cz)/a^2,(1-cz-ax)/b^2,(1-ax-by)/c^2}がすべて等しくなるときの値』
として、x/a=y/b=z/c となる値を探す…というように考え直してみてください。
その値の求め方は、比例式の処理方法である
(1-by-cz)/a^2 = (1-cz-ax)/b^2 = (1-ax-by)/c^2 = k
として求めてみてください。(その際,ax+by+cz=1であることを忘れずに…)
上記内容で疑問があれば、また質問ください。
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No.4490 - 2010/02/26(Fri) 04:24:39 |
| ☆ Re: / arc [高校１年生] | | | | すいません、期末テスト中で余りPcに触れられません…
早めに書き込めるよう頑張ります。
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No.4566 - 2010/03/13(Sat) 14:12:40 |
| ☆ Re: / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員] | | | | 忙しい最中にコメントを残して下さっていたんですね…。
すいません…こちらこそお返事が遅れまして。
期末試験頑張ってくださいね。
いつでも構いません。
数学は時間を置くことで物事を客観的に見れたり…ワインの熟成みたいな
ところがあります。
ですから…今やるべきことに向き合ってこれからも頑張ってくださいね!!
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No.4621 - 2010/03/20(Sat) 09:05:50 |
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