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★ 二次方程式(実数解など) / 馨 ♀ [近畿] [新高校１年生]

初めまして、中3の馨(かおる)といいます。

第一志望の高校に受かり、先日春休みの課題を頂いたんですが、その高校が中高一貫で現在中3の生徒さんは既に高校数学(数学?T)の内容をやっておられるそうで…。
今、必死に勉強をしていますが、半分は分かるものの、後の半分が全くお手上げという状態です。
解説を見ても｢(計算式)〜すなわち(変形させた計算式)これを解いて(答え)｣のような書き方で、その過程が分かりません。
非常に基本的な内容だとは思いますが、解答よろしくお願いします。

●二次方程式x²＋mx-6m²=0が-3を解に持つとき、定数mの値を求めよ。

(-3)²+m(-3)-6m²=0
すなわち2m²+m-3=0←ここまでは分かります。
これを解いてm=-2/3(二分の三),1


宜しくお願いします。
No.4594 - 2010/03/18(Thu) 16:49:18
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　馨さん，こんにちは。

　2m^2+m-3=0 を解くところが分からないということですね。

　２次方程式を解くときは，因数分解できればする，ということだったと思いますが，中学校では 2m^2+m-3 の因数分解は勉強していないと思います。

　春休みの課題のなかに，こういう因数分解の問題はなかったでしょうか。
　もしもあって，そのやり方がだいたい分かるようでしたら，それと同じようにやれば大丈夫です。

　あるいは，教科書や参考書は既に購入されましたでしょうか。
　もしもお持ちであれば，数学Ｉの最初のところに，このような式の展開・因数分解の問題が載っているはずです。

　以上のどちらかで解決できそうでしょうか。あるいはそれでも分からない・自信がないのであれば回答しますので，お返事お待ちしております。
No.4597 - 2010/03/18(Thu) 18:54:30
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 馨 ♀ [近畿] [新高校１年生]

ありがとうございます。

教科書では色々公式は出ているのですが、どれを使えばいいのか(どれを使っているのか)が分からなくて…。
中学校で出てきた公式であれば分かりますが、高校で出てくる公式になるとごちゃごちゃしちゃって(汗)

たすきがけも先日塾の先生に習ったばかりなんですが、この問題もたすきがけでしょうか？

二次方程式で公式を使う場合と、たすきがけを使う場合と、二乗をかける場合(例:x²+10x+13=0ならばx²+10x+5²=-13+5²で解いていくような問題)を見分けるコツみたいなのはありますか？

正直、全く分かりません。
ですが、高校入学までにはしっかり理解しておきたいので、宜しくお願いします。
No.4604 - 2010/03/19(Fri) 10:34:10
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　馨さんのおっしゃるように，この二次方程式を解くときには，左辺をたすきがけで因数分解することでできます。
　たすきがけは高校数学では基本中の基本となることですから，きちんとマスターしてくださいね。

　(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

という展開公式の逆と考えてやります。
　（いまの場合は x ではなく m ですが，当然同じことです）

　いまの場合は 2m^2+m-3 ですから，m^2 の係数と定数項について

　　 2=2×1， 3=3×(-1)=(-3)×1　・・・（＊）

となると考えて，どう組み合わせると（どのたすきがけだと）m の係数が +1 となるかを判断して因数分解します。

　さて，ご質問にあるように，２次方程式を解くときの方法はおおまかには

　Ａ：（解の）公式の利用
　Ｂ：（たすきがけを含む）因数分解
　Ｃ：二乗をかける（この解法は「平方完成」といいます）

の３つの方法があり，どれでいけばいいのか見分け方があるか，ということですね。

　単に２次方程式を解く，というのであればＣの平方完成の方法よりはＡの解の公式の方が速いですしそれで事足ります。
　（そもそも平方完成の手順を公式化したのが解の公式です。平方完成そのものが大事な場面は方程式を解くのとは別にありますがここでは省略します。）

　なので実質的にはＡとＢのどちらかの方法，ということになります。
　この２つのどちらでいくのがいいか？　見分け方はあるのか？　ということですが・・・。

　見分け方はありますが，そういった理屈を実践するのではなく，まず因数分解ができそうかどうかを何秒か考えてみて，
無理そうならば解の公式でいく，というのが実戦的な対処の仕方です。

　「何秒か考える」と書きましたが，どのくらいの時間考えるかどうかは因数分解の熟練度にもよりますのでなんとも書きようがありません。
あくまで個人的な意見ですが，５〜１０秒考えてもできないと解の公式を使う，というのが目安でしょうか。
　（←もしもこのぐらいの時間制限でしばしば因数分解の方が簡単であった（√が出てこなかった）というのであれば，
まだ因数分解の習熟度が足りない，ということです）

　このあたりの計算についてはとにかく速く正確にできなければ話になりませんからよく練習してください。

　長々と書きましたので，ぼやけている部分もあるかもしれません。
　不明な点はなんなりとお書きくださいね。
No.4605 - 2010/03/19(Fri) 11:56:13
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 馨 ♀ [近畿] [新高校１年生]
あ、だから因数分解すると(m-1)(2m+3)になり、
答えがm=-2/3,1になるんですね！

丁寧に解答して頂いて、本当にありがとうございます。

見分け方ですが、(C)B→A→(C)という順番ってことですよね。
とにかく問題を多くやっていきたいと思います。

後、すみません、その解の公式についてなんですが

?@ b²±√b²-4ac
x= ¯¯¯¯2a¯¯¯¯¯¯

の公式はb²-4ac≧0じゃないといけないし、

?A -b´±√b´²-ac
x= ¯¯¯¯a¯¯¯¯¯¯

の公式はb´²-ac≧0じゃないと出来ないんですよね。
じゃあ?@b²-4ac≦0、?Ab´²-ac≦0の場合はどうすれば良いんですか？
このままやると、√の中身が｢-｣になってしまいますよね…。
No.4606 - 2010/03/19(Fri) 13:16:44
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　解の公式ですが，（１）の方は

　　　-b±√b^2-4ac
　x=-------------
　　　　　　　2a

ですから，気をつけてくださいね！

　で，もしもルートの中が負のときはどうなるか？　なのですが，いまの高校のカリキュラムでは面倒な話でして，

　「数学Ｉの範囲では解けないが数学IIの範囲では解ける」

ということになるのです。

　そもそも√のなかが負の数ということは，２乗して負の数になるものがあるということですから，中学校までの常識ではおかしな話になりますよね。

　その辺を「正当化する」という話が，数学IIの最初のあたりで出てきます。
　ですので，それまでは気持ち悪いかもしれませんがそういうものがあるということぐらいを心にとどめておけばよいでしょう。
No.4607 - 2010/03/19(Fri) 15:09:51
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 馨 ♀ [近畿] [新高校１年生]

そういうものなんですか…。

中学校と頭を切り換えてやることが大切なんですね。
ありがとうございます。

また、分からない問題がたくさん出てくると思うので、その時はまた宜しくお願いします。
No.4608 - 2010/03/19(Fri) 18:51:39
☆ Re: 二次方程式(実数解など) / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　誤解のないように書きますと，２次方程式の解の公式でルートの中が負の数となる場合はどうするのかという点については，中学校までで習ったことと整合性がとれるように，うまく拡張するということになります。このことに限らず，「正当化する」というのはいままでの常識を否定してということではなくて，自然に拡張するということです。

　高校の数学は中学校までの数学以上に勉強する内容が多くなりますから，追いついていくのも大変だと思いますが，焦らずにこつこつと進めてくださいね。
No.4614 - 2010/03/19(Fri) 23:27:59
★ ベクトルの質問です / sakurasaku ♀ [東海] [高校2年生]
こんにちは。

数学B ベクトルの質問です

2つのベクトル↑OA＝（1,3）、↑OB＝(-3,4)のなす角をθとするとき、↑OAとなす角が60°であるような単位ベクトル↑OCを求めよ。

という問題です。

答えは

(1-3√3/2√10 , 3+√3/2√10) , (1+3√3/2√10 , 3-√3/2√10)

となるようですが、どのように考えて、どのように計算を進めていけば、このような数字になるのかが、全くわかりません。。。


この問題を解くにあたって、どのように考えたらよいのでしょうか？？

教えてください。
No.4557 - 2010/03/11(Thu) 12:09:09
☆ Re: ベクトルの質問です / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員]
sakurasakuさん、こんばんは。一匹にゃんこと申します。
よろしくお願いします。

ところで, 上記問題ですが、
　↑OA≠↑O,↑OB≠↑O,かつ↑OAと↑OBは平行ではない
ですから
　●↑OC=s↑OA+t↑OB(s,t：実数)
=s(1,3)+t(3,-4)
=(s+3t,3s-4t)
と表すことができます。

また題意より?@|↑OC｜＝１
　　　　　　?A↑OA・↑OC＝|↑OA｜|↑OC｜cos60°
が言えますよね。

?@, ?Aの式を
　●｜↑OA｜=√10, |↑OB|=5
●↑OA・↑OB=|↑OA|｜↑OB｜cosθ
　　("θ"が出てきているということは, 成分表示は習っているけれど、内積と成分の
　　関係は習っていないのかも…と思いましたので、上記ヒントにしておきます)
をうまく活用すると, s,tの連立方程式を導くことができるはずですが…

上記ヒントでまず解いてみてください。
No.4560 - 2010/03/12(Fri) 02:43:27
☆ Re: ベクトルの質問です / sakurasaku ♀ [東海] [高校１年生]
一匹にゃんこ さんへ

えっと、、、早速計算をしてみたのですが、ちょっと、どのように考えたらよいのか解りませんでした。。。すみません。。

あれこれ考えたのですが、まず↑OCの成分を(x,y)とおき、単位ベクトルなので

x＾2+y＾2=1...?@

とし、cosθ=a1b1+a2b2/｜a｜｜b｜に√10,1などを代入すると

1/2=x+3y/√10 つまり　　√10/2=x+3y...?A

?@と?Aの連立方程式を解くと

(x,y)=(√10±3√30/20 , 3√10干√30/20 )　

としました。

いかがでしょうか？？
答えは、それなりに、自信があるのですが、私は一匹にゃんこ さんの考え方の解の導き方を理解したいです。

えっと、まず、

?@|↑OC｜＝１
?A↑OA・↑OC＝|↑OA｜|↑OC｜cos60°

?Aは↑OA・↑OC＝√10*1*1/2 = √10/2 と計算をしました。

それから、●↑OA・↑OB=|↑OA|｜↑OB｜cosθを計算すると

↑OA・↑OB=√10*5*1/2=5√10/2　と計算して・・・ここから、どのように考え、計算をするのでしょうか？？？


すみません。。。いろいろと、ご迷惑をおかけしますが、ぜひともご教授ください！
No.4562 - 2010/03/12(Fri) 11:58:06
☆ Re: ベクトルの質問です / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員]
こんばんは、一匹にゃんこです。

すいません、どこまでsakurasakuさんがベクトルの内積について学ばれているのか,
確認するためにいろいろな式を書きましたが…今回の返答でだいたい分かりました。

ありがとうございます。


基本的な問題の解き方は、sakurasakuさんのやり方で間違いはありません。

ただ、この問題の主旨は、最初に↑OA, ↑OBの条件が与えられているので、
●↑OA,↑OBが１次独立　⇔　任意のベクトル↑OPについて
　　　　　　　　　　　　　　　↑OP=s↑OA+t↑OB　
　　　　　　　　　　　　　 と表せる。
ということを理解しているのかどうかを問いたいのだと考えます。

ですから, それにあわせた解き方を紹介しました。

まず
　●↑OC=s↑OA＋t↑OB=(s-3t,3s+4t)…?@
とおきます。

そうすると,
　|↑OC|=1　⇔　|↑OC|^2=1 (両辺ともに正なので,両辺２乗)
ですから,?@よりs,tの関係式が１つできますよね。

また,
●↑OA・↑OC = |↑OA||↑OC|cos60°…?A
ですから, 成分による内積↑OA・↑OCの計算　及び　|↑OA|=√10, |↑OC|=1　を
使うとs,tの関係式がもう１つ導けますね。

その２つの方程式を連立するとs,tの値が出てきます。

実際に?@,?Aを立式してみてください。

それぞれの式がどのようになるのか、分からないようでしたらまたご質問ください。
No.4564 - 2010/03/13(Sat) 02:27:46
☆ Re: ベクトルの質問です / sakurasaku ♀ [東海] [高校１年生]
一匹にゃんこさん

今、もう一度、最初から復習をしています！
教えていただいたことをしっかり学習できるように。

だから、少し、まってください！！
No.4568 - 2010/03/14(Sun) 09:21:36
☆ Re: ベクトルの質問です / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員]
返信が遅れてすいません。

ごゆっくり…自分が納得いくまで復習してくださいね。
No.4592 - 2010/03/18(Thu) 05:32:27
★ 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校2年生]
こんばんは。はじめまして。

「xに関する方程式log{2}x−log{4}(2x+a)=1が、
相異なる2つの実数解をもつための実数aの範囲を求めよ。」という問題なのですが、
判別式を使って解くと、a>-4と出ました。
でも解答には-4<a<0と書いてありました。
a<0はどこから出てきたんでしょうか？

どなたか御教授お願いします。
No.4570 - 2010/03/14(Sun) 18:57:20
☆ Re: 対数方程式 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
解答の−4＜a＜0を導くためには、
a＞−4を導いた途中の式も必要になりますので、
zacさんが作成していた解答を書いていただけませんか?
No.4571 - 2010/03/14(Sun) 20:46:58
☆ Re: 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校１年生]
返信ありがとうございます！

真数が正だからx>0,2x+a>0
log{2}x−{log{2}(2x+a)}/log{2}4=log{2}2
両辺に2を掛けると2log{2}x=log{2}(2x+a)+2log{2}2
log{2}x^2=log{2}4(2x+a)
よってx^2=4(2x+a)
これが異なる2つの解を持つから
x^2−8x−4a=0の判別式をDとすると、
D/4=16+4a>0 したがってa>-4

です！
No.4572 - 2010/03/14(Sun) 21:08:29
☆ Re: 対数方程式 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
zacさんの解答、なかなか書けていると思います。
この解答の中に十分な材料が揃っています。

真数条件から、x＞0となるので、
問題の方程式の解は「＿＿＿」になる。

＿＿＿に入る語句3文字を考えて下さい。
(漢字とひらがなを使います。4文字でもかまいません。)
No.4573 - 2010/03/14(Sun) 21:31:43
☆ Re: 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校2年生]
ごめんなさい…分かりません…
No.4574 - 2010/03/14(Sun) 22:02:20
☆ Re: 対数方程式 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
決してとんでもない事を問いかけていた訳ではありません。

真数条件から、x＞0となるので、問題の方程式の解は「正の数(正の実数)」になる。

ということです。

つまり、この真数条件を反映させると、

『方程式x^2−8x−4a＝0が異なる2つの正の解(正の実数解)を持つような実数aの値の範囲を求めよ。』

という問題に帰着することになります。

これは、

数学IIの「2次方程式の解と係数の関係」のところで同様の問題があると思いますし、

数学Iの「2次関数y＝x^2−8x−4aのグラフがx軸の正の部分で2個の共有点をもつような実数aの値の範囲を求めよ。」という問題を解いても同じ解答が得られます。

どちらの解き方でも解答は得られますので、考えてみて下さい。
No.4575 - 2010/03/14(Sun) 23:01:46
☆ Re: 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校2年生]
x^2−8x−4a＝0の2つの解をα,βとおくと
α+β=8>0
αβ=-4a>0 よってa>0

こうですか？
No.4576 - 2010/03/15(Mon) 11:36:46
☆ Re: 対数方程式 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
返信が遅くなりましてすみません。

> x^2−8x−4a＝0の2つの解をα,βとおくと
> α+β=8>0
> αβ=-4a>0 よってa>0

> こうですか？

とても惜しいです。
α+β＝8＞0 → OKです。aの値に関係なく2つの解の和は正の値をとります。
αβ＝−4a＞0 → これ自体はOKです。が、−4a＞0のときにa＞0とはなりません。

また、解答を得るためには、zacさんが最初の方の投稿で書かれていた判別式の条件も必要です。

つまり、
『方程式x^2−8x−4a＝0が異なる2つの正の解(正の実数解)を持つような実数aの値の範囲を求めよ。』
の解答を得るには、α, βを方程式の異なる2つの正の実数解とすると、
・　判別式D＝4(a＋4)＞0　⇒　a＞−4
・　α＋β＝8＞0　⇒　aの値に関係なく成立
・　αβ＝−4a＞0　⇒　a＿0　＿に入る不等号は?
を満たすaの範囲を求めればよいということです。(教科書などに類題はあると思います。)

解答まで、あとほんの少しです。考えてみて下さい。
No.4583 - 2010/03/16(Tue) 14:50:15
☆ Re: 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校2年生]
すみません、a＜0ですね！
No.4584 - 2010/03/16(Tue) 15:20:00
☆ Re: 対数方程式 / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
> a＜0ですね！

そうです。これとzacさんが最初に書かれていたa＞−4がありますので、
a＞−4かつa＜0、つまり、−4＜a＜0となります。

対数の計算、2次方程式の解と係数の関係ともに基本的なところは理解されていると思います。

いろいろな問題を解いていくにつれて慣れていくと思いますので、頑張って下さい。
No.4585 - 2010/03/16(Tue) 16:02:35
☆ Re: 対数方程式 / zac ♀ [近畿] [高校2年生]
よく理解できました。
丁寧なご説明をありがとうございました。
No.4586 - 2010/03/16(Tue) 17:27:38
★ 不定積分 / びび [高校2年生]

∫tanxdxの不定積分はどうやってやるのでしょうか？

答えだけわかっていて-loglcosxl+Cとなるのですが、
どうやったらこんな答えになるのかわかりません。
教えてくくださいませんか？
No.4578 - 2010/03/15(Mon) 16:29:57
☆ Re: 不定積分 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
びびさん、こんばんは。河童です。

答えの　-loglcosxl+C　を微分してみましょう。
そうすれば分かりますよ＾＾
No.4581 - 2010/03/15(Mon) 18:35:02
☆ Re: 不定積分 / びび [高校2年生]
やってみますね!
No.4582 - 2010/03/15(Mon) 19:58:24
★ (No Subject) / よしくん ♀ [近畿] [社会人]
はじめまして。　学生ではなくフリーターです。　

職業訓練の試験を受けるため過去問題を練習してたんですがまったく？？？　　
とてが出ません。問題は、↓↓↓

　　食塩水が231ｇある。　この食塩水に食塩15ｇを加えると、もとの食塩水より濃度
　　が5％高い食塩水ができた。　この時次の問に答えなさい。　

　　?@　もとの食塩水の濃度を求めなさい。　　

　　?Aできた食塩水に水を加えて、もとの食塩水と等しい濃度に戻したい。　
　　　水を何ｇ加えればよいか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは?@18％　　?A3分の205


　　　　と出てるんですが解説がなくとき方がわかりません。　　
　　　　どうぞよろしくお願いします。
No.4569 - 2010/03/14(Sun) 18:24:30
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [教育関係者]
まず、（全体量）×（濃度）＝（食塩の量）から、
231ｇの食塩水の濃度をa（％）とすると、
食塩の量は、231×a÷100＝231ａ/100(g)とわかります。

次に、上の関係式を（濃度）＝・・・の式に変形すると、
（濃度）＝（食塩の量）÷（全体量）となります。

15gの食塩を追加した後の食塩水は、
全体量：231+15=246(g)
濃度：a+5(%)
食塩の量：(231ａ/100)+15(g)ですから、
（濃度）＝・・・の式にあてはめると求められますよ。

?Aは、b(g)の水を加えたと考えると、
全体量：246+b(g)
濃度：18(%)
食塩の量：246×(23/100) (g)　となります。
これをあてはめれば、求まりませんか？
No.4577 - 2010/03/15(Mon) 14:05:42
★ 数?V・C　式変形 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]
別に数?V・Cに限った話ではないのですが、xの二次式から直でxの重解を求める方法が分かりません
例としては、
　x^2 + 2xcosθ + 3 = 0
∴x= cosθ + √(cos^2θ + 3)

・・・因数分解しても平方完成してもできませんでした

どなたか教えていただけないでしょうか
No.4543 - 2010/03/08(Mon) 14:22:01
☆ Re: 数?V・C　式変形 / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．再びlondontrafficです．

>例としては、
>　x^2 + 2xcosθ + 3 = 0
>∴x= cosθ + √(cos^2θ + 3)
これですが，参考書や問題集の解答でしょうか？

申し訳ありませんが，xの2次方程式　x^2 + 2xcosθ + 3 = 0　は実数解をもちません．よって重解を持つこともありません．

私がご質問の内容を理解できていないようなら，教えてください．
No.4544 - 2010/03/08(Mon) 17:55:21
☆ Re: 数?V・C　式変形 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]

そのとおりです。「標準問題精講数?V・C」の問題です。
質問の仕方が悪くてすいません。以下問題解答を載せます。

問題
(図があるため画像)
解答
余弦定理より　2^2 = 1^2 + x^2 - 2xcosθ
∴x^2 + 2xcosθ + 3 = 0
∴x= cosθ + √(cos^2θ + 3)

何度考えても分かりません・・・
よろしければ教えてもらえないでしょうか
No.4549 - 2010/03/09(Tue) 02:03:48
☆ Re: 数?V・C　式変形 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]
すいません・・・
先ほどの画像が大きすぎたようなので訂正します。
No.4550 - 2010/03/09(Tue) 02:11:28
☆ Re: 数?V・C　式変形 / londontraffic [教育関係者]
はい．やっと全貌が見えてきました．

まず，
>余弦定理より　2^2 = 1^2 + x^2 - 2xcosθ
>∴x^2 + 2xcosθ + 3 = 0
これですが，上の式（これは正しいです）を変形すれば
x^2 - 2xcosθ - 3 = 0
になります．

また，これを解くと
x=cosθ±sqrt{cos^2θ + 3}
となるのですが，今回の問題ではxは辺の長さなので，
x>0
であり，cosθ-sqrt{cos^2θ + 3}は負となるので不適切．したがって
x=cosθ+sqrt{cos^2θ + 3}
が解になります．

いかがでしょう？
No.4551 - 2010/03/09(Tue) 03:22:50
☆ Re: 数?V・C　式変形 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]
返信ものすごく遅れてすいません・・・

はい！分かりました
考えてみれば当たり前のことだったんですね
ありがとうございました。
No.4567 - 2010/03/14(Sun) 09:09:16
★ 数B　ベクトルの問題です。 / KS ♂ [東海] [高校2年生]
こんにちは！！

問題文→
図の平行六面体ABCD−EFGHにおいて、辺DH、辺EFの中点をそれぞれM・Nとする。直線AGと平面BMNとの交点をPとするときAP＝PGを求めなさい。

Pは、△BNM上にあるので、
なぜ、BPベクトル＝ｓBM＋ｔBNベクトルとおける。
の部分がわかりません。

よろしくお願いします。
No.4563 - 2010/03/12(Fri) 18:11:26
☆ Re: 数B　ベクトルの問題です。 / londontraffic [教育関係者]
KSさん，おはようございます．

まず，平面のベクトルの話からです．
「平面上の任意のベクトルvec{p}は，平行でなくvec{0}でない２つのベクトルvec{a}，vec{b}の実数倍の和，すなわち
vec{p}=s vec{a}+ t vec{b}
の形に，ただ一通りに表される」
多少の言い回しの違いはあると思いますが，お手元にある教科書には，かならずこの事実が記されていると思います．

この事実が受け入れられると，
問　平行でなくvec{0}でない２つのベクトルvec{a}，vec{b}が，5vec{a}- vec{b}=s vec{a}+ t vec{b}を満たしているとき，実数s,tの値を求めよ．
という問題が解けるのですが，いかがですか？
No.4565 - 2010/03/13(Sat) 07:55:09
★ 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
初めまして，高２の真理子といいます。

出典元が分からないのですが，学校の課題で出たもので，
（２）の方針が全くたたずに行き詰まっています。微分などを試してみたのですがうまくいきませんでした。
助けてください。
　
問題文↓
　３辺の長さがaとｂとｃの直方体を，長さがbの１辺を回転軸として
９０°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる
立体をｖとする。
（１）ｖの体積をa，b，cを用いて表せ。
→ｖ＝｛1/4π(a^２＋ｃ^２)＋ac｝ｂ　ここまではできました，，，
（２）a＋b＋ｃ＝１のとき，vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。
No.4540 - 2010/03/06(Sat) 21:33:49
☆ Re: 初めまして / ka-o ♂ [教育関係者]
真理子さん、こんばんは。

さっそくいきましょう。


(1)では変数が3つ、そして(2)では、a+b+c=1という条件が加わっても変数が二つなので、そこが、この問題の難しい部分だと思われます。

まず(2)では、(1)で出てきた式について、a+c=h,ac=kとおいて、hとkだけを用いて表してみてください。
No.4546 - 2010/03/08(Mon) 22:24:58
☆ Re: 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
はい，v={1/4π(h^2−k)+k}(1-h)ですね。
No.4547 - 2010/03/08(Mon) 23:43:00
☆ Re: 初めまして / ka-o ♂ [教育関係者]
ほぼokです。
a^2+b^2=(a+c)^2-2acですので、v={1/4π(h^2-2k)+k}(1-h)で、

整理すると、v={1/4πh^2-(π/2-1)k}(1-h)
となります。

このvのとりうる値の範囲を求めるわけですが、

まずは、一項一項それぞれの正、負に着目してみてください。

h=a+cですので、a,b,c＞0及びa+b+c=1より、0＜h＜1であることが分かると思います。
つまり、1-h＞0となり、

1/4πh^2-(π/2-1)kに着目すると、kの値が小さいほど、vの値が大きくなり、kの値が大きいほど、vの値が小さくなることが分かるのではないかと思います。

それでは今度は、kのとりうる範囲を、hを用いて、○＜k≦□のようなかたちで表してみてください。
No.4548 - 2010/03/09(Tue) 01:52:38
☆ Re: 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
a>0,c>0よりac>0
また相加相乗平均の関係からa＋ｃ≧２√ac
(等号成立はa=cのとき）
すなわちh≧2√K
　　　　ｋ≦h^2/4
よって0<k≦h^2/4

でどうでしょうか。
　
No.4552 - 2010/03/09(Tue) 21:06:44
☆ Re: 初めまして / ka-o ♂ [教育関係者]
返信が遅くなってすみません。

相加・相乗平均の関係を使いましたか！！
見事な求め方です。

それでは先に進みましょう。

前回のレスでは、「kが小さいほど、vが大きくなり、kが大きいほどvが小さくなる」と書きましたが、真理子さんに求めていただいたように、kの範囲がすでに0＜k≦h^2/4と得られていますので、そこから、

「ｖに、k=h^2/4を代入した式」≦v＜「vに、k=0を代入した式」

という関係が成立しませんか？



今回のヒントはここまでです。
どうでしょうか？
No.4553 - 2010/03/10(Wed) 06:56:35
☆ Re: 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
つまり1/8(2＋π)h^2(1-h)≦ｖ＜1/4πh^2(1-h)ということですね。

ｈが変数なのに代入してもよいのですか？hを固定して考えるということでしょうか？

また，この２つの式をそれぞれhについて0<h<1の範囲で微分して，体積の取り得る値の範囲を求めてみたのですが，
1/8・・・の式では0<v≦(π＋2）/54
1/4・・・の式では0<v≦π/27
になりました。
ここからv<π/27？と考えたのですが，最小値の方は単に０とするのか，よくわかりません。

先走ってしまってすみません。合ってるでしょうか？
No.4554 - 2010/03/10(Wed) 22:17:04
☆ Re: 初めまして / ka-o ♂ [教育関係者]
>固定して考える

はい、ずばり、そういう考え方です。
変数がたくさんある場合は、「固定して考える」というのがずばり定石ですので。

固定して考えるとは、ずばりどういうことなのか、しっかりと理解されているかもしれませんが、一応説明しておきます。、

ある未知数x,yで表された関数f(x,y)があります。

x,yを変化させたときのf(x,y)の最小値を求めたい場合、
まずは、xだけを変化させて（yを固定して考える）最小値を求めます。このとき得られた最小値m(y)は、かならずyの関数として表されているはずです。その上で今度は、先ほど得られたm(y)について、yを変化させてm(y)の最小値Mを求めるわけです。
このとき、Mというのは、x,yを両方変化させたときのf(x,y)の最小値になっているはずです。

たとえば、x^2-2xy+2y^2+1の最小値を求めるとき、まずはxだけを変化させて（yを固定して）最小値を求めます。x^2-2xy+2y^2+1をxについての二次関数だと思って平方完成すると、
x^2-2xy+2y^2+1=(x-y)^2+y^2+1
より、x=yのときに最小値m(y)=y^2+1をとります。

今度は、m(y)はy=0の時に最小値1をとりますので、x^2-2xy+2y^2+1の最小値は1になります。（y=0かつx=yのとき）


この問題の場合も全く同様に考えています。いじょうのことをふまえるとこの問題はどうなるでしょうか？
No.4555 - 2010/03/11(Thu) 00:42:02
☆ Re: 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
今まで曖昧だった「固定して考える」ということが，とてもよく分かりました！
ありがとうございます。
それをふまえて考えると

最小値m(h)=1/8(2＋π)h^2(1-h)
は0<m(h)≦(π＋2)/54

最大値M(h)=1/4πh^2(1-h)
は0<M(h)≦π/27

m(h)≦ｖ<M(h)なので
0<v<π/27

ですね？合ってるでしょうか？
No.4558 - 2010/03/11(Thu) 22:10:06
☆ Re: 初めまして / ka-o ♂ [教育関係者]
はい、正解です！

この問題のように、変数が多く登場する問題では、「固定して考える」「なるべく文字を減らす」というのを第一に意識して取り組んでください。

ちなみにこの問題ですが、今年の東大の問題の第一問です。

来年には、このレベルの問題まで解けるようになっていたいところですね。
頑張ってください。
No.4559 - 2010/03/11(Thu) 23:20:43
☆ Re: 初めまして / 真理子 ♀ [関東] [高校2年生]
ka-oさん，大変丁寧に教えていただきありがとうございました。
問題の導き方を教えてもらう以上のことをしていただいたと思います。
教わったことを生かせるように勉強を続けていきたいと思います。
No.4561 - 2010/03/12(Fri) 04:51:23
★ ２次関数のグラフと接線 / koko ♂ [関東] [高校１年生]
はじめまして
東進のテキストに二次関数で解き方がさっぱりな問題が載っていました。
L：Y=X＾2+3　M：Y=-X＾2+4X-3
ｎ:Y=aX+b
（＾2は２乗）

直線ｎはL・Mに接する。

?@ｎがLに接する条件をa・bを用いて表せ
?Aa・bの値を求めよ

?@はLとｎを連立させて、それの判別式から
a^2+4b-12とでましたが、?Aは何をすればよいのかわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.4541 - 2010/03/06(Sat) 23:56:02
☆ Re: ２次関数のグラフと接線 / 一匹にゃんこ ♂ [北海道] [学校教員]
おはようございます、一匹にゃんこと申します。
kokoさん、どうぞよろしくお願いいたします。

今回のご質問ですが…
整理すると、kokoさんが現時点でできているのは
●nとLが接する⇔x^2+3=ax+bよりx^2-ax+(3-b)=0だから
　　　　　　　　D=a^2+4b-12=0
というところまでですね。

それと同じように、
●nとMが接する条件
はどのように出せるでしょうか？

その上で、未知数2つに対し、方程式が2つですから、
計算の工夫をすると解答がだせそうですが…

ということをヒントにやってみてください。

上記ヒントで分からない場合は、またご質問くださいね。
No.4542 - 2010/03/07(Sun) 05:25:08
☆ Re: ２次関数のグラフと接線 / koko ♂ [関東] [高校１年生]
解決しました！
ありがとうございました
No.4545 - 2010/03/08(Mon) 22:19:38
★ 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞↓問題
＞xの整式f(x)を(x-1)^2で割ると余りが3x+1となり、
＞(x-1)^2で割ると余りは-x+1となる。
＞このf(x)をx-1で割ると余りが「　　　」となり、
＞x+1で割ると余りが「　　　」となる。
＞さらに、f(x)を(x+1)^2(x-1)で割ると余りが
＞「　　　」x^2+「　　　」x+「　　　」となる。

　さらに続けます．

　では，２．はいったんここで終えて，３．にいきます．
＞３．さらに，
＞　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
＞となりました．なぜ，
＞　　ａ_2ｘ＋ｂ_2　が　−ｘ＋１
＞になったのか？(4508，4510)
＞問題文の「(ｘ＋１)^2 で割ると余りは −ｘ＋１ となる」がここの鍵です．
　は，理解できているでしょうか？
No.4534 - 2010/03/06(Sat) 15:52:10
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / みー

はい。
f(x)を(x+1)^2で割った
余りが-x+1になるから
ですよね。
No.4535 - 2010/03/06(Sat) 16:37:25
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
すると，問題の条件から ｆ(ｘ) が
　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
と表せることは，大丈夫なんですね？

であれば，ｆ(１)＝４ という条件から，ａ＝１ が出てくるというところはどうでしょうか？
No.4536 - 2010/03/06(Sat) 16:54:54
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / みー ♀ [近畿] [高校１年生]

あ、剰余の定理で証明した前半部分ですね！
大丈夫です。
No.4537 - 2010/03/06(Sat) 19:04:40
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
であれば，この問題の後半部分の答案として，

「ｆ(ｘ) を (ｘ＋１)^2(ｘ−１) で割ったときの商を Ｑ(ｘ) とし，
　余りは条件から ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１ と表せる。よって，
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
　となり，ｆ(１)＝４ から，
　　　ｆ(１)＝４ａ＝４
　よって，
　　　ａ＝１
　となるから，求める余りは
　　　(ｘ＋１)^2−ｘ＋１＝ｘ^2＋ｘ＋２
　である」

とあったとき，納得はできますか？
No.4538 - 2010/03/06(Sat) 19:17:00
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです part２ / みー ♀ [近畿] [高校１年生]

納得できます(^^)!
解決しました!

今までスレ３つ分にわたって
本当にありがとうございました。

身近に教えてもらえる人がいないので
こんなに懇切丁寧に教えていただけたことに
とても感謝しております。

また機会があればよろしくお願い致します。
No.4539 - 2010/03/06(Sat) 20:30:20
★ 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞↓問題
＞xの整式f(x)を(x-1)^2で割ると余りが3x+1となり、
＞(x-1)^2で割ると余りは-x+1となる。
＞このf(x)をx-1で割ると余りが「　　　」となり、
＞x+1で割ると余りが「　　　」となる。
＞さらに、f(x)を(x+1)^2(x-1)で割ると余りが
＞「　　　」x^2+「　　　」x+「　　　」となる。


おはようございます．続けます．

＞ここまでの話から
＞　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
＞となりました．
　まず，これは大丈夫ですか？これが納得できていなければ，先に進むのは無理なんですが…

　次に，
　　　ａ_2ｘ＋ｂ_2＝(ｂ−２ａ)ｘ＋(ｃ−ａ)
　は，確かにその通りなんですが，ここは今どっちにしようと大した問題ではないのです．
　考えるべきことは，
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　の右辺を見ると，
　　　(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ) の部分は (ｘ＋１)^2 で割り切れます
　　　ａ(ｘ＋１)^2 の部分も (ｘ＋１)^2 で割り切れます
　すると，右辺で残っているのは，ａ_2ｘ＋ｂ_2 だけです．

　ａ_2ｘ＋ｂ_2 を (ｘ＋１)^2 で割ると余りはどうなるでしょう？

　わかりにくいかもしれませんが，考えたことを書き込んでください．次のレスで，このことの解説をします．
No.4508 - 2010/03/02(Tue) 06:33:15
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

割られる数のほうが
次数が低いので
割ることはできないと
思うのですが…。

No.4509 - 2010/03/02(Tue) 16:38:32
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
いえ，割られる方の式の次数が低くても割り算は可能です．つまり，
　　ａ_2ｘ＋ｂ_2 を (ｘ＋１)^2 で割ると，商は ０ で余りは ａ_2ｘ＋ｂ_2
です．いいですか？
つまり，

＞　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
＞　の右辺を見ると，
＞　　　(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ) の部分は (ｘ＋１)^2 で割り切れます
＞　　　ａ(ｘ＋１)^2 の部分も (ｘ＋１)^2 で割り切れます
　残った ａ_2ｘ＋ｂ_2 を (ｘ＋１)^2 で割ると，余りは ａ_2ｘ＋ｂ_2 です．
　したがって，右辺(全体)，つまり ｆ(ｘ) を (ｘ＋１)^2 で割ると，余りは ａ_2ｘ＋ｂ_2 です．
　ところがなんと問題には，
　　　　ｆ(ｘ) を (ｘ＋１)^2 で割ると余りは −ｘ＋１ となる
　とあります．ということは，
　　　　ａ_2ｘ＋ｂ_2＝−ｘ＋１
　なのです．これを使えば，
　　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
　となります．
No.4510 - 2010/03/02(Tue) 17:06:23
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー ♀ [近畿] [高校2年生]

ここまではなんとか理解できていると思います。
この後解説ではf(1)が出てくるのですが...。
No.4511 - 2010/03/02(Tue) 18:59:15
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
ｆ(１)＝４ を実行してください．
No.4512 - 2010/03/02(Tue) 19:01:03
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

f(1)=4a
になりました。

No.4513 - 2010/03/02(Tue) 19:55:49
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
ａ はどうなりましたか？　余りはどうなりますか？
No.4514 - 2010/03/03(Wed) 19:18:33
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー ♀ [近畿] [高校2年生]
ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
にX=1を代入するんですよね？

それで間違っていないなら、もうどうすれば
よいのかわからないのですが・・・。
No.4515 - 2010/03/03(Wed) 21:12:49
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
間違えたからと言って，けがをするわけでも，命を取られるわけでもありません．
おそるおそる進むのでなく，方針があるならばそれに従ってまずやってみることです．
No.4516 - 2010/03/04(Thu) 05:51:57
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

4a=4
a=1

a(x+1)^2-x+1=x^2+x+2

でしょうか。
最近一つ一つの計算を
何故しているのかが
わからなくなっています。

No.4520 - 2010/03/04(Thu) 15:11:17
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞4a=4
＞a=1
＞a(x+1)^2-x+1=x^2+x+2
＞でしょうか。
　正解です．

＞最近一つ一つの計算を
＞何故しているのかが
＞わからなくなっています。
　まさに最近のみーさんのレスはそういう状態ですね．
　４５０８，４５１０ はどの程度納得しているのでしょう？
　この２つのレスが納得できていれば，その後のレスでやっていることも納得できると思うのですが．
No.4522 - 2010/03/04(Thu) 19:29:12
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

その２つについては
納得していると思うのですが
やはり4498で何故そんな
作業をしたのかが
わかっていません…。
あと、最後にf(1)の作業を
したのも分かる気がするような
しないような微妙な
かんじなままです。
No.4524 - 2010/03/05(Fri) 04:41:05
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞その２つについては
＞納得していると思うのですが
＞やはり4498で何故そんな
＞作業をしたのかが
＞わかっていません…。

では聞きます．

＞ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１　　←４５１０
　の中の ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１ って，どうやって出てきたものでしょう？
　あるいは，こっちでもかまいません．
＞ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2　　←４５０８
　の中の ａ_2ｘ＋ｂ_2 って，どうやって出てきたものでしょう？
　そもそもは
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
　としていたはずです．
　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ が，なぜ ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１(or ａ_2ｘ＋ｂ_2) になってしまったのかをしっかりと説明できますか？
No.4525 - 2010/03/05(Fri) 05:33:46
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

(x+1)^2で
割っていったら
いつのまにか算出されていました。

No.4526 - 2010/03/05(Fri) 11:53:07
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞いつのまにか算出されていました。
　残念ながらこれでは納得できているとは言えません．

　もう一度順を追っていきます．
　一つ一つがしっかりと理解できているか確認してください．何となく眺めて，結論だけ考えてもどうにもなりません．

１．まず
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
　としていました．(4494 まで)

２．次に，
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　が出てきました．なぜ
　　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　が　ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　になったのか？(4504)
　この変形のために，
　　　「ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ を (ｘ＋１)^2 で割ってみましょう」(4498)
　があったのです．

３．さらに，
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2−ｘ＋１
　となりました．なぜ，
　　　ａ_2ｘ＋ｂ_2　が　−ｘ＋１
　になったのか？(4508，4510)
　問題文の「(ｘ＋１)^2 で割ると余りは −ｘ＋１ となる」がここの鍵です．

　この問題は決して簡単ではないでしょう．
　ですから，ひとつひとつを納得して進まないとどうにもなりません．
　上の３つは納得できますか？
　どこまで納得できて，どこから納得できませんか？
No.4527 - 2010/03/05(Fri) 19:29:12
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

プロセス自体は大丈夫だと
思うのですが、4504で

余りを(x+1)^2で割って

余りを出して…

という作業をしていますが
そこがいまいち納得
できていないような気がします。
No.4528 - 2010/03/06(Sat) 06:36:42
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
　確認しておきます．まずこれに答えてください．
＞4504で余りを(x+1)^2で割って余りを出して…
＞という作業をしていますがそこがいまいち納得できていないような気がします。
　ということは，２．の段階で既に納得できていないのですよね？

　次に，ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ を (ｘ＋１)^2 つまり ｘ^2＋２ｘ＋１ で割ると，
　　　商は ａ である　　←２つ目の確認です
　　　余りは１次以下だから，ａ_2ｘ＋ｂ_2 と表せる　　←３つ目の確認です
　はどうでしょう？

私は３つの問いかけをしました．
つまり今，３つのことを考えてもらおうとしています．
あいまいにではなく，ひとつひとつに答えてくださいね．
「なぜこの作業を…」はまず横に置いて，私の３つの問いかけに答えてください．
No.4529 - 2010/03/06(Sat) 07:41:19
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー
１つめの確認
→２．の段階で納得できていません。
２つめの確認
→ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃを (ｘ＋１)^2 つまり ｘ^2＋２ｘ＋１ で割ると，商は ａ である
は理解しています!
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃを (ｘ＋１)^2で単純に割るだけなので。
３つ目の確認
→余りは１次以下だから，ａ_2ｘ＋ｂ_2 と表せる
は理解しています!
この単元での定石ですね。


No.4530 - 2010/03/06(Sat) 10:36:07
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞２つめの確認
＞→ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃを (ｘ＋１)^2 つまり ｘ^2＋２ｘ＋１ で割ると，商は ａ である
＞は理解しています!
＞ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃを (ｘ＋１)^2で単純に割るだけなので。
＞３つ目の確認
＞→余りは１次以下だから，ａ_2ｘ＋ｂ_2 と表せる
＞は理解しています!
　すると，
　　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　と変形できるから，
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
　も
　　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　と変形できる．
　ここまではどうですか？
No.4531 - 2010/03/06(Sat) 12:04:30
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / みー

大丈夫だと思います。

ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
と表していた余りの部分を
ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
と、(x+1)^2で割った場合の計算式に変えただけなので
数字自体は変わっていませんよね。


No.4532 - 2010/03/06(Sat) 15:36:40
☆ Re: 「初めての投稿です。 / みー」の続きです / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
再び，スレッドを新しくします．
No.4533 - 2010/03/06(Sat) 15:48:35
★ 不等式の証明 / バムセ ♀ [関東] [高校3年生]
ご無沙汰しております。
以前お世話になりました、バムセと申します。
元気が出る数学??（マセマ）P33(4) の説明について、質問があります。

不等式の証明に使う４つの公式
(4)a＞b≧0 のとき a*2＞b*2（*2=２乗）

(4)y=x*2(x≧0) のグラフから明らかに、a＞b≧0 ならば、a*2＞b*2 が言える。
これから、実数 x についての不等式 x-1≧√(3-x)・・・?@を解いてみようか。これは注意深く解く必要があるんだよ。
　√ 内は 0 以上より 3-x≧0 解x≦3
　x-1≧√(3-x)≧0 より x-1≧0 解1≦x
以上より 1≦x≦3・・・?A
?@の両辺は 0 以上、すなわち x-1≧√(3-x)≧0 より
?@の両辺を２乗して、
　(x-1)*2≧3-x
　(x+1)(x-2)≧0
解x≦-1 または 2≦x・・・?B
以上?A、?Bより、求める x の値の範囲は
2≦x≦3 となる。

Ｑ．
?Bの範囲については理解出来、x-1≧√(3-x)≧0 という条件が必要であることもわかるのですが、
x-1≧√(3-x)≧0 が何故 1≦x≦3 となるのかがわかりません。
ここで仮に x=1 を代入すると、
1-1≧√(3-1)≧0
0≧√2≧0
となってしまい、大小関係が合わないと思いました。


よろしくおねがいします。
No.4517 - 2010/03/04(Thu) 13:07:30
☆ Re: 不等式の証明 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
バムセさん、こんにちは。河童です。

ご質問の件については、バムセさんのスレの

＞　√ 内は 0 以上より 3-x≧0 解x≦3　　……(1)
＞　x-1≧√(3-x)≧0 より x-1≧0 解1≦x　……(2)

この部分でお分かりになると思います。
ここにある　解x≦3　解1≦x　というのは、それぞれ必要条件ですね。
バムセさんの疑問の原因は特に(2)にあると思います。
(2)では、不等式の3辺のうち、

x - 1 ≧ 0

だけを見ているんですね。
それと(1) を合わせて

1 ≦ x ≦ 3

が得られるわけです。
しかし、先程も言ったとおりこれは必要条件ですから、バムセさんのおっしゃるとおり、
x = 1 は解にはなりません。
実際、本当の解は　2 ≦ x ≦ 3　ですよね。
お分かりでしょうか。

ところで、わたしにはこの解き方はあまりよい解き方に思えません。
特に、いきなり冒頭で

＞　√ 内は 0 以上より 3-x≧0 解x≦

としているところが気になります。
理由を説明しますね。
そもそも不等式を解くというのは、元の不等式を『同値変形』して、最も簡単な不等式に直すということですよね。
例えば、

5 x - 1 ≧ 0　……(3)

の解が何故

x ≧ 1/5　　　……(4)

になるのかというと、(3) から (4) が得られ、逆に (4) から (3) が得られるから、つまり、

(3) ⇒ (4)　と　(4) ⇒ (3)　が両方言えるからですね。
ここで、(3) ⇒ (4)　を考えるとき、(3) が成り立つという前提で考えますよね。
『もし、(3) が成り立つならば、(4) が成り立たなければならない』というわけです。
(3) が成り立たないときは？　なんて考えませんよね。
そこで、問題の不等式に戻ってみましょう。

x-1≧√(3-x)　……(*)

(*) の不等式には、3 - x ≧ 0　という条件が既に含まれているんです。
また、右辺はルートが付いていますから当然０以上です。
ですから、(*) を平方した

( x - 1 )^2 ≧ 3 - x　……(**)

は、無条件で成り立つんですね。
つまり、(*) ⇒ (**)　が成り立つということです。
そこで、次に、逆戻りができるか、つまり、 (**) ⇒ (*)　が言えるかを考えます。
(**) から (*) に戻るためには、両辺が０以上でなければなりません。
ということは、右辺の　3 - x が０以上であればいいですね。
右辺が０以上ならば当然左辺も０以上になりますから。
つまり、(*) の不等式は、

( x - 1 )^2 ≧ 3 - x　……(**)　かつ　3 - x ≧ 0　……(***)

と同値なんです。
ここで初めてルートの中身が登場しましたね。
(**) を解いて、『x ≦ -1　または　2 ≦ x』が得られ、(***) より　『x ≦ 3』 が得られますから、これらを『かつ』で結んだ、

2 ≦ x ≦ 3　が正解というわけです。

どうでしょう。
お分かりになりましたか？

【補足】

本の解答には、余計な部分があることに気付きますか？

＞　x-1≧√(3-x)≧0 より x-1≧0 解1≦x　……(2)

ここは必要ないですよね。
だって、(1) が成り立てば (2) が成り立つのは当然じゃないですか。
ですから、バムセさんが迷われたのも当然ですよね。
必要のないことが書かれていたのですから。
No.4519 - 2010/03/04(Thu) 14:48:52
☆ Re: 不等式の証明 / バムセ ♀ [関東] [高校１年生]
わァ、なるほど！
河童さん、大変わかりやすい解説をありがとうございました。
たた疑問が解決出来たというだけではなく、スマートな考え方を知ることが出来て、もっと賢くなりました。
ありがとうございました。
No.4521 - 2010/03/04(Thu) 17:34:54
☆ バムセさん、見てるかな？ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
バムセさん、見ていらっしゃるでしょうか？
ひとつ、訂正があります。

わたしの回答で、

( x - 1 )^2 ≧ 3 - x　……(**)　から　x-1≧√(3-x)　……(*)　に戻るときに、

x - 1 ≧ 0　という条件が必要であることを見逃していました。
(**) の両辺のルートをとると、左辺は　x - 1 の絶対値になりますから、これが (*) の左辺になるためには、x - 1 が０以上でなければなりません。

以前他の方の似たような質問に回答したときはそう回答したのですが、今回はうっかりしていました。
たいへん失礼しました。
これを読んでくれていたら助かるのですが……
No.4523 - 2010/03/05(Fri) 01:34:30
★ 初めての投稿です。 / みー ♀ [近畿] [高校2年生]
こんばんは。数学に行き詰まり途方に暮れていたところ、
このサイトを発見したので質問させて頂きます。

質問する問題の出典は進研ゼミの問題集なのですが、
大学入試の過去問で　「'04 摂南大・薬」のものです。

↓問題
xの整式f(x)を(x-1)^2で割ると余りが3x+1となり、
(x-1)^2で割ると余りは-x+1となる。
このf(x)をx-1で割ると余りが「　　　」となり、
x+1で割ると余りが「　　　」となる。
さらに、f(x)を(x+1)^2(x-1)で割ると余りが
「　　　」x^2+「　　　」x+「　　　」となる。

という問題なのですが、この問題には解答がついていて、

↓解答
与えられた条件により、
f(x)=(x-1)^2Q1(x)+3x+1 .....[1]
f(x)=(x+1)^2Q2(x)-x+1 .....[2]
となるような整式Q1(x)、Q2(x)が存在する。
[1]でx=1,[2]でx=-1とおき、剰余の定理によって、
f(x)をx-1で割った余りは、f(1)=4 .....[3] .....(答)
f(x)をx+1で割った余りは、f(-1)=2 .....(答)
である。

という部分までは理解できたのですが、そこから先が
何を説明しているのか全くわからりません。
このテキストに載っている解き方に固執しているわけでも
ありませんので、とにかく理解したいと思っております。

解説よろしくお願いいたします。

また、質問なのですが、問題文を写真にとって
ファイル添付する形の質問でもよろしいのでしょうか。
ご返答よろしくお願いいたします。
No.4491 - 2010/02/28(Sun) 18:48:53
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

＞そこから先が何を説明しているのか全くわからりません。
　全くの推測ですが，
　　　ｆ(ｘ) を (ｘ＋１)^2(ｘ−１) で割った余りは ａ(ｘ＋１)^2 −ｘ＋１ と表せるから　〜〜略〜〜　故に求める余りは ｘ^2＋ｘ＋２
　とでも書いているのでしょうか．

この解法での解説にしろ，テキストの解法にしろ，まず，みーさんに次のことをやっていただきたいのです．
ｆ(ｘ) を (ｘ＋１)^2(ｘ−１) で割ったときの余りを求めるために，常識的に考えて，
　　ｆ(ｘ)＝ 〜〜〜
どう ｆ(ｘ) を表しますか．

＞問題文を写真にとってファイル添付する形の質問でもよろしいのでしょうか。
　はい，かまいません．
No.4492 - 2010/02/28(Sun) 19:51:30
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

迅速な対応ありがとうございます!

その後の解答はCORNOさんの
推測で合っていると思います。

f(x)を考えてみたのですが、商をQとすると、
f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
となるぐらいしか
思い付きません…。


画像でも問題ないのですね。
とても助かります!
ありがとうございます。

No.4493 - 2010/02/28(Sun) 20:51:23
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞商をQとすると、
＞f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
＞となるぐらいしか
＞思い付きません…。
　そうです．それが常識的な考え方です．
　しかし困ったことにこれでは ａ，ｂ，ｃ の３文字がうまく求められない…

　では次にこれを考えてください．
　今出てきた余りの ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ を (ｘ＋１)^2 で割ったときの商と余りはどうなりますか．
No.4494 - 2010/02/28(Sun) 21:00:03
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

ax^2+bx+c=(x+1)^2Q_4(x)+a_2x+b_2
でしょうか。
そろそろ危なくなってきました。

No.4495 - 2010/02/28(Sun) 22:18:24
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．続けます．

＞ax^2+bx+c=(x+1)^2Q_4(x)+a_2x+b_2でしょうか。
　Ｑ_4(ｘ) って，具体的に言うと，今，いったい何でしょう？
No.4496 - 2010/03/01(Mon) 03:09:24
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

おはようございます。

あ、ここです!
全くわかりません(>_<)

No.4497 - 2010/03/01(Mon) 05:06:33
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ を (ｘ＋１)^2 で割ってみましょう．
No.4498 - 2010/03/01(Mon) 18:24:35
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

…割れません(>_<)

No.4499 - 2010/03/01(Mon) 18:35:48
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
(ｘ＋１)^2＝ｘ^2＋２ｘ＋１ ですよ．
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ を ｘ^2＋２ｘ＋１ で割ってみましょう．
フツーに割り算をするだけですよ．
No.4500 - 2010/03/01(Mon) 19:09:07
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

商：a
余り：(b-2a)x+c-a

でしょうか?
No.4501 - 2010/03/01(Mon) 20:08:18
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞商：a
＞余り：(b-2a)x+c-a
＞でしょうか?
　やっとでましたね．
　では，話を戻しましょう．前のレスの

＞＞ax^2+bx+c=(x+1)^2Q_4(x)+a_2x+b_2でしょうか。
＞　Ｑ_4(ｘ) って，具体的に言うと，今，いったい何でしょう？
　はどうですか？
No.4502 - 2010/03/01(Mon) 20:17:16
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

a
だと思います。

No.4503 - 2010/03/01(Mon) 20:48:40
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞a
＞だと思います。
　そうですよね．すると，そもそもの話に戻りましょう．

＞f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
　と
＞ax^2+bx+c=(x+1)^2Q_4(x)+a_2x+b_2
　を覚えていますか？
　ここまでの話から
　　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋１)^2(ｘ−１)Ｑ(ｘ)＋ａ(ｘ＋１)^2＋ａ_2ｘ＋ｂ_2
　となりました．
　またここでみーさんに質問です．
　ａ_2ｘ＋ｂ_2 とは今何になるのでしょう？

　ここまで余りについて色々問いかけをしました．
　「２次式で割ったのだから余りは１次以下」と考えるものがありました．
　「実際に割り算をしてみよう」というものもありました．
　この，いろいろな見方をしないといけないところがこの問題の難しさです．
　では今は，余り ａ_2ｘ＋ｂ_2 をどう考えたらよいのでしょうか．
　それは，問題文の中にはっきりと書かれています．
　さて，ａ_2ｘ＋ｂ_2 とは今何になるのでしょうか？

　（すみませんが，続きは明日にお願いします）
No.4504 - 2010/03/01(Mon) 21:04:14
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

申し訳ありません。
全く思い付きません。

何度もレスを読み返して
思ったのですが、
どうしてNo.4498のような
作業をしたのでしょうか。
理解していなかったことに気づきました。

(了解しました。何度も本当にありがとうございます。)

No.4505 - 2010/03/01(Mon) 21:35:21
☆ Re: 初めての投稿です。 / みー

連レスすいません。
今思い付いたのですが、

a_2x：(b-2a)x
b_2：c-a

でしょうか?

(投稿が携帯電話の為
記事修正機能が使用できませんでした。)

No.4506 - 2010/03/01(Mon) 21:40:41
☆ Re: 初めての投稿です。 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
長くなったので，新しいスレッドを立てます．
No.4507 - 2010/03/02(Tue) 06:19:46
★ 数学?U/微分法の問題 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]
こんにちは。初めて質問させて頂きます。数学?Uの微分法の質問です。

出典:標準問題精講(演習【95-3】,p209)
【問題】
3次関数 f(x)=x^3+ax^2+bx+cがx=αで極大値,x=βで極小値をとり,
f(γ)=f(α),γ≠αとする.
(1)a,bをα,βで表せ
(2)(γ-β):(β-α)を求めよ　　　(宮城教育大)

(1)は自力で解けましたが(2)は分かりませんでした。(2)については解説を読んだのですがいまいち意味が分かりません。
以下解説を載せます

(1)a=-3(α＋β)/2,b=3αβ(解説省略)
(2)f(γ)=f(α)=kとおくと,「方程式f(x)-k=0はx=αを重解,γを解として持ち」,
　 f(x)のx^3の係数は1であるから,
　　　f(x)-k=(x-α)^2(x-γ)
　 ∴ f'(x)=2(x-α)(x-γ)＋(x-α)^2
=(x-α)(3x-2γ-α)
　 f'(β)=0でα≠βゆえ,3β=2γ+α
∴ 2(γ-β)=β-α
　 ∴ (γ-β):(β-α)=1:2 ……答

(2)の解説の「」でくくった部分の意味が分かりませんでした。
どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.4469 - 2010/02/21(Sun) 22:26:01
☆ Re: 数学?U/微分法の問題 / londontraffic [教育関係者]
あたし！強くなる！さん，こんにちは．londontrafficと申します．
早速いきましょう！

>(2)の解説の「」でくくった部分の意味が分かりませんでした。
とのことですが，
「f(γ)=f(α)=kとおくと,方程式f(x)-k=0はx=αとγを解として持ち」
は納得してもらえますか？
No.4474 - 2010/02/22(Mon) 19:10:47
☆ Re: 数学?U/微分法の問題 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校3年生]
>>londontrafficさん

お返事ありがとうとざいます
はい、分かります。ですがαで重解,γでは重解でない意味が分からないです
質問の仕方が悪くてすいません…
No.4480 - 2010/02/23(Tue) 22:10:32
☆ Re: 数学?U/微分法の問題 / londontraffic [教育関係者]
>質問の仕方が悪くてすいません…
あまり気にせずにいきましょう！

g(x)=f(x)-kとしたとき，関数y=g(x)のグラフは，y=f(x)のグラフをy軸方向に-kだけ平行移動したものになり，方程式f(x)-k=0の解は関数y=g(x)のグラフとx軸との共有点のx座標になります．
（下のグラフはそのイメージです）

いかがですか？
No.4482 - 2010/02/24(Wed) 06:50:50
☆ Re: 数学?U/微分法の問題 / あたし！強くなる！ ♂ [関東] [高校2年生]


なるほど！分かりました！
だからα重解でγは重解ではないんですね！
納得しました
丁寧な解説ありがとうございました！
No.4489 - 2010/02/26(Fri) 00:18:00
★ 1次変換 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは。お久しぶりです。ルイです。

次の1次変換の問題の解き方を教えてください。

次の2つの楕円を考える。
　楕円A：x2/4＋y2＝1
　楕円B：x2＋y2/4＝1
これらに関して，以下の問いに答えよ。

(1)　楕円Aを楕円Bに移し，点(2,0)を点(cosθ，2sinθ)に移す1次変換を表す行列を求めよ。
(2)　楕円Aを楕円Bに移す1次変換をfとする。原点をOとし，2点(2,0)，(0,1)がfによって移される点をそれぞれP，Qとする。∠POQが最小となるようにfを選んだとき，cos∠POQを求めよ。

(2)はどうでもよいのですが一応書きました。
さて，(1)についてですが，模範解答とは違って次の方針を採りました。
(※2次の正方行列を(1,1,1,1)のように書きます。たとえば単位行列E＝(1,0,0,1)です。また，(p,q)は2行1列の行列です)

A＝(a,b,c,d)として，A(x',y')＝(X,Y)となる。ただし，(x',y')は楕円A上の点であり，x'2/4＋y'2＝1…(*)を満たします。(X，Y)は移動先の点です。ここで，Aが逆行列を持つとして，それを各辺の左からかけます。
(x',y')＝(1/(ad−bc))(d,-b,-c,a)(X,Y)＝(1/(ad−bc))(dX-bY,-cX+aY)となりますので，これを式(*)に代入して，(1/(ad-bc))2{(dX-bY)2/4＋(-cX+aY)2}＝1となります。
両辺を4(ad-bc)2倍して，
(dX-bY)2＋4(-cX+aY)2＝4(ad-bc)2
整理して，(d2＋4c2)X2−2(bd＋4ac)XY＋(b2＋4a2)Y2＝4(ad-bc)2

座標(X，Y)が常に楕円B上にあるので(また，楕円B上の1点に集中するものでもないので)，この式と楕円Bの式が一致すると考えて，
d2＋4c2＝1，−2(bd＋4ac)＝0，b2＋4a2＝1/4，4(ad-bc)2＝1が同時に成り立てばよい。さらに，(a,b,c,d)(2,0)＝(cosθ，2sinθ)より，a＝(cosθ)/2，c＝sinθ
これらから，b,dを求めようとしました。しかし，模範解答を見ると，b＝±sinθ，d＝∓2cosθ(複合同順)であり，上の各式を満たしません。もちろん，模範解答の結果では逆行列をもつので，逆行列の存在を仮定したこの方法でも出ると思うのですが…

訂正します。(質問文書いていると，その途中でいろいろと思いつきます…)
式が見た目的に完全に一致するのではなくて係数比が一致すればよいと思いますが，
d2＋4c2＝4n，−2(bd＋4ac)＝0，b2＋4a2＝n，4(ad-bc)2＝4n，(a＝(cosθ)/2，c＝sinθ)
nは実数として，これを解くのは大変そうです。こうすると，n＝1としたときに模範解答のa,b,c,dはすべての式を満たしています。けれども，この方法で解くのは無理ですか？
No.4375 - 2010/02/08(Mon) 22:18:17
☆ Re: 1次変換 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
未知数の数＞方程式の数で，さまざまなnに対して，解が存在しそうです…
No.4376 - 2010/02/08(Mon) 22:31:21
☆ Re: 1次変換 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ルイさん，こんにちは。
返信がたいへん遅くなり申し訳ありません。

楕円Bを　4(ad-bc)^2x^2+(ad-bc)^2y^2=4(ad-bc)^2　とし，
これと　(d2＋4c2)X2−2(bd＋4ac)XY＋(b2＋4a2)Y2＝4(ad-bc)2　が一致することから

4(ad-bc)^2=(d^2+4c^2)　…(1)
bd+4ac=0　　　　　　　…(2)
(ad-bc)^2=b^2+4a^2　　…(3)

(1),(3)から　d^2+4c^2=4(b^2+4a^2)
(2)から　bd=-1ac

これらに　a=(cosθ)/2　，c=sinθ
を代入することで，b,dの連立方程式を立てれば，ルイさんの方針でも解けるかと思います。
No.4422 - 2010/02/15(Mon) 18:14:43
☆ Re: 1次変換 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
返信、ありがとうございます。

>楕円Bを　4(ad-bc)^2x^2+(ad-bc)^2y^2=4(ad-bc)^2　とし，

とのことですが，どうして両辺に(ad−bc)2を掛けることに気づけるのでしょうか？右辺をあわせるためにですか？
No.4427 - 2010/02/16(Tue) 02:02:38
☆ Re: 1次変換 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

そうです。右辺あわせることで，もう一文字nを使うことを避けることができます。
No.4428 - 2010/02/16(Tue) 02:54:25
☆ Re: 1次変換 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
返信が遅くなって申し訳ありません。ありがとうございました。
No.4488 - 2010/02/25(Thu) 23:46:50
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