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★ 内接四角形 / きはら ♂ [関東] [高校3年生]
こんばんわ。
初めて書き込みをさせて頂きます。

高校3年の木原です。


先日の大学入試の最後の問題を家出解きなおしていたら
どうしても解けない問題があり質問させていただきます。



円に内接する四角形ABCDにおいて，AB=√10　BC=2√10　CD=3　DA=6
対角線ACとBDの交点をEとする。

BE＝□BD

対角線の長さはACもBDも出るんですが･･･

BD=√190/2 AC=30/√19

BEがBDの何倍になっているかが出ません･･･。
方べきの定理でもなさそうだし･･･。
このような問題は初めて見ました。

どなたかヨロシクお願いします。
No.4406 - 2010/02/13(Sat) 21:33:58
☆ Re: 内接四角形 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

　　ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ
です．
こんなヒントでどうでしょう？
No.4407 - 2010/02/13(Sat) 22:05:23
☆ Re: 内接四角形 / きはら ♂ [関東] [高校１年生]
お返事ありがとうございます。

対角線ＡＣとＢＤは直交していなくても
ＢＥとＥＤを高さの比としてみなしていいんでしょうか？

ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝１０：９

BE=10/19BD となりますが･･･
理解力がなくてゴメンナサイ。
No.4409 - 2010/02/13(Sat) 23:03:21
☆ Re: 内接四角形 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
マルチポストでしたか．

　　糸冬了

ttp://www2u.biglobe.ne.jp/~toshio_s/cgi-bin/Favbbs/favorite10214.cgi
No.4412 - 2010/02/14(Sun) 09:04:27
★ (No Subject) / レオ ♂ [北海道] [高校3年生]
はじめまして。早速質問します。１対１対応の演習数学?VのＰ４９演習題（ロ）の問題です。

不等式｜sinｘ−siny｜≦k|x−y|がすべての角度ｘラジアン、ｙラジアンについて成り立つような定数ｋの最小値を求めよ。

解答には、

ｘ≠ｙのとき、｜sinｘ−siny｜≦k|x−y|⇔｜（sinx−siny)／（ｘ−ｙ）｜≦ｋ・・・★２
「とくに、ｙ＝０、ｘ→０とすると、
｜（sinx−siny)／（ｘ−ｙ）｜＝｜sinx／ｘ｜→１
よって、ｘ≠ｙを満たすすべての実数ｘ、ｙに対して★２が成り立つためには、１≦ｋであることが必要である。」
逆に、〜

となっているんですが、「」の部分は必要なんでしょうか？
平均値の定理から、（sinx−siny)／（ｘ−ｙ）＝coscとなるｃがｘとｙの間に存在し、
｜（sinx−siny)／（ｘ−ｙ）｜＝｜cosc｜≦１
となるからｋ≧１であればいい。
よって、求めるｋの最小値は１
としてはダメなんですか？
よろしくお願いします。
No.4399 - 2010/02/12(Fri) 11:51:04
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
レオさん，おはようございます．londontrafficと申します．

レオさんは
関数f(x)=x (1≦x≦2)において f(x)≦3が成り立つので関数f(x)の最大値は3
とはしませんよね．

確かに任意の実数 c に対して |cos c|≦1 が成り立ちますが， |cos c|=1となる c が必ず存在するかどうかは，平均値の定理からはわかりません．ですので，k≧1であることを示しているのです．

いかがですか？
No.4402 - 2010/02/13(Sat) 07:25:36
☆ Re: / レオ ♂ [北海道] [高校3年生]
わかりました。ありがとうございました！
No.4403 - 2010/02/13(Sat) 11:15:20
★ (No Subject) / kei1959 ♂ [関東] [高校3年生]
こんにちは。以前にも質問させていただいたものです。

行列の問題で「4×4正方行列[上行a,b下行c,d]を(a,b,c,d)の様に表します」

A=1/5(3,-1,1,3)とする。A=k(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)　(k＞0)が成り立つとき、kの値を答えよ。
この問題でよくわからなかったので、とりあえず(3,-1,1,3)=5k(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)とし、
5kは（5k,0,0,5k)とも表せるので、
(5k,0,0,5k)=(3cosθ＋sinθ,3sinθ−cosθ,cosθ−3sinθ,sinθ＋３cosθ)としました。

3sinθ−cosθ＝√10(3/√10sinθ-1/√10cosθ)であるので、sinα=1√10、cosα＝3/√10とおくと
√10sin(θ−α)=0であるからθ−α=0,π(厳密には+2nπだとおもいますが)である。
よって
(i)θ−α＝0のとき(θ＝α)
3cosθ＋sinθ=√10sin(θ+α)=√10sin2α=2√10sinαcosα＝2√10×3/10=6/√10=5kよってk=6/5√10

(ii)θ−α＝πのとき(θ＝α＋π)
3cosθ＋sinθ＝√10sin(θ+α)＝√10sin(2α＋π)=-√10sin2α=-6/√10=5k
k＞0であるので不適
以上からk＝6/5√10

と解答したのですが、答えでは
A=√10/5(3/√10,-1√10, 1√10,3/√10)といきなり書いてあり、k＝√10/5となっていました。

なぜこの変形がすぐできるかもよくわかりません。ご回答お願いします。
No.4394 - 2010/02/11(Thu) 17:59:07
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
kei1959さん，こんばんは．
早速です．

>(i)θ−α＝0のとき(θ＝α)
>3cosθ＋sinθ=√10sin(θ+α)
の赤のαは
>sinα=1√10、cosα＝3/√10とおくと
を満たしていますか？

>なぜこの変形がすぐできるか
すぐではありませんが，
1/5(3,-1,1,3)=k(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)
より
3/5=kcosθかつ1/5=ksinθからk＝√10/5は得られます．

いかがですか？
No.4396 - 2010/02/11(Thu) 20:22:32
☆ Re: / kei1959 ♂ [関東] [高校3年生]
よくわかりました。ありがとうございました。
No.4398 - 2010/02/12(Fri) 08:51:44
★ 奈良女子大学の問題 / アニエス ♂ [北陸] [社会人]
おはようございます。先日はありがとうございました。またお願いいたします。

「平面上にどの３点も同一線上にない４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃをとり、Ｏに関するＡ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれａ、b、c とする。条件 f(a)=b, f(b)=b, f(c)=a,を満たす１次変換fがあるとき、
（１）　c=sa+tb とするとき、実数s,t,を求めよ。（c,a,b,は上記のベクトルです）

解答は、下記のようにはじまっています
「c=sa+tb, fによって a=sb+tc, したがって、a=sb+t(sa+tb)　・・・・・」

この「fによって a=sb+tc 」というところが理解できません。
なぜそのように言えるのか、教えてください。お願い致します。
No.4390 - 2010/02/11(Thu) 10:24:25
☆ Re: 奈良女子大学の問題 / アニエス ♂ [北陸] [高校１年生]
すいません、問題を書き写すのを間違っていました。
条件 f(a)=b, f(b)=b, f(c)=aの、f(b)=bではなく、f(b)=cでした。
書き直します。

「平面上にどの３点も同一線上にない４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃをとり、Ｏに関するＡ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれａ、b、c とする。条件 f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a,を満たす１次変換fがあるとき」
No.4392 - 2010/02/11(Thu) 11:32:17
☆ Re: 奈良女子大学の問題 / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．londontrafficです．

fが任意のベクトルx,yに対して１次変換であるとき，cを定数とすると
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(cx)=cf(x)
が成り立ちます．ここにあてはめれば解決しますが，いかがでしょう．
No.4395 - 2010/02/11(Thu) 20:11:57
☆ Re: 奈良女子大学の問題 / アニエス ♂ [北陸] [社会人]
londontraffic先生、今回もありがとうございました。
説明があったようにやってみたらわかりました。
f(c)=sf(a)+tf(b)
=sb+tc
だったんですね。疑問が解けてうれしいです。
どうもありがとうございました。
No.4397 - 2010/02/11(Thu) 21:39:59
★ 2007 センター数学I・A第2問(1)の解説について / ヒロ ♂ [関東] [高校１年生]
こんにちは　2007 センター試験　数学I・数学Aの
詳解（作成 londontraffic 先生）
http://lykeion.info/07center/1Aans.PDF
第2問(1)8行目　「ここで」,以降の
2−√2−(3−√6)を式変形されていますが・・・
この式変形の意味が判りません.
よろしくお願いいたします.

近似値や答案の空欄の形から,2−√2と3−√6の大小は判ります.
No.4382 - 2010/02/10(Wed) 12:08:28
☆ Re: 2007 センター数学I・A第2問(1)の解説について / londontraffic [教育関係者]
こんにちは．londontrafficです．
おそらく
2-sqrt{2}-(3-sqrt{6})=sqrt{6}-(1+sqrt{2})
と
(sqrt{6})^2-(1+sqrt{2})^2
の隙間が小さすぎて
2-sqrt{2}-(3-sqrt{6})=sqrt{6}-(1+sqrt{2})(sqrt{6})^2-(1+sqrt{2})^2
の黒い部分が積に見えてるのではと思います．
No.4383 - 2010/02/10(Wed) 16:39:25
☆ Re: 2007 センター数学I・A第2問(1)の解説について / ヒロ ♂ [関東] [高校１年生]
おはようございます.ご返信ありがとうございます.
londontraffic様

> 2-sqrt{2}-(3-sqrt{6})=sqrt{6}-(1+sqrt{2})
> と
> (sqrt{6})^2-(1+sqrt{2})^2
> の隙間が小さすぎて
> 2-sqrt{2}-(3-sqrt{6})=sqrt{6}-(1+sqrt{2})(sqrt{6})^2-(1+sqrt{2})^2
> の黒い部分が積に見えてるのではと思います．

その部分は、隙間があって離れているのは判っておりました.
2−√2−(3−√6)＝√6−(１＋√2)になるのは判ります.
その次の
(√6)^2−(1＋√2)^2と変形するのはどういう理由からなのでしょうか？
近似値を使えば、大小は判りますが
londontraffic様が、なにかワザを使っていらっしゃるのが知りたくて知りたくて
モヤモヤしています(笑)
どんなワザなのかお教えくださいませ.
No.4389 - 2010/02/11(Thu) 08:18:14
☆ Re: 2007 センター数学I・A第2問(1)の解説について / londontraffic [教育関係者]
技じゃないですよ．
sqrt{6} と 1+sqrt{2}の大小が分からないので，２乗して比較．すなわち
「a>0,b>0 のとき，a>b⇔a^2>b^2」
を利用しているだけです．

sqrt{6}の近似値を知らなければいけない状況は滅多にありません．実際，私も覚えていませんのでこの方法で答えを出しました．sqrt{2}とsqrt{3}の近似値を利用すればsqrt{6}の近似値は作れますけれど．
No.4391 - 2010/02/11(Thu) 11:17:09
☆ 解決いたしました / ヒロ ♂ [関東] [高校１年生]
解説ありがとうございます

>大小が分からないので，2乗して比較．すなわち
> 「a>0,b>0 のとき，a>b⇔a^2>b^2」
> を利用している

判りました.ありがとうございました.
No.4393 - 2010/02/11(Thu) 12:49:12
★ 半径rの円に内接する３つの円の中心３点を頂点とする三角形の面積の取り得る値の範囲は？ / だいすけ ♂ [関東] [再受験生]
東大を来年度受ける理系の浪人生です。

自分で作った問題なのですが、
解き方がわかりません。。。

//-----------------------------------------------------------

半径rなる円Ｃがあり、その中心を点Ｏとする。

また、円Ｃに内接する３つの円があり、
それらを円Ｐ，円Ｑ、円Ｒとする。
円Ｐ，円Ｑ、円Ｒの中心をそれぞれ、点Ａ、Ｂ、Ｃとする、
また、
円Ｐと円Ｑ同士、、円Ｑと円Ｒ同士、、円Ｒと円Ｐは同士、は互いに外接している。
この条件を満たしつつ円Ｐ，円Ｑ，円Ｒが変化するとき、
三角形ＡＢＣの面積（これをＳとする）の取り得る値の範囲を求めよ。

//-----------------------------------------------------------

とりあえず、
円Ｃをいったんわすれてｍ

円Ｐ、Ｑ，Ｒの半径をそれぞれa,b,cとすると、
内接を考えて、
AB=a+b,BC=b+c,CA=c+a
とわかります。

しかし、これ以上のことはいえません。

パラメータが多すぎるなと思いつつ、
ここでストップ。

そして、円Ｃを考えました。
すると、
ＯＡ＝r-a
ＯＢ＝r-b
ＯＣ＝r-c


対称的なことを考えればできるかなと思ったのですが、
そもそも対称性をつかえるのは、
円Ｃと円Ｐ（または円Ｑまたは円Ｒ）の２つの円についてのみで・・・。

それと、パラメータが多すぎるのと、
与条件のうちの一部しか表していないと思うのですが、
さて・・・

ととまっています。

※
なお、ヘロンの公式を、できれば使わない方法でいきたいです。
（減点されるかもしれないので）

よろしくお願い申し上げます。
No.4388 - 2010/02/11(Thu) 03:10:41
★ 山形大学の問題 / アニエス ♂ [北陸] [社会人]
はじめまして、来年もしくは再来年に免許を取得するために大学を受験する予定で勉強しております。わからないところを質問させてください（教えてもらえる人がいないため）

「５以上の素数ｐの２乗を１２で割ったときのあまりは、１であることを証明せよ。」

解答は、
「５以上の素数ｐは、ｐ＝６ｋ±１　(kは自然数）の形に表現できるから・・・・」

と書かれていました。
これは、公式なのでしょうか？
根本的に理解できないため、ｐ＝６ｋ±１について教えてください。
No.4378 - 2010/02/09(Tue) 21:03:44
☆ Re: 山形大学の問題 / londontraffic [教育関係者]
アニエスさん，こんばんは．
再受験は大変でしょうが，頑張ってください．

さて，
>これは、公式なのでしょうか？
とありますが，公式ではありませんね．ただ，身につけておくと便利かもしれません．

今回pは５以上の素数なので，素数のうち2,3ではありません．
すべての整数は，kを整数として，
1)6k 2)6k+1 3)6k+2 4)6k+3 5)6k+4 6)6k+5
のいずれかで表されます．
この中で，偶数なのは1),3),5)であるので５以上の素数にはなりませんね．
また4)は6k+3=3(2k+1)と変形できるので，３の倍数です．よって，これも５以上の素数にはなり得ません．
したがって，2)と6)の場合が，５以上の素数となる可能性があります．
ところで6)は6k+5=6(k+1)-1と変形でき，k+1を改めてkとすれば，ご質問のp=6k±1のかたちの２通りとできます．

いかがですか？
No.4379 - 2010/02/09(Tue) 21:58:09
☆ Re: 山形大学の問題 / アニエス ♂ [北陸] [社会人]
londontraffic先生、ありがとうございました。

＞したがって，2)と6)の場合が，５以上の素数となる可能性があります

なるほど、説明していただいて、やっと意味がわかりました。
簡明な説明、ありがとうございました。
また、よろしくお願いいたします。
No.4387 - 2010/02/10(Wed) 19:36:46
★ (No Subject) / mori ♂ [東海] [社会人]
こんにちは。以前にも質問に答えていただいた者です。
行列の問題です。
A=matrix{-1&4\\-2&5}
において
A^{n+1}-A^{n}=3^{n}(A-E)であることを示せという問題です。

解説では３項間漸化式風と同様にするため
HCの定理で導いたA^{2}-4A^{n}+3E=0の両辺に
A^{n}　を掛けてA^{n+2}-4A^{n+1}+3A^{n}=0　とし、
A^{n+2}-A^{n+1}=3(A^{n+1}-A^{n}）と変形でき、(n=0 1 2 ...)
これを繰り返し用いてA^{n+1}-A^{n}=3^{n}(A^{1}-A^{0})　 （ただしA^{0}=E）
3^{n}(A-E)
となっています。分からない所が、最後から二段目の3^{n}(A^{1}-A^{0})の部分です。
まとめた物を等比数列とみているところですが、なぜ3^{n-1}(A^{2}-A^{1})とならないのでしょうか？

なんとなく示すために１項分ずらしているだろうことは分かるのですが、詰まっています。
かなり初歩的なことだと思いますが宜しくお願いします。
（ちなみに大学への数学　１対１数C　P25です。）
No.4384 - 2010/02/10(Wed) 17:27:48
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
moriさん，こんばんは．

>まとめた物を等比数列とみているところですが、なぜ3^{n-1}(A^{2}-A^{1})とならないのでしょうか？
いや．それでokですよ．

>A^{n+2}-A^{n+1}=3(A^{n+1}-A^{n}）と変形でき、(n=0 1 2 ...)
この関係式から
A^2-A^1=3(A^1-A^0)
となるため
3^{n-1}(A^{2}-A^{1})=3^{n-1}×3(A^1-A^0)=3^n(A^1-A^0)
となります．

どうでしょう？
No.4385 - 2010/02/10(Wed) 18:12:45
☆ Re: / mori ♂ [東海] [社会人]
londontrafficさんはじめまして。
早速回答ありがとうございます。

A^2-A^1=3(A^1-A^0)
あー、こんなことに気づかなかったとは。
納得できました。

やはり独学でやっていると聞ける方が周りにいないので、助かりました。
ありがとうございました。
No.4386 - 2010/02/10(Wed) 18:48:52
★ (No Subject) / R ♀ [関東] [高校2年生]
こんにちは、以前にも質問させてもらったものです。

微分の問題です。
ｙ＝a^2-√(a^4-x^4)/x^2の導関数を求めなさい。
という問題です

商の微分法を使って解こうと思ったのですが、
a^2-√(a^4-x^4)の微分の仕方が分かりません。

この考え方であっていたらこの微分の仕方の解説をお願いします。

ほかの考え方なら、正しい回答をお願いします。

よろしくお願いします。
No.4357 - 2010/02/06(Sat) 14:15:42
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
Ｒさん、こんばんは。

数3って、ただの計算問題でもすごく難しいですよね・・

「商の微分法を使う」でokですよ。

a^2-√(a^4-x^4)の微分ですが、いわゆる「合成関数の微分法」ってやつを使います。

たとえば、log(x^2-1)を微分したいとき、logx=f(x),x^2-1=g(x)として、

log(x^2-1)=f(g(x))で、これを微分すると、f'(g(x))・g'(x)になるというやつです。
（つまり、まずはfを微分して、次にfの中のgを微分したやつをかけるってこと）

自分が上げた例では、logxを微分すると、1/xなので、log(x^2-1)を微分すると、
f'(g(x))・g'(x)=（1/g(x))・g'(x)=2x/x^2-1
となります。

√(a^2-x^4)の微分では、何をf(x),g(x)とおけばいいのか・・
問題はそこですね。

a^2というのは定数なので、普通の数字と同じように扱ってしまってokです。
No.4360 - 2010/02/07(Sun) 01:14:42
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
回答ありがとうございます!!

a^2-√(a^4-x^4)を微分すると、
分母=a^2-√(a^4-x^4)
分子=xを微分すると=√(-4x^3)

となるのでしょうか？
No.4361 - 2010/02/07(Sun) 11:10:32
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
うーん、ちょっと違いますね・・

段階的に考えていきましょう。

たとえば、数?Uでは、3-x^2を微分するときには、3を微分したら0で、x^2を微分したら2xだから、(3-x^2)'=-2xと、やりましたね。

この問題でも、a^2-√(a^4-x^4)を微分するときは、a^2をxで微分したら0になるから、
√(a^4-x^4)の微分さえできればいい、ということになります。

前回説明したように、√(a^4-x^4)を微分するのには、合成関数の微分法を考えていきます。この問題では、f(x)=√x,g(x)=a^4-x^4と考えてみましょう。
すると、f'(x),g'(x)はそれぞれどうなりますか？


注意ですが、「〜で微分する」ときには、〜以外の文字は、数字と同じように扱ってしまって結構です。

たとえば、x^2-aをxで微分するときは、aをただの数字として扱って、x^2をxで微分すると2xで、aをxで微分したら0だから、という考えのもと、(x^2-a)'=2xになります。

（くれぐれも注意しなければいけないのは、あくまで数字と同じように扱うのであって、無視していいわけではありません。）
No.4362 - 2010/02/07(Sun) 14:59:23
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
合成関数の微分をするときに、いちいち、f(x),g(x)とおいて考えるのは、面倒くさいかもしれませんが、慣れて、体で覚えるまでは、面倒くさくても、そうするようにしてください。

そのほうが、まだ慣れていないうちでは、だんぜん効率がいいです。

（以下、ヒントになるのでご注意を！！）

f(x)=√xを微分するときは、√xをx^(1/2)と考えてみてください。

x^aを微分すると、ax^(a-1)ですね。この問題では、a=1/2としただけです。
No.4363 - 2010/02/07(Sun) 15:10:36
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
f(x)=√x,
f´(x)=1/2√x

g(x)=a^4-x^4,
g´(x)=-4x^3

でいいのでしょうか？
No.4364 - 2010/02/07(Sun) 17:19:03
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
はい、okです。

f'(x)=1/(2√x),g(x)=-4x^3となります。

以上の結果から、√(a^4-x^4)の微分はどうなりますか？
No.4369 - 2010/02/08(Mon) 03:08:19
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
2x^3/√(a^4-x^4)
ですか・・・？
No.4370 - 2010/02/08(Mon) 13:35:43
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
あれれ、「−」が消えちゃってますよ。

これで、{a^2-√(a^4-x^4)}/x^2の微分もできましたね。

確認のため、もう２問。

√(a-x^2)を、xについて微分するとどうなりますか？

また、√(a-x^2)をaについて微分するとどうなりますか？

二問とも、「合成関数の微分」の問題です。（何について微分するのかに注意してください）
No.4373 - 2010/02/08(Mon) 21:19:26
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
遅くなってしまいすいません；

√(a-x^2)をxについて微分すると・・・
-x/√(a-x^2)

√(a-x^2)をaについて微分すると・・・
1/2√(a-x^2)

で当っていますか？
No.4377 - 2010/02/09(Tue) 17:43:49
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
はい、二問とも正解です！

数３の微積分は、計算演習が命ですから、これからその演習を欠かさずにするようにしてください。

大学入試でも、「次の微分をせよ。」みたいに、計算問題を大問でそのまま出してくるところもあるぐらいです。
No.4380 - 2010/02/10(Wed) 01:42:13
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
長々とお付き合いいただき、ありがとうございました!!

これから、計算演習がんばりたいと思います。
No.4381 - 2010/02/10(Wed) 11:52:19
★ (No Subject) / kei1959 ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。早稲田の過去問題を質問したいと思います。
空間図形の問題です。

四角錐OABCDにおいて、底面ABCDは長方形であり、辺ODは底面ABCDと垂直である。
また、AD=5√２、CD=OD=5である。辺ADの中点をP,辺OBの中点をQとしたとき、点Aから三角形PQCを含む平面におろした垂線の長さはいくらか。

解答では三角錐PQCAの体積を2通りで表すアプローチをする過程で、三角形OQCは直角三角形だと書いてありましたが、なぜなのかがわかりませんでした。ご回答お願いします。
No.4365 - 2010/02/07(Sun) 19:02:16
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．londontrafficと申します．

三辺OQ,QC,COの長さは容易に出てきますが，どうなるか計算してみてもらえませんか？
No.4372 - 2010/02/08(Mon) 19:24:46
☆ Re: / kei1959 ♂ [関東] [高校3年生]
計算すると確かに直角二等辺三角形でした。くだらない質問ですみません、ありがとうございました。
No.4374 - 2010/02/08(Mon) 21:48:38
★ (No Subject) / ヘボ太 [浪人生]
よろしくお願いします。
多分京大の問題だと思います。

「定数aは実数であるとする。方程式
(x^2+ax+1)(3x^2+ax-3)=0
を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。」

前半の部分をf(x),後半の部分をg(x)として、
f(x)=0の判別式をD1,g(x)=0の判別式をD2とする。
D1=(a+2)(a-2)
∴f(x)=0の実数解の個数は、
a>2,a<-2のとき２個。
a=±2のとき１個。
-2<a<2のとき０個。

D2-a^2+36>0よりg(x)=0の実数解の個数は２個。

次にf(x)=0,g(x)=0が共通解を持つ時を考えて、共通解をαとすると、
f(α)=0
g(α)=0　これを解いてα＝±√2

この時点で答えは出るのですが、ここで、α＝2,α＝-2をf(α)=0かg(α)=0に代入してaの値を求め、それをf(x)=0とg(x)=0に代入して確かに共通解を持つことを確かめる、という記述は必要ですか？
必要だとしたら理由もお願いします。
No.4352 - 2010/02/05(Fri) 00:42:34
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
はじめまして。ka-oです。

結論からいうと、
aの値を求めるところまでは必要ですが、共通解をもつことを確かめる必要はありませんよ。

ただ、確かめたい点があるので、面倒くさいかもしれませんが、へぼ太さんの
「実際のテストでこの問題がでたら、自分はこういう答えを書く！」
という、答えをかいてくれませんか？求める過程はいらないので、この問題の答えだけで結構です。
No.4354 - 2010/02/06(Sat) 03:16:14
☆ Re: / ヘボ太 [浪人生]
ka-oさん回答ありがとうございます。

自分は以下のように書きます。

【解答】
f(x)=x^2+ax+1
g(x)=3x^2+ax-3
とおき、f(x)=0の判別式をD1,g(x)=0の判別式をD2とする.

D1=(a+2)(a-2)
∴f(x)=0の実数解の個数は、
a＞2,a＜-2のとき２個。
a=±2のとき１個。
-2＜a＜2のとき０個。

D2-a^2+36＞0よりg(x)=0の実数解の個数は２個。

次にf(x)=0,g(x)=0が共通解を持つ時を考えて、共通解をαとすると、
α^2+aα+1=0･･･?@
3α^2+aα-3=0･･･?A
これを解いて、α=±√2
α=√2のとき、?@よりa=-(3√2)/2
α=-√2のとき、?@よりa=(3√2)/2

以上より、aの範囲と実数解の個数の関係は、
a＜-(3√2)/3のとき、4個。
a=-(3√2)/3のとき、3個。
-(3√2)/3＜a＜-2のとき、4個。
a=-2のとき、3個。
-2＜a＜2のとき、2個。
a=2のとき、3個。
2＜a＜(3√2)/3のとき、4個。
a=(3√2)/3のとき、3個。
(3√2)/3＜aのとき、4個。

（答えの部分は紙に書く場合は煩雑すぎるので表にすると思います。）
No.4358 - 2010/02/07(Sun) 00:09:11
☆ Re: / ka-o ♂ [学校教員]
いやー、こんなに丁寧に書いてくれて、ありがとうございます。

解答を見る限るでは、しっかりと理解されているようですね。

自分が、確かめたかったのは、

二次方程式f(x)=0とg(x)=0の共通解として、±√2があるとき、f(x)g(x)=0の実数解の個数は何個か。

ということなんです。

たとえば、共通解として、α=√2をもつとき、

f(x)は、f(x)=(x-√2)(x-b)

という形に、

g(x)はg(x)=(x-√2)(x-c)

というかたちになり、f(x)g(x)=0の実数解として考えられるのは、√2,b,cですね。

これだけでは、実数解の個数は3個とは、わかりません。b=cとなる場合があるからです。
ただ、この問題の場合は、絶対にb≠cとなるんですが、このことをへぼ太さんはどのように確かめられましたか？
No.4359 - 2010/02/07(Sun) 00:52:54
☆ Re: / ヘボ太 [高校１年生]
＞b=cとなる場合

全然気にしていませんでしたが、b=cのときf(x)=g(x)となりますから、
f(x)=x^2+ax+1、g(x)=3x^2+ax-3
の形から明らかにf(x)≠g(x)じゃないかと思います
No.4367 - 2010/02/07(Sun) 22:57:56
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
あっ、fとgの形からすでに明らかでしたね・・
自分で気づいてませんでした・・（汗

ただ、問題によっては、（特に式の次数が増えれば増えるほど）十分にありえることですので、注意するようにしてください。
No.4368 - 2010/02/08(Mon) 03:02:31
★ (No Subject) / kei1959 ♂ [関東] [高校3年生]
すみません、直角三角形は直角二等辺三角形の誤りでした。
No.4366 - 2010/02/07(Sun) 19:04:55
★ (No Subject) / kei ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは　
高校数学公式活用事典に出ている、積分法の応用についての質問です

底の半径が1.5m、深さが４ｍの直円柱状の容器に水が満たされている時、
容器の側面に及ぼす全圧力を求めよ。

（解）深さxm　から（x+Δx)m までの幅Δx（m）の側面に及ぼす水圧をΔPトンとする。
この幅の側面の面積は3πΔx(?u)に等しいから　
ΔP≒x・3πΔx=3πx・Δx

よって求める全水圧をPトンとすると
P＝∫(0 4)3πx・dx=24π≒75,4（トン）

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＞ΔP≒x・3πΔx=3πx・Δx
ここがわかりません。そこで圧力を「物理のエッセンスの浮力」から
水圧を調べると　水圧＝密度ｘ重力加速度ｘ高さ
とありましたので、この場合　密度ｘ重力加速度　部分を　１トン（/ｍ＾３）
と考えると、直円柱のx（ｍ）での圧力は　xトン（/?u）だから、
幅Δxの面積　とあわせて　3πx・Δx　と無理やり合わせてしまいましたが、
この考えでよいのでしょうか。

物理にも関係している問題の質問ですいません。お願いします。
No.4335 - 2010/02/01(Mon) 21:32:34
☆ Re: / kei ♂ [関東] [高校１年生]
＞水圧＝密度ｘ重力加速度ｘ高さ

水圧＝大気圧+（液柱の密度ｘ重力加速度ｘ液柱の高さ）
の誤りでした。　
No.4336 - 2010/02/01(Mon) 21:48:15
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
keiさん，こんにちは。

誠に申し訳ありませんが，ご質問の問題は物理内容と判断し，当掲示板の運営上，詳しい回答は差し控えさせていただきます。

keiさんの考え方でＯＫですとだけコメントさせていただきます。
No.4346 - 2010/02/04(Thu) 02:58:00
☆ Re: / kei ♂ [関東] [高校１年生]
わかりました。今度から注意して質問するようにします。
No.4351 - 2010/02/05(Fri) 00:10:26
★ (No Subject) / ケルン ♂ [中国] [高校3年生]
おはようございます。以前お世話になったことのあるケルンと申します。質問させていただきます。


ａを0でない実数とする。2次不等式ａｘ＾2−3ａ＾2ｘ＋2ａ＾3≦0の解を集合Ａ、ｘ＾2＋ｘ−2≧0の解の集合をＢとする。
(1)Ａ，Ｂをそれぞれ求めよ。
(2)Ａ∩Ｂが空集合となるようなａの値の範囲を求めよ。
(3)Ａ∪Ｂが実数全体の集合となるようなａの値の範囲を求めよ。

（1）Ａ＝｛ｘ｜ａ≦ｘ≦2ａ｝（ａ＞0のとき），｛ｘ｜ｘ≦2ａ，ｘ≧ａ｝（ａ＜0のとき}
　　Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≦ー2、ｘ≧1｝
であることはわかりましたが…。よろしくお願いします。
No.4327 - 2010/01/31(Sun) 09:12:03
☆ Re: / kinopy [塾講師]
ケルンさん，こんばんは。kinopyです。

(1)をきちんと解けたことで半分以上終わっているので，なんとかやりきってほしいです。
(2) を考える際，数直線を書かれましたか？
もし，書かれたなら，集合Bを書いた後，「A∩Bが空集合になるのは，a>0のときか，a<0のときか。それと，Aがどんな所にあるときか」
を考えてみてください。

もし，上記の事をすでにされていたなら，ケルンさんの分かったところまでを教えてください。
No.4332 - 2010/02/01(Mon) 00:42:51
☆ Re: / ケルン ♂ [中国] [高校3年生]
数直線を書いたら、Ａ∩Ｂが空集合になるのはａ＞０のときであることはわかりました。その時はＡにおいて２ａ＜１よりａ＜２ぶんの１とあらわせました。
その際にａ＜０が空集合にならない理由の説明も必要なのでしょうか？もしそうであったらその理由の記述方法が分からないので教えていただけるとありがたいです。
また、（３）がよくわからないので解説していただけるとありがたいです。

要望ばかりだしてすみません。
No.4338 - 2010/02/02(Tue) 17:54:25
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。
(2)についてはＯＫですね。
ただし，解答は　a>0のとき，a<1/2　だから　0<a<1/2…（答）
となります。

a<0のときの記述ですが，必要か？と言われれば必要ですね。
しかし，図を書いて数直線より不適。
程度でもいいと思いますが…^^;

正確に書くなら，このときにA∩Bの要素が１つでもあればいいので，
「a<0なので，2a-2はA∩Bの要素である」でＯＫです。
（もちろん，2a-3でも2a-100でもいいんですが…）

(3) ですが，a>0のときはダメなのはＯＫでしょうか？
1つ目の不等式の解が，a≦x≦2a (a>0)ですから，-2<x≦0はどうやってもA∪Bに入りません。
↑数直線からＯＫでしょうか？

a<0のときを考えればいいのですが，このとき，１つ目の不等式の解は
　x≦2a,a≦x　(a<0)です。

例えば，a=-1/2のときなんかはダメですよね？
↑これを数直線に書いて再度考えていただけますか？

あと一息頑張ってください。
(2)がノーヒントで行けた事を考えると，これで行けるんじゃないかと思いますが…

受験日が近い場合は即解説を入れますのでおっしゃってくださいね。
No.4342 - 2010/02/03(Wed) 01:56:09
☆ Re: / ケルン ♂ [中国] [高校3年生]
わかりました！あと一息がんばります。
丁寧な解説ありがとうございました。
No.4344 - 2010/02/03(Wed) 20:59:25
★ (No Subject) / anne ♀ [九州] [高校2年生]
はじめまして。私は学校のプリントの問題を解説していただきたいのですが・・・よろしくお願いします。

座標空間の3点Ａ(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)の定める平面上に点P(x,x,x)があるとき、xの値を求めよ。
No.4329 - 2010/01/31(Sun) 17:25:23
☆ Re: / kinopy [塾講師]
anneさん，はじめまして。kinopyです。

さて，4点A，B，C，Pが同一平面上にある条件はご存知でしょうか？
教科書を参照してもらえば載ってると思います。

その条件を元に取り組んでみて，分かりにくい個所があれば再質問してください。
No.4334 - 2010/02/01(Mon) 00:49:13
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