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★ (No Subject) / kei ♂ [関東] [浪人生]
おはようございます。　物理板ではいつもお世話になってます。浪人です。

シュワルツの不等式（定積分表示）についての質問です。
等号が成り立つのは常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)
と表される時である。　こここがわかりません。　f(x)=x+1 g(x)=2x+1
とすると　tf(x)+g(x)=(t+2)(x+1) になりますが、tの値によっては
０でない時もあるのではとか考えるとよくわかりません。　
お願いします。
No.4311 - 2010/01/30(Sat) 07:18:50
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
> g(x)=2x+2 のまちがいです。
No.4312 - 2010/01/30(Sat) 07:26:42
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
回答中です。
No.4314 - 2010/01/30(Sat) 17:46:27
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
はじめまして、ka-oです。

分からないのはもっともです！
だって、実際には、任意のtに対してtf(x)+g(x)=0→あるkに対して、f(x)=kg(x)は成り立ちませんので。
任意のｔに対して、tf(x)+g(x)=0ならば、f(x)=g(x)=0ですね。

残念ながら、貼り付けてある解答は、等号成立条件が間違っています。

いったん、はりつけてある模範解答の等号成立条件は無視して考えてみましょう。


まず、f(x)=0または、g(x)=0のときは、等号が成立するのは明らかですね。（かつではなく、またはです）
それでは他の場合を考えてみます。

∫{f(x)}^2dx=A
∫{f(x)g(x)}^2dx=B
∫{g(x)}^2=C

とおくと、
張り付けてある解答にもあるように、

任意のtについて、At^2+2Bt+C≧0
つまり、D/4≦0

ということになります。

よって、等号が成立するのは、D/4=0のとき。というのはよろしいでしょうか？

また、D/4=0のときは、

任意の実数tについて、At^2+2Bt+C=0‥‥?@
ある実数tが存在して、At^2+2Bt+C=0‥‥?A

のどちらだと思われますか。
具体例を考えてみると分かりやすいですよ。
x^2+2x+1みたいな。
No.4315 - 2010/01/30(Sat) 18:17:31
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
回答ありがとうございます。

f(x)=0,g(x)=0 以外についてはまだ解りません。暫く考えて見ます。
No.4320 - 2010/01/30(Sat) 19:58:47
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
ヒントです。

D/4=0でなかったら等号は成立しないのは、ほぼ明らかですね。
D/4＜0から導きだせるのは、シュワルツの不等式の等号を抜いたバージョンですので。
（つまり、=をつけないとB^2-AC＜0→B^2＜ACしか分からない）

考え方を変えてみてみましょう。

At^2+2Bt+C≦0について、D/4≦0と、=をつけるのはなぜでしょう？

自分の二つ目の質問とも、密接にかかわってきていますね。
No.4321 - 2010/01/30(Sat) 21:17:02
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
＞任意の実数tについて、At^2+2Bt+C=0‥‥?@
＞ある実数tが存在して、At^2+2Bt+C=0‥‥?A

＞のどちらだと思われますか。
＞具体例を考えてみると分かりやすいですよ。
＞x^2+2x+1みたいな。

2次方程式でD＝0の場合とは重解を持つことだから、?Aですね。
それに?@は恒等式だからA＝B＝C＝0になってしまいますね。

これをヒントに考えてみます。
No.4322 - 2010/01/30(Sat) 22:36:08
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
やっとわかった気がします。最初の模範解答は赤チャート?Vを基にしたものですが、
誤読してました。

＞等号が成り立つのは常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)
あるtに対して　常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)と表されるときである。
すると　tf(x)+g(x)=(t+k)f(x) となり　t=-k とすれば　tf(x)+g(x)=0ですね。　

こう考えれば理解出来る気がします。
No.4323 - 2010/01/30(Sat) 23:07:48
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
こんな感じで理解しました。
No.4324 - 2010/01/30(Sat) 23:18:13
☆ Re: / ka-o [学校教員]
はい、ずばりその通りです！

ただf(x)=0 またはg(x)=0という条件も忘れないように・・
No.4325 - 2010/01/30(Sat) 23:45:15
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
ありがとうございました。　長い間、誤解してたことがやっとわかりました。
今後ともよろしくお願いします。ｌ
No.4326 - 2010/01/30(Sat) 23:59:11
★ 京大０８過去問 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
こんにちは、08京大理系乙の過去問からの出題で、

定数aは実数であるとする。関数y=｜x＾2ー2｜とy=｜2x＾2+ax-1｜のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。
という問題で僕は

｜x＾2ー2｜=｜2x＾2+ax-1｜・・?@　
⇔±（x＾2ー2）＝（2x＾2+ax-1）・・?Aと同値変形をして
　⇔3x＾2+ax-3=０・・?B　、x＾2+ax+1=０・・?C

より、２つの2次方程式の実数解の合計で2個・3個（共通解をもつ）・4個の場合があると
したのですが、（つまり同年の文系や理系甲の問題と同じ考え方になる）

友人がx＾2ー2の正負の場合わけのときにｘ＝±√２で場合を分けているのだから
?Cのx＾2+ax+1=０が単に実数解をもつだけでは不十分で、?Cがｘ＜ー√２、ｘ＞√２
のｘの範囲の中で実数解をもつ必要ががあるのではないかというのですが、僕の同値変形は正解だと思うのですが、xの場合分けが必要ないということが友人にうまく説明できません。どうしたらいいですか？
No.4287 - 2010/01/24(Sun) 19:17:49
☆ Re: 京大０８過去問 / 一ノ谷 [社会人]
ケイイチさん，こんにちは．一ノ谷です．

ご質問の件，実践的には
　|A|=|B|⇔|A|^2=|B|^2⇔A^2=B^2
とするのが簡便ですが
＞ 場合分けが必要ないということが友人にうまく説明
ということなら
　|A|=|B|
⇔(A≧0,B≧0,A=B)または(A≦0,B≦0,-A=-B)または(A≧0,B≦0,A=-B)または(A≦0,B≧0,-A=B)…（＊）
とした後，例えば，(A≧0,A=B)ならばB≧0なので
　(A≧0,B≧0,A=B)⇔(A≧0,A=B)
に注意して
　（＊）
⇔(A≧0,A=B)または(A≦0,A=B)または(A≧0,A=-B)または(A≦0,A=-B)
⇔((A≧0またはA≦0),A=B)または((A≧0またはA≦0),A=-B)
⇔A=BまたはA=-B
と整理すれば良いでしょう．

以上，判り難い点があればご遠慮なくどうぞ．
No.4289 - 2010/01/25(Mon) 15:59:24
☆ Re: 京大０８過去問 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
回答ありがとうございます。

また、どうしても不明な箇所があれば質問させてください。
ありがとうございました。
No.4290 - 2010/01/25(Mon) 18:47:55
☆ 絶対値 / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]
もし?@の左辺を(?@）ｘ＜ー√２、ｘ＞√２(　?A）ー√２＜ｘ＜√２
と場合分けして考えるとしたら、右辺も2x＾2+ax-1の正負で場合わけして（ｘの範囲の中にａが入ってきてしまう）
?@⇔＋（x＾2ー2）＝＋（2x＾2+ax-1）、−（x＾2ー2）＝＋（2x＾2+ax-1）、
＋（x＾2ー2）＝−（2x＾2+ax-1）、−（x＾2ー2）＝−（2x＾2+ax-1）、
と４つの場合分けが必要で、実際は　±（x＾2ー2）＝（2x＾2+ax-1）・・?Aの２つのパターンに集約され、3x＾2+ax-3=０・・?B　、x＾2+ax+1=０・・?C
が実数解をそれぞれ何個持つかで考えるという方針でいくと、?Bと?Cはもともと(?@）ｘ＜ー√２、ｘ＞√２(　?A）ー√２＜ｘ＜√２というｘの範囲が違うので、共通解を持つはずがないです。となれば3個になる場合が求められないということになってしまうのですが、どこが間違いなのかわかりません。
　もし　|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B　を使う以外にはこの問題は解けないということに
なるのであるなら逆に、絶対値をはずす際にｘの範囲で場合わけしないと解けないというのはどんな問題なんでしょうか？　いいたいことが伝わるか不安ですが、よろしくおねがいします。
No.4296 - 2010/01/26(Tue) 15:49:43
☆ Re: 京大０８過去問 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
すみません、浪人生のケイイチです。間違えてしまいました。
No.4298 - 2010/01/26(Tue) 15:51:07
☆ Re: 京大０８過去問 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
やっぱりわかりません・・・。

もし?@の左辺を(?@）ｘ＜ー√２、ｘ＞√２(　?A）ー√２＜ｘ＜√２
と場合分けして考えるとしたら、右辺も2x＾2+ax-1の正負で場合わけして（実際の試験なら、このときｘの範囲の中にａが入ってきてしまうので普通はここで別の方針に切り替えるべきだとはわかっているのですが、別解として知りたいのです）

?@⇔＋（x＾2ー2）＝＋（2x＾2+ax-1）、−（x＾2ー2）＝＋（2x＾2+ax-1）、
＋（x＾2ー2）＝−（2x＾2+ax-1）、−（x＾2ー2）＝−（2x＾2+ax-1）、
と４つの場合分けができ、⇔　±（x＾2ー2）＝（2x＾2+ax-1）・・?Aの２つのパターンに集約され、?A⇔3x＾2+ax-3=０・・?B　、x＾2+ax+1=０・・?C
が実数解をそれぞれ何個持つかで考えるという方針でいくと、?Bと?Cはもともと(?@）ｘ＜ー√２、ｘ＞√２　　(?A）ー√２＜ｘ＜√２というｘの範囲が違うので、
共通解を持つはずがないです。となれば3個になる場合が求められないということになってしまうのですが、どこが間違いなのかわかりません。

　もし　|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B　を使う以外にはこの問題は解けないということなんでしょうか？　よろしくおねがいします。
No.4303 - 2010/01/28(Thu) 21:52:18
☆ Re: 京大０８過去問 / 一ノ谷 [社会人]
この掲示板での質問は任意の時点において１人１問ですので，ご注意ください．また，No.4296，No.4303 の質問に重複がありますが，No.4303 としてお答え致します．

＞ ?Bと?Cはもともと(?@）ｘ＜ー√２、ｘ＞√２　　(?A）ー√２＜ｘ＜√２というｘの範囲が違う

それは誤解です．No.4289 の A，B にそれぞれ
　x^2-2，2x^2+ax-1
を当てはめ，No.4289 の変形を経て得られるのが ?B，?C です．A，B の符号についての場合分けが No.4289 に示した変形（「かつ」や「または」で結ばれた式の整理）により，例えば (A≧0またはA≦0) ，すなわち，A の符号を問わない形にまとめられている点が重要です．

＞ |A|=|B|⇔A=BまたはA=-B　を使う以外にはこの問題は解けない

わけではなく．y=-(2x^2+ax-1) の頂点の軌跡が y=2x^2+1 であること，2x^2+ax-1=0 の解の値の範囲などに注意すれば，?@ の辺々の関数のグラフによる直観的な処理も可能ですが，その場合にも曲線の接触条件には判別式を用いるのが普通です．
No.4305 - 2010/01/29(Fri) 12:07:31
☆ Re: 京大０８過去問 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
何回もていねいに回答していただき、ありがとうございます。

「y=-(2x^2+ax-1) の頂点の軌跡が y=2x^2+1 であること，2x^2+ax-1=0 の解の値の範囲などに注意すれば，?@ の辺々の関数のグラフによる直観的な処理も可能ですが・・」

これだけでは？なので、実際にどうするのかぜひ聞きたいですが、それにこだわる以上に

もっと大事な、受験に必要な(？）木の幹の部分をもっと太くすることに専念したいと思

います。　　　　

その際にまた不明な点があればよろしくおねがいします。

ありがとうございました。
No.4310 - 2010/01/29(Fri) 20:03:18
★ 水の問題 / ヘボ太 [浪人生]
よろしくお願いします。
信州大学の問題です。
自分なりに解いてみたところ、(1)は正解だったのですが、(2)は答えが全然違いました。
どこが間違っているのが、ご指摘お願いします。
(1)は関係ないと思うので(2)のみ自分の解答を書きます。

【問題】
曲線y=(e^x)-1(x≧0)をy軸周りに1回転して出来る容器がある。長さの単位はcmとし、この容器に毎秒a(cm^3)の割合で水を注ぐ。
(1)水面の高さが(e^c)-1(cm)に達するのに要する時間をa,cを用いて表せ。
(2)水面の高さがb(cm)に達したときの水面の上昇する速さ、および水面の面積が増加する速さをa,bを用いて表せ。

【自分の解答】
(2)
ΔV＝S×Δyより、両辺をΔtで割って、
ΔV/Δt＝S×Δy/Δt、すなわち、
水量の増加速度＝水面の面積×水面の上昇速度
が成り立つ。よって、
水面の上昇速度＝水量の増加速度÷水面の面積＝a/(πb^2)(cm/秒)･･･答え

また、水面の面積の増加速度(すなわりdS/dt)は、
dS/dt=(dy/dt)×(dS/dy)･･･?@
ここで、S＝πb^2より、dS/dy=2πy ∴y=bのとき2πb
また、y=bのとき、上で求めたようにdy/dt=a/(πb^2)
よって、?@に代入して、dS/dt=a/(πb^2)×2πb＝2a/b･･･答え
No.4304 - 2010/01/28(Thu) 22:29:21
☆ Re: 水の問題 / 一ノ谷 [社会人]
ヘボ太さん，こんにちは．一ノ谷です．

　y=e^{x}-1⇔x=log(1+y)
より，水深が y のとき，水面の面積は π(log(1+y))^{2} です．
この点を改めれば正答に至るでしょうが，それ以前の
＞ ΔV＝S×Δyより、両辺をΔtで割って
がやや乱暴ですね．
No.4306 - 2010/01/29(Fri) 12:15:01
☆ Re: 水の問題 / ヘボ太 [浪人生]
ホントでした。ありがとうございました。

＞それ以前のΔV＝S×Δyより、両辺をΔtで割ってがやや乱暴ですね．

このタイプの問題を解く時は、変な導入を書かずに
「水量の増加速度＝水面の面積×水面の上昇速度
が成り立つ。」
という記述だけで十分なのでしょうか？
前半の流れは1対1対応の演習という本を参考にしたのですが、その本でも解答では結果しか書いてなくて、「Δtで割って･･･」という部分は解答の欄外で解説してあった部分なので便宜的な書き方なのかなと、解答に書いていいのか疑問に思っていました。
No.4307 - 2010/01/29(Fri) 12:23:31
☆ Re: 水の問題 / 一ノ谷 [社会人]
＞ 水量の増加速度＝水面の面積×水面の上昇速度
これは，教科書の体積（ここでは水量）の公式
　(水量)=∫_{0}^{(水深)} (水面の面積) dY
の辺々を時刻で微分すれば得られるので，本問では（１）の
　at=∫_{0}^{y} π(log(1+Y))^{2} dY
の辺々を t で微分するのが簡潔でしょう．
No.4308 - 2010/01/29(Fri) 12:42:33
☆ Re: 水の問題 / ヘボ太 [高校１年生]
わかりました。
ありがとうございました。
No.4309 - 2010/01/29(Fri) 12:48:13
★ 同値変形 / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]
こんにちは、07中京大の過去問からの出題で、

方程式｜x＾2ー4｜−2x−ｋ＝０が異なる３つの実数解を持つときのｋの
値を求めよという問題でy＝｜x＾2ー4｜−2xとY=ｋの２つの
グラフの共有点から求めたのですが、（K=４、K=５）

同値変形をするなら｜x＾2ー4｜＝2x＋ｋ・・★から
ｘ＜ー２、ｘ＞２のときx＾2ー4＝2x＋ｋ・・?@
ー２≦ｘ≦２のとき−x＾2＋4＝2x＋ｋ・・?A

　⇔x＾2−2x-ｋ−４=０・・?B　、x＾2+2x＋k−4＝０・・?C
　　（ｘ＜ー２、ｘ＞２）　　　　（ー２≦ｘ≦２）
で、（?@）?Bと?Cが共通解をもち、かつそれぞれ異なる２つの実数解をもつとき
　　（?A）?Bと?Cの一方が重解をもち、かつ他方が、その重解以外の異なる２つの実数解　　　　　をもつとき
という２つの条件があって?@の場合は
★が３つの実数解をもつので・・ここからαを共通解として
?B?Cにx＝αを代入して?B−?Cよりk＝−２αが求まり
?Bにコレを代入してα＝２、−２でｋ＝４とー４となり

?Aの場合はD＝０よりｋ＝５、−５という２つのｋが出て、?@も?Aも
うまくいかないのですが、どこからおかしくなったのか教えてください。
|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B
は理解できたのですが、|A|=B⇔±A＝BかつB≧０でしょうか？
であるなら上の同値変形は間違いになるのでしょうか？
頭の中が混乱しています。絶対値の場合分けと、同値変形がうまく
区分け(？）できません。　よろしくおながいします。
No.4292 - 2010/01/25(Mon) 22:21:24
☆ Re: 同値変形 / londontraffic [教育関係者]
おはようございます．londontrafficと申します．
まず確認ですがNo.4287で質問をされたケイイチさんでしょうか？であれば，浪人生の方ですね？

では，本題に移ります．
ケイイチさんは同値変形に問題ありだとお思いのようですが，私は原因が別の所にあると思っています．

例えば，虚数解を持つ２つの２次方程式
x^2+x+1=0とx^2-2x+5=0で両辺の差をとると3x-4=0すなわちx=4/3
このx=4/3は２つの２次方程式の何になるでしょう？

また，
>で、（?@）?Bと?Cが共通解をもち、かつそれぞれ異なる２つの実数解をもつとき
>　　（?A）?Bと?Cの一方が重解をもち、かつ他方が、その重解以外の異なる２つの実数解　　　　　をもつとき
としていますが，もともと　ｘ＜ー２、ｘ＞２とー２≦ｘ≦２で場合分けされているので，共通解を持つことは無いはずですよね．

式変形ですべてを済ませようとすると，なかなか厳しいものがあると思います．
スタンダードなやり方を身につけていらっしゃるようなので，そちらで解答を作った方が，時間も無駄にはならないと思います．いかがですか？
No.4294 - 2010/01/26(Tue) 06:04:47
☆ Re: 同値変形 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
londontrafficさん、ありがとうございます。
すみません、浪人生のケイイチです。まちがえてしまいました。

「例えば，虚数解を持つ２つの２次方程式
x^2+x+1=0とx^2-2x+5=0で両辺の差をとると3x-4=0すなわちx=4/3
このx=4/3は２つの２次方程式の何になるでしょう？」ですが、
共通解ではないし、２つのグラフの交点のｘ座標ですか？

また、もうひとつの「（?@）?Bと?Cが共通解をもち、かつそれぞれ異なる２つの実数解をもつとき
>　　（?A）?Bと?Cの一方が重解をもち、かつ他方が、その重解以外の異なる２つの実数解　　　　　をもつとき
としていますが，もともと　ｘ＜ー２、ｘ＞２とー２≦ｘ≦２で場合分けされているので，共通解を持つことは無いはずですよね．」というのは納得ですが、ではどんな同値
変形になるのか、グラフを用いて解く以外の方法を試されたときにどうするかをぜひ知りたいのですが・・

別の質問で出した、京大08理系乙の問題は絶対値をはずさずにグラフで解くのは無理（？）だからこそ|A|=|B|⇔A=BまたはA=-Bの同値変形をしてから解く方法を、どの予備校の解答でも使っているのだと思うのですが、わざわざ面倒なことを考える必要も
ないのかなと言われそうですが、気になってしかたがないので、よろしくご指導ください。
No.4295 - 2010/01/26(Tue) 15:04:04
☆ Re: 同値変形 / londontraffic [教育関係者]
はい．ではいきましょう．

最初に２つの２次方程式のことですが，x=4/3は何の意味も持ちません．もし２つの放物線y=x^2+x+1とy=x^2-2x+5であったらケイイチさんの言うとおり，「２つのグラフの交点のｘ座標」となります．
この例からもわかる通り，共通解をもつ２つの２次方程式の問題は，出てきたものに対して解の吟味をしなくてはなりません．ですので，ケイイチさんはその吟味を忘れているのです．
（連立方程式の同値性については，本掲示板のNo.2737・No.2873で河童先生が詳しく説明されていますので，参考になさってください．）

次に同値変形についてですが，最初の書き込みのとおりで間違いないです．No.4287とは違い，2x＋ｋが負になる可能性があるのですんなり外すワケにはいきません．

>グラフを用いて解く以外の方法
場合分けは
1)片方が重解をもつとき，もう片方が異なる２つの解をもつ（勿論，すべて区間内に）
2)共に異なる２つの実数解をもち，片方は２つとも区間内，もう片方は一方だけ区間内
ですかね．いわゆる「解の配置」の問題になるので，グラフの利用または解と係数の関係を使った解法が考えられそうですが，グラフを使わないとなると解と係数の関係．実際手を動かしていないのでどうかはわかりませんが，できるかどうか怪しいですね．

受験生であるケイイチさんにとってあまりメリットが無さそうなのですが，どうですか？
No.4299 - 2010/01/26(Tue) 18:12:21
☆ Re: 同値変形 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
回答ありがとうございます。あまりメリットがないのはよくわかりました。

では絶対値のはずし方（計算の仕方？、同値変形？）で以下の２種類は何が違うのですか？
例えば、｜xー3｜＝2xを解く問題なら
　
｜xー3｜＝2x　⇔（ｘ≧3のときxー3＝2x、ｘ＜3のとき−x＋3＝2x）・・(?T）より　　　ｘ＝３とｘ＝１（これはそれぞれｘ≧3、ｘ＜3の条件に適する）
　
　がひとつで、もう一つは

｜xー3｜＝2x　⇔　2x≧0　かつ　xー3＝±2x・・（?U）　よりｘ＝１とｘ＝３（これらはｘ≧0の条件に適する）

というふうに?Tと?Uの2種類の同値変形があると考えていいのですか？
No.4300 - 2010/01/27(Wed) 13:30:06
☆ Re: 同値変形 / londontraffic [教育関係者]
>?Tと?Uの2種類の同値変形があると考えていいのですか？
本質的には同じだと思います．

2x≧0 かつ xー3＝±2x ⇔ 「2x≧0 かつ x-3=2x」または「2x≧0 かつ x-3=-2x」 ⇔ 「2x≧0 かつ x-3=2x」または「2x≧0 かつ -(x-3)=2x」
⇔ 「x-3≧0 かつ x-3=2x（∵x-3=2x≧0であるから）」または「-(x-3)≧0 かつ -(x-3)=2x（∵-(x-3)=2x≧0であるから）」⇔ 「x≧3 かつ x-3=2x」または「x≦3 かつ -(x-3)=2x」

ただ，「計算のしやすさ」や「答案を作るときの納得度」で２種類あると考えていいかもしれません．

かなり「同値」にこだわりをおもちのようですが，私がケイイチさんの指導者ならば「そんなつまらないことではなくほかのことにエネルギーを注ぎなさい」と言いたくなるほど，ケイイチさんには数学の力があると思います．是非志望校に合格できるよう頑張ってください．
No.4301 - 2010/01/27(Wed) 18:13:04
☆ Re: 同値変形 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]
londontraffic さん、丁寧な回答とても助かりました 。実は

「そんなつまらないことではなくほかのことにエネルギーを注ぎなさい」的なことを

久しぶりに学校に行った際に、高校の担任だった人(数学担当）にも言われたのです

が・・・気になると

解決しないとどうにも気持ちが悪くて・・

また、どうしても不明な箇所があれば質問させてください。

ありがとうございました。
No.4302 - 2010/01/28(Thu) 21:45:51
★ 計算 / 圭 ♂ [中国] [高校１年生]
試験対策プリントの模範解答でどうしてもわからないところがあります。

2/5t^5/2-2/3t^3/2+c
=2/15t^3/2(3t-5)+c

置換積分法の一部分の式です。
どうしても１行目の式から２行目の式に計算する
やり方がわかりません。
誰かわかる方いますか？
No.4282 - 2010/01/23(Sat) 16:58:01
☆ Re: 計算 / ka-o ♂ [教育関係者]
こんばんは。

t^(5/2)=t^{(3/2)+1}=t・t^(3/2)ですね。（t^2・t^3=t^(2+3)という感じで）

これでどうでしょう？
No.4293 - 2010/01/26(Tue) 02:36:30
★ 置換積分法 / 圭 ♂ [中国] [高校3年生]
次の不定積分を求めよ。
∫ｘ√（ｘ＋１）ｄｘ
式や解説を詳しくお願いします。
No.4278 - 2010/01/23(Sat) 09:54:58
☆ Re: 置換積分法 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
圭さん，こんにちは。

「書き込まれる方へのお願い」にありますように，当掲示板では問題文のみの書き込みはご遠慮いただいております。
No.4280 - 2010/01/23(Sat) 14:21:24
☆ Re: 置換積分法 / 圭 ♂ [中国] [高校3年生]
すみません。試験対策プリントの模範解答で分からないところがあります。
（解答）
x+1=tとおく
x=t-1
dx/dt=1
故にdx=dt

∫x√(x+3)dx
=∫(t-1)√(t)dt
=∫(t^3/2-t^1/2)dt
=2/5t^5/2-2/3t^3/2+c
=2/15t3/2(3t-5)+c
=2/15√(x+1)^3｛3(x+1)-5｝+c
=2/15(x+1)(3x-2)√(x+1)+c

途中式の
=∫(t-1)√(t)dtから
=∫(t^3/2-t^1/2)dtになる計算方法を
詳しく教えて頂きたいです。
No.4281 - 2010/01/23(Sat) 14:42:12
☆ Re: 置換積分法 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

数２の教科書の「指数の拡張」のところを読み返してください。
分数指数を用いると，√t はtの何乗と表すことができますか？
No.4284 - 2010/01/23(Sat) 20:17:06
☆ Re: 置換積分法 / 圭 ♂ [中国] [高校１年生]
すみません。遅くなりました。
t^1/2です。
No.4286 - 2010/01/24(Sun) 16:28:10
☆ Re: 置換積分法 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

はい。そのとおりです。
ということで，解決されましたか？
No.4288 - 2010/01/25(Mon) 02:50:40
☆ Re: 置換積分法 / 圭 ♂ [中国] [高校3年生]
解決しました。ありがとうございました。
No.4291 - 2010/01/25(Mon) 20:59:47
★ 漸化式で / mori ♂ [東海] [社会人]
宜しくお願いします。
28歳再受験のものです。
年度は分かりませんが、大阪大理系の問題です。
ｘ≠1に対して　f_{1}(x)＝1／(ｘ-1)＾2　とおく。
f_{n+1}(x)＝xf_{n}(x)+n+1(n≧1)　によってxf_{n}(x)を定義する。
このときlim _{x rightarrow infty}frac{f_{n}(e^1/n)}{n^2} をもとめよ。
という問題で、
数Bの漸化式変形の応用を用いて解けますか？
例えば、a_{n+1}=2a_{n}+3{n}+1なら　α-2α=3{n}+1　α=-3{n}-1 のようなよく使う変形を用いてです。
何度かやってみたのですが、計算間違いをしているのか、そもそもxという変数？があるため出来ないのか行き詰っています。
この変形は、定数でないと利用できないのですか？
初めて数式をネット上で書いたので間違っているところ、分からない等ありましたらご指摘下さい。
No.4256 - 2010/01/20(Wed) 11:13:13
☆ Re: 漸化式で / kinopy [塾講師]
moriさん，はじめまして。kinopyです。

さて
> 数Bの漸化式変形の応用を用いて解けますか？
それで解けるのですが…

> 例えば、a_{n+1}=2a_{n}+3{n}+1なら　α-2α=3{n}+1　α=-3{n}-1 のようなよく使う変形を用いてです。
の解法が間違っています。

moriさんのしようとしている方法は　a_{n+1}=2a_{n}+(定数)
（↑で言う「定数」とは「nに関係のない定数」です）
という形の漸化式にしか使えません。

>a_{n+1}=2a_{n}+3{n}+1
のような形の場合は別の方法をとらねばなりません。
お持ちの参考書などで，探してみてください。
その上で分かりにくい個所を質問していただけますか。
No.4270 - 2010/01/22(Fri) 02:16:57
☆ Re: 漸化式で / mori ♂ [東海] [社会人]
初めまして。回答ありがとうございます。
仰るとおり、よく考えたら根本的な所を勘違いしていました。
もう一度調べて解きなおしてみます。
また、どうしても不明な箇所があれば質問させてください。
ありがとうございました。
No.4283 - 2010/01/23(Sat) 19:54:35
★ (No Subject) / R ♀ [関東] [高校2年生]
数学?Vの微分の問題です。

定義にもとづきｆ（ｘ）＝√ｘ＋２の導関数を求めなさいという問題です。

定義通りにｆ（ｘ＋ｈ）−ｆ（ｘ）/ h に代入するときに、
ｆ（ｘ＋ｈ）＝（√ｘ＋ｈ＋２）なのか？（√ｘ＋ｈ＋４）なのか？
どう表すべきなのか分かりません。

どのように考えればいいのか考え方も含め教えてください。
よろしくお願いします。

分かりずらいですが、すべて（ルートｘ＋２）です。
No.4266 - 2010/01/21(Thu) 18:34:19
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
え〜っと，こんばんは，ＣＯＲＮＯ と言いますが…
回答するためには，いくつかの疑問に答えていただかないといけません．

まず，
＞ｆ（ｘ）＝√ｘ＋２
　がわかりません．
＞すべて（ルートｘ＋２）です。
　と書いていただいても同様です．
　つまり，
　　　√(ｘ＋２)
　なのか
　　　(√ｘ)＋２
　なのかということです．
　まず，ここを明確にしてください．

　次に，
＞ｆ（ｘ＋ｈ）＝（√ｘ＋ｈ＋２）なのか？（√ｘ＋ｈ＋４）なのか？
　です．
　私が入力したように，かっこを多用してもう一度書き込んでみてください．
　特に，２つめの”４”がどうして出てきたのか不明です．
No.4267 - 2010/01/21(Thu) 19:04:01
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校１年生]
すみません"
ｆ（ｘ）＝√(ｘ＋２)の導関数を定義に基づいて求めなさいという問題です。

そこで　ｆ（ｘ＋ｈ）の表し方が分かりません。

私はｆ（ｈ）＝√（ｈ＋２）になるのかなと思い、ｆ(x＋ｈ）＝√（ｘ＋ｈ＋４）
としてしまいました。

正しい考え方をよろしくお願いします。
No.4271 - 2010/01/22(Fri) 08:19:16
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは．

なるほど，わかりました．
では，これを考えてください．

Ｑ．ｆ(ｘ)＝ｘ＋２ のとき，次はどうなりますか．
　(１) ｆ(２)
　(２) ｆ(ａ)
　(３) ｆ(−ａ)
　(４) ｆ(ａ＋１)
　(５) ｆ(ａ＋ｈ)
No.4273 - 2010/01/22(Fri) 19:33:39
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
(1)4
(2)a＋２
(3)-a＋2
(4)a＋3
(5)a＋h＋2

でしょうか？
No.4274 - 2010/01/22(Fri) 20:50:36
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
そうです！！！

だったら，
ｆ(ｘ)＝√(ｘ＋２) のときの ｆ(ｘ＋ｈ) は大丈夫でしょう？
No.4275 - 2010/01/22(Fri) 20:59:09
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
√(x＋h＋2）でいいのですか？
No.4276 - 2010/01/22(Fri) 21:24:41
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
そうです
No.4277 - 2010/01/23(Sat) 05:23:28
☆ Re: / R ♀ [関東] [高校2年生]
詳しく教えていただきありがとうございました！

とてもよく分かりました。
長々とお付き合いいただき感謝しています！！
No.4279 - 2010/01/23(Sat) 09:55:28
★ (No Subject) / りん ♀ [関東] [高校2年生]
数学?Vの無限級数についての問題です。

∞　　　 n-1 n＋1
?? （x-1） (x-2) が収束するような実数xの値の範囲を求めなさい。
n=1

という問題です。

無限等比級数の収束の条件、初項=0 または　-1〈公比〈1 が使えるかと思ったのですが・・・n＋１乗の部分が計算できません。


わからなくて困っています。ぜひ回答よろしくお願いします。
No.4246 - 2010/01/19(Tue) 17:13:12
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
りんさん，こんにちは。回答が遅くなり申し訳ありません。


＞n＋１乗の部分が計算できません。

りんさんがどのような計算をしているのかがよくわからないのですが，ひょっとしたら，(x-1)^{n-1}と(x-2)^{n+1}を別々に分けて考えているのかな？

(x-1)^{n-1}(x-2)^{n+1} をひとつのものとみて，n=1 を代入することで，この数列の初項は (x-2)^2 とわかります。

n=2,3,4,…　を代入することで，この数列はどのような数列であるのか？　もし等比数列なら公比がどうなるかを考えてみてください。
No.4260 - 2010/01/21(Thu) 16:36:43
☆ Re: / りん ♀ [関東] [高校１年生]
ありがとうございます！！
別々に分けて考えてしまっていました。

計算してみたら、
３−√5/２〈Ｘ〈３＋√5/２になり、答えと一致しました！

１つ質問なのですが、初項が０になる時の
（ｘ−２）＾２＝０でＸ＝２というのは今回はこの範囲に入っているために書いていないのでしょうか？
もし範囲の中に入っていない場合は、初項が０になる場合を答えに書いていいのでしょうか？
No.4263 - 2010/01/21(Thu) 18:00:28
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

この問題のように，見慣れないシグマの問題は，k=1,2,3…と代入して書き出してみると，解法が思いつくことが多いです。

＞Ｘ＝２というのは今回はこの範囲に入っているために書いていないのでしょうか？
はい，その通りです。

＞もし範囲の中に入っていない場合は、初項が０になる場合を答えに書いていいのでしょうか？

答えに含めなければいけません。
　Σ(x-3)(x-1)^{n-1} であれば，収束する条件は　0＜x＜2,x=3 となります。
No.4264 - 2010/01/21(Thu) 18:23:35
☆ Re: / りん ♀ [関東] [高校2年生]
丁寧に回答していただきありがとうございました！

とても分かりやすかったです。
No.4272 - 2010/01/22(Fri) 08:42:08
★ よろしくお願いします。 / kana ♀ [近畿] [高校3年生]
　
初めまして。
学校でしているプリントの問題がよくわかりません。
問１、２はなんとなくやってみたのですが、不安です。


ｘ≧０において、関数f(x)=-xe^(-x^2)を考える。
次の問いに答えよ。
(1)y=f(x)の接線で、傾きが最大であるものを求めよ。
(2)(1)で求めた接線と曲線y=f(x)は接点以外に共有点をもたないことを示せ。
(3)(1)で求めた接線と、曲線f=(x)およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

よろしくお願いします。
No.4232 - 2010/01/18(Mon) 21:50:55
☆ Re: よろしくお願いします。 / ka-o ♂ [教育関係者]
ka-o解答中です。
No.4237 - 2010/01/19(Tue) 00:11:09
☆ Re: よろしくお願いします。 / ka-o ♂ [学校教員]
はじめまして、ka-oです。

本来ならじっくりとやっていきたいのですが、受験前ということもあり、これだけに時間をとられるわけにもいきませんので、サクッと、しかし分かりやすい回答を意識していきます。

問題１ですが、この問題は計算は面倒ですが、おそらく計算ミス以外に引っかかるようなところはないと思われます。
ちなみに、自分の解答では、y=7/2e^(-9/4)x-27/4e^(-9/4)になりました。
また、接点の座標は(3/2,-3/2e^(-4/9))です。

問題２ですが、(1)で求めた接線をg(x)とおきます。さて、x≧0で交点が一つだけということは、f(x)=g(x)を満たすxが、x≧0では、一つしかないということを示せばよいわけです。
ここで、f(x)=g(x)を満たすxというのは、(1)からも分かる通り、x=3/2ですね。

ちなみに、
0≦x＜3/2で、f(x)＞g(x)
x=3/2で、f(x)=g(x)
3/2＜xで、f(x)＜g(x)
となります。

いろいろなやり方があると思われますが、どのようにやられましたか？
考え方だけでも、「自分はこうやってやってみたんだけど・・」というのを書き込んでいただけるとうれしいです。

問題３ですが、おそらく、図をかこうとしたが、意味が分からなくなったのでは？と、思われます。
この問題では、g(x)を接線と考えずに、ただ、f(x)と(3/2,f(3/2))で交わる直線と考えて割り切って書いてみてください。

接しているようには見えない接線も、実は存在するんです・・
No.4238 - 2010/01/19(Tue) 00:47:17
☆ Re: よろしくお願いします。 / kana ♀ [近畿] [高校3年生]

ありがとうございます。

私の解答では、
(1)y=e^(-x^2)｛2x^2-1｝
(2)は同じ証明の方法でしたがx=1/2
となりました（汗

数?VCでやっているプリントなのですが、
微分積分の分野ですので微分積分を
使って解くのだと思うのですが・・・
どうしても(3)を積分で解くことができません。

今から学校ですので、
また帰ってから来ます。

すいませんが、もう1度
解説よろしくお願いします。
No.4240 - 2010/01/19(Tue) 07:48:07
☆ Re: よろしくお願いします。 / ka-o ♂ [教育関係者]
kanaさん、こんばんは。

(1)で求めるは、直線の方程式で、f'(x)ではありませんよ。

あと、昨日の自分の解答も間違えてました・・
すみません。

(1)の解答を書くと、


f'(x)=(2x^2-1)e^(-x^2)
で、f'(x)は接線の傾きを表すので、f'(x)のx≧0における最大値を求めればよい。

f''(x)=-2x(2x^2-3)e^(-x^2)
よって、極値をとるxの値は、x=0,√(3/2)

0≦x≦√(3/2)→f''(x)≧0→傾きf'(x)は単調増加
√(3/2)≦x→f''(x)≦0→傾きf'(x)は単調減少

以上より、傾きf'(x)はx=√(3/2)のとき、最大値を取る。f'(√（3/2))=2e^(-3/2)である。

x=√(3/2)の時、f(x)=-√(3/2)e^(-3/2)より、接点の座標Aは、(√(3/2),-√(3/2)e^(-3/2))である。

よって求める直線の式は、傾きが2e^(-3/2)で、点Aを通るものなので、
y=2e^(-3/2)x-3√(3/2)e^(-3/2)
である。

ちなみに、x=√(3/2)というのは、f(x)の変曲点（グラフの凹凸が変わる場所）になります。

どこか自分の解答と違うぞという点があれば、教えてください。


(2)ですが、
0≦x＜√(3/2)で、f(x)＞g(x)
x=√(3/2)で、f(x)=g(x)
√(3/2)＜xで、f(x)＜g(x)
となりますね・・・

(1),(2)が納得できたら、(3)に行きましょう。
No.4252 - 2010/01/19(Tue) 23:35:08
☆ Re: よろしくお願いします。 / kana ♀ [近畿] [高校１年生]
お返事おそくなってすいません。
問題、理解することができました。
ながながとお付き合いいただき
ありがとうございました。
No.4259 - 2010/01/21(Thu) 05:24:34
★ (No Subject) / あ ♂ [近畿] [中学生]
《中大杉並》問題・・・次の２直線が重なるように、定数ａ，bの値を定めよ。　　　　　　　　　　　ax＋3y＋b＝０　　x-(a-2√3)y＋1＝０　　です。　　　　　　　　　　　　　　　　お願いします。全く分かりません。教えてください。
　　　　
No.4233 - 2010/01/18(Mon) 21:57:14
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [教育関係者]
ax＋3y＋b＝０を第１式，x-(a-2√3)y＋1＝０を第２式とします。

２直線が重なるということは、２つの式が一致する訳ですから、

第２式で両辺をa倍して、xの係数を揃える。
もしくは、
第２式で両辺をb倍して、定数項を揃える。

両式を比較すると、a=b　が分かり、後はyの係数が等しくなるので・・・
で、どうですか？
No.4241 - 2010/01/19(Tue) 09:38:19
☆ Re: / あ ♂ [近畿] [中学生]
早速の解答、ありがとうございます。
学校でまだ習っていない範囲なので、充分に理解できません。
申し訳ありませんが、もう少し説明していただけませんか？
よろしくお願いします。
No.4242 - 2010/01/19(Tue) 14:01:07
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [教育関係者]
前回の補足です。

「２直線が重なる　→　同じ式で表される」はＯＫですよね？

第２式で両辺をa倍して、xの係数を揃えると、
第２式は、ax-a(a-2√3)y＋a＝０になります。
第１式は、ax＋3y＋b＝０ですから、yの係数，定数項を比べると、
-a(a-2√3)=3　，　a=b　となります。
後は、-a(a-2√3)=3を解くだけですが、１次関数をまだ完全に習っていない
ということは、２次方程式もまだ、でしょうか？？
No.4244 - 2010/01/19(Tue) 14:39:48
☆ Re: / あ ♂ [近畿] [中学生]
ありがとうございました。理解できました。答えは√３になりました。　　　　　　　　　　　
No.4247 - 2010/01/19(Tue) 17:29:55
☆ Re: / あ ♂ [近畿] [中学生]
できればこの問題も教えてください。お願いします。　　　　　　　　　　　　　　　　　　
模型自動車Ａ,Ｂ,Ｃがある。Ａの速度は秒速でＢより0.2ｍ速く、Ｃより0.3ｍ遅い。
Ａ，Ｂ，Ｃ3台を、地点Ｐから地点Ｑまで走らせた。
Ａ，Ｂは同時に発車させ、ＡがＰＱ間の距離の50分の21を走った地点でＣを発車させた。ＢがＰＱ間の距離の5分の4を走った時点でＣはＱに到着した。
この時、模型自動車Ａの速度を求めよ。<灘>

模型自動車Ａの速度を秒速Ｘｍとするからはじめてますが、最初から違うのでしょうか？
　　
No.4248 - 2010/01/19(Tue) 17:34:34
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
この掲示板は高校数学の質問のみを受け付けいますので，中学内容のご質問にはお答えできませんのでご了承ください。
No.4253 - 2010/01/19(Tue) 23:37:13
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [教育関係者]
新矢（運営者）様

失礼しました。
私が、最初からそのように対応していれば良かったですね。
すみませんでした。
No.4255 - 2010/01/20(Wed) 08:49:54
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
農場長様

はじめまして。お忙しい中，ご回答ありがとうございます。
直線の問題は内容自体は高校で扱うものと判断してご回答をお任せしておりましたので，お気になさらないでください。今後ともよろしくお願いします。

あ さん

高校入学されてからも，当掲示板をご利用いただければと思います。
その際は，個性的なＨＮでお願いします。
No.4257 - 2010/01/20(Wed) 14:05:46
☆ Re: / あ ♂ [近畿] [中学生]
新矢（運営者）様

　高校生の内容だけとは知りませんでした。すみませんでした。
　でも大変役に立ちました。いろいろとありがとうございました。


農場長様
　丁寧に回答をしていただいて、ありがとうございました。
　大変助かりました。
　
　
No.4258 - 2010/01/20(Wed) 21:00:56
★ (No Subject) / aaa ♀ [近畿] [高校2年生]
スタンダードの問題です。

実数x,y,zが
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/(x+y+z)
を満たすならば、
x+y,y+z,z+xのうち
少なくとも1つは0であることを示せ。

という問題なのですが、
まずどう手をだしたらいいかもわかりません;;
できるだけ詳しく解説お願いします。
No.4249 - 2010/01/19(Tue) 19:45:02
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
aaaさん，おはようございます．
この手の問題はほぼやり方が決まっていますので，手順を覚えましょう．
利用するのは
・「ab=0」ならば「a=0またはb=0」
です．例えば２次方程式(x-1)(x-2)=0はx=1,2を解にもちますが，それは
(x-1)(x-2)=0ならば「x-1=0またはx-2=0」であるのでx=1,2となるからです．

今回は
>x+y,y+z,z+xのうち少なくとも1つは0であることを示せ。
なので，
・(x+y)(y+z)(z+x)=0
を示せばいいのです．
【(x+y)(y+z)(z+x)=0ならば「x+y=0またはy+z=0またはz+x=0」であるからです】

よって，
条件式(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/(x+y+z)を計算・整理した式を使って
(x+y)(y+z)(z+x)を展開した式に当てはめて０となればok

どうでしょう．ちなみにこの問題は数学II＋Bの青チャートにも載っていますので，お手元にあれば参考になると思います．

何かあればレス頂きたいと思いますが，私の次のレスはおそらく金曜以降となりますので，ご了承くださいm(_ _)m
No.4254 - 2010/01/20(Wed) 06:00:03
★ (No Subject) / やま ♂ [関東] [高校2年生]
実数tに対して、0≦x≦2における｜x^3-3tx^2-3/4｜の最大値をf(t)とする。
f(t)の最小値を求めよ。

あるテキストに別解として下に記すヒントが載っていました。
ヒント：g(x)=x^3-3tx^2-3/4　（g´(x)=3x(x-2t)）のグラフを描いて考えると、f(t)は
　　　　|g(0)|、|g(2t)|、|g(2)|のうちの最大値に一致する。ただし、|g(2t)|が参加す　　　　るのは0＜2t＜2の場合のみ

まず0＜2t＜2の場合、
g(0)=-3/4
g(2t)=-4x^3-3/4
g(2)=-12t-29/4
ここで0＜t＜1⇔-4/19＜-4t^3-3/4＜-3/4=g(0)より|g(2t)|＞|g(0)|、
また0＜t＜1⇔-77/4＜-12t-29/4＜-29/4＜-3/4=g(0)より|g(2)|＞|g(0)|
従って|g(2t)|と|g(2)|がf(t)の候補にあがると思うのですが、以降、どちらがf(t)かを
調べたらよいのか全くわかりません。そもそも最初に私がとった方法で|g(0)|や|g(2t)|を比較する方法は正しいのでしょうか。
No.4228 - 2010/01/18(Mon) 10:33:14
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
0＜2t＜2の場合の考え方について、

|g(2t)|＞|g(0)|となった時点で、|g(0)|が最大値になる可能性は無くなります。

(0＜2t＜2の場合、|g(2t)|＞|g(0)|となった時点で、)
|g(2)|と|g(0)|の大小関係を調べることはあまり意味がありません。

やまさんのg(2)の式には誤りがありますが、
修正してg(2t)と同様の計算をすると、「負の数＜g(2)＜正の数」となりますので、

g(2)≧0とg(2)＜0と分けて考えて下さい。

後は、g(2)≧0, g(2)＜0に対応する|g(2)|を用いて、
|g(2t)|≦|g(2)|となるか|g(2t)|＞|g(2)|となるかを調べればよいことになります。

tの不等式|g(2t)|−|g(2)|≦0を解いてみて下さい。
(3次不等式ですが、因数定理や因数分解等を用いて、グラフの形を考えると解けます。)

|g(2t)|−|g(2)|≦0が解けたら、|g(2t)|−|g(2)|＞0の解はすぐ分かると思います。
No.4230 - 2010/01/18(Mon) 19:24:52
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
先ほどの修正を少し。(誤りではないのですが・・・。)

g(2)＜0の場合は、
g(x), |g(x)|のグラフの形から考えていくと、
|g(2t)|, |g(2)|のどちらが大きいかは計算しなくても分かります。

ですから、
g(2)≧0の場合について、
|g(2t)|≦|g(2)|となるか|g(2t)|＞|g(2)|となるかを調べて下さい。

つまり、0＜2t＜2の場合は、
i) g(2)＜0(1次不等式)
ii) g(2)≧0(1次不等式)かつ|g(2t)|＞|g(2)|(3次不等式)
iii) g(2)≧0(1次不等式)かつ|g(2t)|≦|g(2)|(3次不等式)
と分けられます。
No.4231 - 2010/01/18(Mon) 19:51:31
☆ Re: / やま ♂ [関東] [高校2年生]
ご丁寧な解説ありがとうございます。
回答をすすめていくにあたって、また新たな疑問がわきました。
0＜2t＜2の他に、t≦0、1≦tも考慮しないといけないと思うのですが、それぞれ場合分けして考えると、最小値もそれぞれ違うものになります。
問題の解答ではf(t)の最小値はt=1/2のときの5/4とだけあります。
となると場合分けをしてそれぞれのtの範囲に対応したf(t）の最小値を求め、さらにその中から一番最小となるものを解とするということでいいのでしょうか。
No.4239 - 2010/01/19(Tue) 07:45:30
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [塾講師]
書き込みの確認が遅くなりまして、すみません。

> 0＜2t＜2の他に、t≦0、1≦tも考慮しないといけないと思うのですが、
> それぞれ場合分けして考えると、最小値もそれぞれ違うものになります。

その通りですね。

> 問題の解答ではf(t)の最小値はt=1/2のときの5/4とだけあります。

> となると場合分けをしてそれぞれのtの範囲に対応したf(t）の最小値を求め、
> さらにその中から一番最小となるものを解とするということでいいのでしょうか。

その考え方で解答は得られます。大丈夫です。

または、それぞれのtの範囲に対応したf(t)のグラフを全てつないで考え、
t＝1／2のときにf(t)が最小になると確認してもかまいません。

どういうことかというと、

それぞれのtの範囲に対応するf(t)の式を確認すると、

t≦1／2の場合、f(t)は右下がりの直線で、tが増加するにつれてf(t)の値は減少する
1／2＜t＜1の場合、f(t)は3次関数ですが、tが増加するにつれてf(t)の値は増加する
t≧1の場合、f(t)は右上がりの直線で、tが増加するにつれてf(t)の値は増加する

となりますので、f(t)の値の増加・減少について着目すると、

t≦1／2の場合、tが増加するにつれてf(t)の値は減少する
1／2＜tの場合、tが増加するにつれてf(t)の値は増加する

となり、

tが増加するにつれてf(t)の値が減少から増加に変わるt＝1／2のところでf(t)が最小になると分かります。
No.4250 - 2010/01/19(Tue) 19:45:44
☆ Re: / やま ♂ [関東] [高校１年生]
詳細教えて頂きとても参考になりました。ありがとうございます。
f(t)のグラフをすべてつないで考える・・・早速とりかかりましたところ、おっしゃるような減少・増加がみられ、とてもわかりやすかったです。最初の私がとった方針だと煩雑に感じましたし、なによりtとf(t)の関係性がつかめなくて不安でした。
思い切って質問してよかったです。
わかりやすくご親切な対応ありがとうございます。
No.4251 - 2010/01/19(Tue) 23:17:58
★ わからなくて / エンゼル ♂ [近畿] [浪人生]
こんばんは、どうしてもわからなくて来ました。
僕のわからない質問に答えてほしいんです。

放物線
py^2=(p-1)x+q
(p,qは定数)が円(x-1/2)^2+y^2=1/4と相違なる４点を
共有するとき点(p.q)の存在範囲を図示せよ

まずy^2を消したんですが、y^2ってのはxによって
正でしかとらないですよね？よって0≦x≦1として
p{1/4-(x-1/2)^2}=(p-1)x+qとして、この方程式が
0≦x≦1の間に異なる２実数解をもたなければなら
ない。

としたんですが、そっから先がうまくいきません。
そもそもこの方針は正しいでしょうか？そこから
先も含めてだれか答えてください。
No.4201 - 2010/01/06(Wed) 18:10:13
☆ Re: わからなくて / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
エンゼルさん，こんにちは。
返信が遅くなり申し訳ありません。

＞そもそもこの方針は正しいでしょうか？

はい，正しいですよ。


＞そっから先がうまくいきません。

p{1/4-(x-1/2)^2}=(p-1)x+q　を整理して，簡単な2次方程式にしましたよね？

その先，どこで詰まりましたか？
No.4204 - 2010/01/09(Sat) 17:48:16
☆ Re: わからなくて / エンゼル [高校１年生]
まったくわかりません
No.4214 - 2010/01/11(Mon) 16:34:31
☆ Re: わからなくて / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

p{1/4-(x-1/2)^2}=(p-1)x+q　を整理するとどうなりました？
No.4215 - 2010/01/11(Mon) 16:35:56
☆ Re: わからなくて / エンゼル [高校１年生]
一応
２次方程式ですよね？
No.4217 - 2010/01/11(Mon) 22:26:56
☆ Re: わからなくて / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

どう変形したかによって，回答の方針が変わってきますので，エンゼルさんが整理された形を書き込んでいただけますか？
No.4218 - 2010/01/11(Mon) 23:36:43
★ (No Subject) / はんな ♀ [東北] [高校１年生]
こんばんは!!
はじめて質問します。

黄チャートの問題からですが、
△ABCにおいて、面積をSで表す。次のものを求めよ。
ただし、鈍角三角形ではないものとする。というもので、
a=√2,c=√6,S=2のときのb,C を考えています。

最初にsinBを求めるために式をたてて計算したら、sinB=√6/3になりましたが、
解答はsinB=2/√6でした。
計算し直したのですが、なかなか解答と一致しません…。
どうやって計算したらいいですか？
No.4207 - 2010/01/10(Sun) 21:01:56
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
はんなさん、はじめまして。河童です。

わたしの計算では、2/??3 になったのですが、もう一度見直して頂けますか。
No.4210 - 2010/01/10(Sun) 21:57:05
☆ Re: / はんな ♀ [東北] [高校１年生]
お返事ありがとうございます!

すみません!
問題を写し間違えてました((汗
S=√2でした。
もう1度お願いできますか(д；`?
No.4212 - 2010/01/11(Mon) 11:18:38
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
はんなさん、こんばんは。

やはりそうでしたか。
ところで、はんなさんの解は間違いではありませんよ^^
だって、解答の分母を有理化すれば、はなさんの答えになりますよね。
No.4216 - 2010/01/11(Mon) 21:36:21
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