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★ ナナさんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、返信が遅くなり申し訳ありません。

〉 長々とお付き合いありがとうございます((汗

いいえ、そんなことありませんよ。
ゆっくりいきましょ^^
しっかり理解することが大切ですからね。

0 ≦ (α−1) / (α＋1) ≦ 1/??2　　　………(3)

これを解いて　(??2＋1)/2 ≦　α　となったとのことですが、どのように解かれたのか。
途中の計算式でも、あるいは言葉で説明されても結構です。教えていただけますか。
No.4155 - 2010/01/04(Mon) 03:14:08
☆ Re: ナナさんへ / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
本当に感謝します!!

> 0 ≦ (α−1) / (α＋1) ≦ 1/√2　　　………(3)

すみません。計算しなおしたら、また別の答えが出てきちゃいました…。

まず、0≦(α−1)/(α＋1)　を計算しました。
(α＋1)をまず消したいな、と考えて、両辺に、(α＋1)をかけました。
0≦(α−1)となって、1≦α　…?@

次に、(α−1)/(α＋1)≦1/√2　を計算しました。
(α＋1)と√2を消したいな、と考えて、両辺に、√2と、(α＋1)をかけました。
2(α−1)≦√2(α＋1)
2(α−1)−√2(α＋1)≦0
2α−2−√2α−√2≦0
2α−√2α≦2＋√2
α(2−√2)≦2＋√2
α≦(2＋√2)/(2−√2）
α≦3＋2√2　…?Aとなったので、
答えは、1≦α≦3＋2√2　となりました…。
基本的な計算に関する知識があまりないので、変なことをしてしまっているかも知れません。((汗
解説、お願いします。
No.4157 - 2010/01/04(Mon) 13:47:29
☆ Re: ナナさんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
おはようございます。

〉 基本的な計算に関する知識があまりないので、変なことをしてしまっているかも知れません。

たしかにそうかも知れませんが、いままでのナナさんの計算をみていると非常に丁寧で好感が持てます。
ポイントさえ押さえれば非常に良くなると思います。頑張りましょう。

〉 まず、0≦(α−1)/(α＋1)　を計算しました。

そうですね。不等式を解くときの基本姿勢ですね。いいですよ。

〉 (α＋1)をまず消したいな、と考えて、両辺に、(α＋1)をかけました。

これも基本姿勢です。分母を取りたいというのは自然な欲求ですね。
数学で大切なのは、このような基本姿勢だと思います。
ナナさんはそれが出来ているので非常にいいと思います。

ところで、ナナさんは (α＋1) をかけましたね。
もし、(α＋1)が負の数だとマズくないですか？
No.4195 - 2010/01/05(Tue) 10:01:34
☆ Re: ナナさんへ / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
すみません。テストやら、模試やらでかなり遅くなってしまいました((汗
もう一度考えて、直してみました。

0≦(α−1)/(α＋1)≦1/√2　
まず、(α−1)/(α＋1)を、なおして、2α−1にしました。
0≦2α−1≦1/√2　となって、
全てに＋1
1≦2α≦(1＋√2)/√2
全てに1/2をかける
1/2≦α≦3/4
になりました…。
度々、申し訳ないです。
No.4203 - 2010/01/09(Sat) 10:00:19
☆ Re: ナナさんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、こんばんは。

ナナさん、申し訳ありません。
わたし、とんでもないミスをしでかしました。
αはもともと正の数でした！
ですから、不等式(3)の分母は正でした。
ナナさんの1月4日の解答で正解です。
余計な混乱を引き起こしてしまいました。
どうかお許しください。
No.4205 - 2010/01/10(Sun) 03:42:58
☆ Re: ナナさんへ / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
おそくなりました。
いや、大丈夫ですよ^^　
そもそも私が途中経過に時間かけすぎたせいだと思うんで((汗
いま、もう一回計算しなおして、わかりました!!
No.4206 - 2010/01/10(Sun) 18:45:22
☆ Re: ナナさんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、ありがとうございます。

> そもそも私が途中経過に時間かけすぎたせいだと思うんで((汗

そんなことはありません。
いくら時間が掛かってもとことん付き合いますよ^^

> いま、もう一回計算しなおして、わかりました!!

よかった！！
これからも頑張ってくださいね。
No.4208 - 2010/01/10(Sun) 21:37:49
☆ Re: ナナさんへ / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
長々とつきあってもらってありがとうございました!!
これからもがんばります。
No.4213 - 2010/01/11(Mon) 11:53:43
★ (No Subject) / 滝川 ♀ [北陸] [高校2年生]
こんばんは。過去問で、途中までは理解できるのですが、それ以降が全くわかりません。よろしくお願いします。

α＝3√{(√28/27)＋1}−3√{(√28/27)−1}とする。
(↑書き方がよく分からなかったのですが三乗根です)
(1)整数を係数とする3次方程式で、αを解にもつものがあることを示せ。
(2)αは整数であることを示せ。また、その整数を答えよ。

(1)で与式の両辺を3乗したらα^3＝2-αが得られることは分かりました。しかしどうしたらαを解にもつものがあることを示せるのかわかりません。
(2)はα^3＋α−2を因数分解したあとどうやって示すのかわかりません。
No.4151 - 2010/01/03(Sun) 20:32:44
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ でござります．
あけましておめでとうござります．
では，いきましょう！

＞(1)で与式の両辺を3乗したらα^3＝2-αが得られることは分かりました。
　ということは，α は方程式
　　　α^3＋α−２＝０
　に代入したら成り立ちますね？
　だったら，明らかにこの方程式の解です．

＞(2)はα^3＋α−2を因数分解したあとどうやって示すのかわかりません。
　α はどう考えても虚数ではないですよね？
　であれば，これももう明らかでしょう．
No.4152 - 2010/01/03(Sun) 20:45:30
☆ Re: / 滝川 ♀ [北陸] [高校2年生]
あけましておめでとうございます。
そしてお返事ありがとうございます♪

(1)は理解できました!ありがとうございます。
(2)についてなのですが、解答はどのような流れで書いたらいいのでしょうか(><)
αが虚数ではないという事を示して、α^3＋α−2＝(α−1)(α^2＋α＋2)よりα＝1、でいいのでしょうか。。
お願いします　
No.4194 - 2010/01/05(Tue) 09:29:26
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんにちは．

＞αが虚数ではないという事を示して、α^3＋α−2＝(α−1)(α^2＋α＋2)よりα＝1、でいいのでしょうか。。
　それでいいと思いますよ．
No.4200 - 2010/01/05(Tue) 14:18:46
☆ Re: / 滝川 ♀ [北陸] [高校2年生]
わかりました!
教えていただいて、どうもありがとうございました。
No.4202 - 2010/01/06(Wed) 19:35:02
★ (No Subject) / 未 ♀ [東海] [高校１年生]
またよろしくお願いします。

次の関数の最大値・最小値があれば求め、
その時のxの値を求めよ。
y=(x^2+2x)-4(x^2+2x)+1

という問題です。
X=x^2+2xと置き、
y=X-4X+1としたのですが、ここからどう進めればいいでしょうか。

ご指導よろしくお願いします。
No.4141 - 2010/01/03(Sun) 02:16:09
☆ Re: / 留数 [教育関係者]
　未さん，こんにちは。
　新年から勉強がんばっていますね。

　まず，

＞　X=x^2+2xと置き、y=X-4X+1とした

ということですが，２番目の式は

　y=X^2-4X+1

の書き間違いのようですね。

　このようにできたら，ｙはＸの２次関数ですから，最大・最小を調べたければ平方完成を
すればよかったですよね。まず，平方完成をしてみましょう。

　ただ，この場合はそれだけではなく気をつけないといけないことが１つあります。
　X=x^2-2x と置きかえをして考えていますが，このときＸはどんな値をとるか，というこ
とです。
　X=3, X=-1, X=-5 となるような x がそれぞれあるかどうか，調べてみましょう。

　とりあえず，こんなところでやってみてはどうでしょうか。
　不明な点があれば遠慮なくおっしゃってください。
No.4147 - 2010/01/03(Sun) 11:04:45
☆ Re: / 未 ♀ [東海] [高校１年生]

> 　y=X^2-4X+1
>
> の書き間違いのようですね

ほんとですね！私の書き間違いです。

> 　このようにできたら，ｙはＸの２次関数ですから，最大・最小を調べたければ平方完成を

平方完成すると、y=(X-2)^2-3で、最小値はｰ3ですか?
Xの最小値はx=のとき1ですよね?

ここからどうしたらいいかわかりません。

またお願いします。
No.4159 - 2010/01/04(Mon) 14:04:59
☆ Re: / 留数 [教育関係者]
　平方完成は正しく出来ましたね。

　この式だけを見れば，Ｘ＝２のときに最小値−３をとる，と言えるのですが，では
Ｘ＝２となるようなｘはあるのか？　ということが問題になります。もしもそのよう
なｘがないならばＸ＝２となることはなく，したがって−３という値もとることはな
いからです。

　私の最初の書き込みで，

＞　X=3, X=-1, X=-5 となるような x がそれぞれあるかどうか，調べてみましょう。

と書きましたが，この３つのうちの最後，Ｘ＝−５となるようなｘは，（実数の範囲
では）ありません。解の公式に当てはめると，最後のルートの中が負の数になってし
まいます。だから，もしも最小値をとるであろうＸの値になるようなｘがないという
こと（ややこしいですね）は，与えられた関数によってはあり得るというわけです。

　では，Ｘの値がどういうときであればその値をとるｘがあるかといえば，Ｘはｘの
２次関数になっていますから，値域（Ｘの変域）を調べる事ができます。
　いまの場合は

　　X=x^2+2x=(x+1)^2-1

となりますから，Ｘのとる値の範囲はＸ≧−１となります（計算を間違えたようです
ね）。
　ということは，この計算からＸ＝２はＸ≧−１の範囲にありますから，Ｘ＝２とな
るｘの値がある，ということを意味するわけです。

　説明が多くなりましたが，まとめますと，

　・まずはＸのとる値の範囲を調べる。
　・ｙをＸの式で現して平方完成する。
　・Ｘのとる値の範囲に注意してｙの最小値はいくつかを求める。
　・最小値をとるときのＸの値になるようなｘの値を求める。

という順になります。

　あとやるべきことは，最後のステップです。Ｘ＝２のときに最小値−３をとりますが，
そのときのｘの値はいくつなのか，求めてみましょう。
No.4186 - 2010/01/04(Mon) 18:53:24
☆ Re: / 未 ♀ [東海] [高校１年生]
> 　・まずはＸのとる値の範囲を調べる。
X≧ｰ1
> 　・ｙをＸの式で現して平方完成する。
y=(X-2)^2-3
> 　・Ｘのとる値の範囲に注意してｙの最小値はいくつかを求める。
X=2がありえるので、y=-3が最小値。
> 　・最小値をとるときのＸの値になるようなｘの値を求める。
最小値をとるX=2になる時、X=x^2+2x=2
x^2+2x-2=0
解の公式を使った結果、x=-1+√3,x=-1-√3
となったのですが･･･xは二つあっていいのでしょうか?
No.4193 - 2010/01/04(Mon) 23:33:31
☆ Re: / 留数 [教育関係者]
　未さんの書いた問題ですとｘのとる値の範囲は特に制限がないですから，ｘが実数で出て
きていれば２つあっても大丈夫です。
　２つあるような簡単な例は，例えば，y=x^2-2x (0≦x≦2) のような最大値をとるｘが定
義域の両端の場合（２つある場合）があります。

　ともあれ，正しく計算できて解決できたようですね。

　また何かありましたら質問にいらしてくださいね。
No.4196 - 2010/01/05(Tue) 10:35:21
☆ Re: / 未 ♀ [東海] [高校１年生]
ありがとうございました!!
お世話になりました。
No.4197 - 2010/01/05(Tue) 10:46:16
☆ Re: / 未 ♀ [東海] [高校１年生]
> 　未さんの書いた問題ですとｘのとる値の範囲は特に制限がないですから，ｘが実数で出て
> きていれば２つあっても大丈夫です。
> 　２つあるような簡単な例は，例えば，y=x^2-2x (0≦x≦2) のような最大値をとるｘが定
> 義域の両端の場合（２つある場合）があります。


あれ？でも最小値でも2つある場合はあるのですか?
No.4198 - 2010/01/05(Tue) 10:57:14
☆ Re: / 留数 [教育関係者]
　最小値が２つある場合もありますよ。
　さっきの例と同じように考えれば，y=-x^2+2x (0≦x≦2) であれば，両端で最小値を
とりますよね。
No.4199 - 2010/01/05(Tue) 12:01:28
★ (No Subject) / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
はじめまして。自分は数学がとても苦手なので教えてもらえるとありがたいです。

三角関数でわからない問題があるので教えてください。

?@２直線y=x+1 y=-(2+√３）?I-1 のなす鋭角θを求めよ

という問題です。全体的によくわからないのでよろしくお願いします。
No.4160 - 2010/01/04(Mon) 14:11:00
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
まず、直線の方程式y＝mx＋nについて、mは傾きといっていましたよね。

三角関数(三角比)で傾きに相当するものはsin, cos, tanのうちどれでしたか。＿＿＿

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝＿＿＿θが成り立つことになります。
(※　本問ではθの範囲を−90°＜θ＜90°と考えてもかまいません。)

同じように考えると、
直線y＝x＋1がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、
＿＝＿＿＿α,
直線y＝−(2＋√3)x−1がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、
＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿β
が成り立ちます。

とりあえずここまで考えてみて下さい。

ここまで考えたら、次は三角関数の加法定理を用いることになります。
No.4161 - 2010/01/04(Mon) 14:55:39
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
一つ目の空白の意味はわかったんですが二つ目の空白からわからなくなりました；；
No.4162 - 2010/01/04(Mon) 15:41:33
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
一つ目の空白は、sin, cos, tanのうち何でしょうか。
No.4163 - 2010/01/04(Mon) 15:45:22
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
tanだと思います。
No.4164 - 2010/01/04(Mon) 16:17:38
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tanだと思います。
正解です。合ってますよ。

では、

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝＿＿＿θが成り立ちます。

この空白はどうなると思いますか。1つ目の答えがヒントです。
No.4165 - 2010/01/04(Mon) 16:33:40
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
そこが全然わからないです・・・　
すいません・・・
No.4166 - 2010/01/04(Mon) 16:36:48
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
あ！！！
わかりました！
tanθですね！
No.4167 - 2010/01/04(Mon) 16:38:05
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
実例を挙げてみましょう。

直線y＝√3・x＋2の傾きは√3で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくとθ＝60°なので、
この直線の傾きについて、(傾き＝)√3＝＿＿＿60°

これは三角関数の問題です。1つ目の答えもヒントです。
No.4168 - 2010/01/04(Mon) 16:44:33
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
tanってことですね！
No.4169 - 2010/01/04(Mon) 16:46:30
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tanθですね！
正解です。合っています。

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝tanθが成り立ちます。

これを

直線y＝x＋1の傾きは＿で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、(傾き＝)＿＝＿＿＿α

直線y＝−(2＋√3)x−1の傾きは＿＿＿＿＿＿＿で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、(傾き＝)＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿β

にも同じように当てはめてみて下さい。
No.4170 - 2010/01/04(Mon) 16:49:12
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
上から順番に答えていくと

１、１、tan、-(2+√3)、-(2+√3)、tan

ですか？
No.4172 - 2010/01/04(Mon) 17:25:30
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> 上から順番に答えていくと　１、１、tan、-(2+√3)、-(2+√3)、tan ですか？
はい、合っています。

直線y＝x＋1の傾きをm1とすると、m1＝1＝tanα(0°≦α＜180°)
直線y＝−(2＋√3)x−1の傾きm2とすると、m2＝−(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)
これを用いた計算(三角関数の加法定理)を行ないます。

その前に、以下の空欄を埋めてみて下さい。

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は＿個でき、
この＿個の角は、同じ大きさの角が＿個ずつある。　←　3か所とも整数

直線y＝x＋1と直線y＝−(2＋√3)x−1によってできる角と
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによってできる角は＿＿＿。　←　3文字
No.4173 - 2010/01/04(Mon) 17:40:18
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
上から順に

４、４、２、最後が微妙にわかりません；；
No.4174 - 2010/01/04(Mon) 17:43:14
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> ４、４、２、最後が微妙にわかりません；；
4, 4, 2は合っています。最後は「等しい」です。

どうしてこのようなことを聞いたかというと、

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は4個でき、
この4個の角は同じ大きさの角が2個ずつあり、
この2個ずつの角のうち、小さい方の角が答えになり、

また、直線y＝x＋1と直線y＝−(2＋√3)x−1を平行移動させて、
交点が原点になるようにしたら考えやすくなるので、
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによってできる鋭角を考えよう　

ということを押さえておいて欲しかったからです。

グラフを投稿しようとして失敗したので、
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xのグラフを書いてみて下さい。
原点でβ−αとα−β＋180°の2つの角ができ、
小さい方が答えになります。

一見、角度が分かりにくいですが、
1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)を導いていますので、
ここで、三角関数の加法定理を用いて、tan(β−α)を求めてみて下さい。
No.4175 - 2010/01/04(Mon) 18:03:38
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
図はどうやってみればいいんでしょうか？
No.4176 - 2010/01/04(Mon) 18:11:12
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
y=xのグラフは何となくかけたんですが、−(2＋√3)xのグラフがいまいちわからないです。

あと「β−αとα−β＋180°の2つの角ができ」というところが微妙です。
No.4177 - 2010/01/04(Mon) 18:17:37
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
先の書き込みに図を追加しましたので、図を参考にして下さい。
クリックすると、拡大表示されるかと思います。

直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによって、原点でβ−αとα−β＋180°の2つの角ができ、
小さい方が答えになることを確認しましたら、

1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)を用い、
三角関数の加法定理より、tan(β−α)を求めてみて下さい。
この計算は少し面倒ですが、計算結果が出ると0°≦β−α＜180°なので、
β−αが具体的に何度と分かります。
No.4178 - 2010/01/04(Mon) 18:19:47
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
なるほど！
大きい角から小さい角を引けばいいんですね！
No.4179 - 2010/01/04(Mon) 18:21:32
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
ここからどうすればいいんですか？
No.4180 - 2010/01/04(Mon) 18:25:18
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
まず、三角関数の加法定理tan(β−α)＝…を教科書で少し確認してみて下さい。
ここからの計算は、tanの加法定理の公式を覚えていることが前提になります。
No.4181 - 2010/01/04(Mon) 18:30:17
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
tan(β-α)=tanβ+tanα/1+tanβtanα

ですか？
No.4182 - 2010/01/04(Mon) 18:33:49
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tan(β-α)=tanβ+tanα/1+tanβtanα　ですか？
惜しい!　微妙におかしい所があります。
また、こういった掲示板では以下のように分子と分母はそれぞれ全体を括弧でくくって下さい。
tan(β−α)＝(tanβ＋tanα)/(1＋tanβtanα)　←　1文字おかしいです。
No.4183 - 2010/01/04(Mon) 18:39:39
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
次から気をつけるようにしたいと思います＾＾；
tan(β−α)＝(tanβ-tanα)/(1＋tanβtanα)ですかね！
No.4184 - 2010/01/04(Mon) 18:42:15
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tan(β−α)＝(tanβ-tanα)/(1＋tanβtanα)ですかね！
覚えにくいんですよね。そう思います。

今までの経過で
1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)とありましたね。
tan(β−α)＝(tanβ−tanα)/(1＋tanβtanα)＝(＿＿＿＿＿−＿)/(1＋＿＿＿＿＿×＿)＝…と頑張って計算してみて下さい。
少し計算が面倒です。最後に約分すると、ある数…が出てきます。
No.4185 - 2010/01/04(Mon) 18:49:42
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
１になったんですけど違いますか？
No.4187 - 2010/01/04(Mon) 19:28:16
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> １になったんですけど違いますか？
残念ながら1ではありません。
どこか計算間違いがあると思いますので、計算内容を確認してみて下さい。
それでも分からない場合は計算の途中経過を書き込んで下さい。
No.4188 - 2010/01/04(Mon) 19:49:48
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
√３になりました。
No.4189 - 2010/01/04(Mon) 19:53:48
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> √３になりました。
合ってます!!

答えまであとわずかです。

0°≦β−α＜180°で、tan(β−α)＝√3なので、β−α＝＿＿°である。
また、α−β＋180°＝180°−(β−α)＝＿＿＿°である。
したがって、2直線のなす鋭角は＿＿°である。　←　答えです。

スレッドが長くなったので、Tさんが答えを出した後、もう少し説明をします。
No.4190 - 2010/01/04(Mon) 20:16:26
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
上から６０、１２０、６０ですね！！！！

あと少しだけ質問よろしいでしょうか？

0°≦β−α＜180°←なぜこのようになるのですか？

長くなってしまいすいません；；
No.4191 - 2010/01/04(Mon) 21:05:53
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> 上から６０、１２０、６０ですね！！！！
答えまでたどり着きましたね。

> 0°≦β−α＜180°←なぜこのようになるのですか？

途中で、

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は4個でき、
この4個の角は、同じ大きさの角が2個ずつある。

ということを確認しましたが、

4個の角を全部足すと360°で、2個ずつ同じ大きさの角があるので、
大きさの異なる2個の角を足したものは180°になり、
この大きさの異なる2個の角はともに180°より絶対に小さくないといけないということです。

0°≦α＜180°, 0°≦β＜180°, β＞αであれば、
β−αは、この大きさの異なる2個の角の確実にどちらか一方になります。

0°≦α＜180°, 0°≦β＜180°, α＞βであれば、
α−βは、この大きさの異なる2個の角の確実にどちらか一方になります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

解答は、以下の内容があればOKだと思います。

直線y＝x＋1がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、1＝tanα,
直線y＝−(2＋√3)x−1がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、−(2＋√3)＝tanβが成り立ち、
tan(β−α)＝(tanβ−tanα)／(1＋tanβtanα)＝(省略)＝√3となる。
0°≦β−α＜180°とすると、β−α＝60°となり、
2直線のなす角は60°と(180°−60°＝)120°となるので、2直線のなす鋭角θは、θ＝60°である。
No.4192 - 2010/01/04(Mon) 21:47:00
★ 二次関数 / 太郎 ♂ [中国] [高校１年生]
こんばんわ。初めて投稿させていただきます、太郎です。よろしくお願い致します。
二次関数について教えて下さい。


二次関数y=ax^2-4ax+a^2-4a-8・・・?@　　aは0でない定数

（1）関数?@のグラフの頂点は、点（2、a^2-4a-8)である。

（2）関数?@の最大値が12であるとき、a=-2である。

（3）a＜0とする。-1≦ｘ≦1における関数?@の最大値が22であるとき、a=-3である。
　　a=-3とする。0≦ｘしょうなりｔ（ｔ＞0）における関数?@の最大値と最小値の和が32　　であるとき、ｔ＝　〜　、　〜　である。

ｔ＝　〜　、〜　の〜の答えは
ｔ＝2-√2、2+√6です。
この回答までの過程が分かりません。
どうやら場合分けをするようですが。
どうぞ、宜しくお願い致します。
No.4105 - 2009/12/28(Mon) 20:10:27
☆ Re: 二次関数 / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
太郎さん，はじめまして。

2次関数の最大最小は高校数学の大きな柱となる非常に大切なものです。
その中でも文字の入ったものは数2の単元と結びついた形で入試頻出となりますので，１年生の間にご質問の問題レベルのものは，参考書や問題集を十分にこなして完全に理解しておかなければいけません。

さて，a=-3 のときは f(x)=-3x^2+12x+13 となりますが，まずはこれを平方完成して大きくグラフを描きましょう。

この問題理解のために補助として次の各場合の最大値と最小値を考えてみてください。

(1) 0≦x≦1　　(2) 0≦x≦3　　(3) 0≦x≦5

それぞれxがいくつのときに最大・最小になるのかに注意して，本来の問題を解く際に何故場合わけをしなければいけないのかを考えてみてください。
No.4117 - 2009/12/30(Wed) 14:33:29
☆ Re: 二次関数 / 太郎 ♂ [中国] [高校１年生]
新矢先生ありがとうございます。
もう一度先生の解説から考えたら解くことができました。
返信遅くなり申し訳ありませんでした。
お礼申し上げます。
ありがとうございました。
No.4171 - 2010/01/04(Mon) 17:16:53
★ 確率の問題 / かっきー ♂ [近畿] [高校3年生]
はじめまして。こんにちは、確率の問題です。
よろしくお願いします。(ちなみに全統マークの過去問です。)

　１，２，３，４，５，６の6枚のカードと，二つの箱Ａ，Ｂがある。最初、箱Aには１，２，３のカードが,箱Bには４，５，６のカードが入っている。
　一つのさいころを1回振って、出た目と同じ数が書かれたカードを、もう一方の箱に移動する。これを1回の試行とし、試行をn回行った後に箱Ａに入っているカードの枚数をx(n),箱Ａに入っているカードに書かれている数の和をy(n)とする。
　たとえば、1回目の試行で4の目が、2回目の試行で5の目が出たとき、この2回の試行の結果,箱Ａには１，２，３，４，５のカードが，箱Ｂには６のカードが入っているので，x(n)＝5，y(n)＝15である。
　このとき、x(4)＝1かつy(4)＝6となる確率を求めよ。

という問題なのですが、
　まずx(4)＝1かつy(4)＝6となる場合は、Aに6のカードだけが残り、Bに1，2，3，4，5のカードが入っている状態だけだと考え、
　まず1回目は、1〜6の6枚から1〜3のいずれかを取り出すので、3/6、次に2回目は、2/6、そして3回目は1/6、
　最後4回目は、1〜6が移動したあと、6を取り出すので、1/6、
よって、3/6×2/6×1/6×1/6＝6/36×1/36＝1/216と結論を出しました。
ですが答えはぜんぜん違っていて1/54と書いてあります。
よく分かりません。詳しく説明をお願いします。
No.4149 - 2010/01/03(Sun) 12:59:13
☆ Re: 確率の問題 / londontraffic [教育関係者]
かっきーさん，こんにちは．londontrafficと申します．
早速いきましょう．

>　まず1回目は、1〜6の6枚から1〜3のいずれかを取り出すので、3/6、次に2回目は、2/6、そして3回目は1/6、
>　最後4回目は、1〜6が移動したあと、6を取り出すので、1/6、
ここなのですが，最初に６次に１，２，３の順に出ても，x(4)＝1かつy(4)＝6になりませんか？
No.4150 - 2010/01/03(Sun) 15:53:48
★ 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校3年生]
はじめまして。
過去問なのですが、１問目は解けたのですが、２問目が全くといっていいほどわかりません。１問目を応用して解くのだろうな、という感じはするのですが…。

(1)cosθ＋√3sinθ＝√3　(0°≦θ≦180°)を満たすθの値を求めよ。

　これは、cosθ＝√3−√3sinθ
　　　　sin^2θ＋cos^2θ＝1
　　　 sin^2θ＋(√3−√3sinθ)^2＝1
　　　4sin^2θ−6sinθ＋2＝0
　　　(2sinθ−1)(sinθ−1)＝0
　　θ＝30°，90°　となりました。

(2)cosθ＋√αsinθ＝√α，　α＞0が0°≦θ≦45°の範囲で、解を持つような　α　の範囲を求めよ。

　これを、(1)のように、cosθ＝　と置き換えて、やってみたりしたのですが、α　の範囲という定義?というか、意味がわからなくなってきてしまって…。
　詳しい説明をよろしくお願いします。
No.4103 - 2009/12/28(Mon) 18:41:11
☆ Re: 過去問。 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、はじめまして。河童です。

sin θ の２次方程式を解いた結果が例えば

sin θ = 1

となったとします。
この式を満たすθは、0°≦θ≦45°の範囲には存在しませんね。
つまりこの場合は解がないことになります。
これを一般化して、例えば

sin θ = α

となった場合、αがどんな数ならば、どんな範囲にあるならば、この方程式は解を持つのでしょうか？
考えてみてください。
それが分かれば、(1) と同じ式変形をしてみましょう。
(1) はαが3のときで、このときに因数分解出来たのですから、今回も因数分解できることが期待できますね。
No.4114 - 2009/12/29(Tue) 16:14:57
☆ Re: 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
回答ありがとうございます!!

> sin θ = α
>
> となった場合、αがどんな数ならば、どんな範囲にあるならば、この方程式は解を持つのでしょうか？

これは、0≦α≦1√2
というふうに考えていいのでしょうか？


> それが分かれば、(1) と同じ式変形をしてみましょう。
> (1) はαが3のときで、このときに因数分解出来たのですから、今回も因数分解できることが期待できますね。


すみません。せっかく解説してくださっているのに、よくわからなくなってきてしまいました…。
No.4120 - 2009/12/30(Wed) 16:47:29
☆ Re: 過去問。 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、こんばんは。

〉 これは、0≦α≦1??2というふうに考えていいのでしょうか？

そうですね。その通りです。

〉 よくわからなくなってきてしまいました…

大丈夫ですよ^^ 頑張りましょう。
分からないというのは因数分解できないということでしょうか？
でも、??3 のときのように２次方程式の形に整理することはできますよね？
No.4121 - 2009/12/30(Wed) 21:25:20
☆ Re: 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
レス、遅くなってしまってすみません。(汗

> でも、√3 のときのように２次方程式の形に整理することはできますよね？

これは、cosθ＋√αsinθ＝√α　を二次方程式の形に直すということですか？
それとも、別の値をαに入れて、二次方程式の形に直すということですか？
cosθ＋√αsinθ＝√αだったら、
(1＋α)sin^2θ−2αsinθ＋α−1＝0　になったんですけど…。
そこから因数分解出来なくて…。整理した二次方程式自体、間違っているのでしょうか？
No.4123 - 2009/12/31(Thu) 08:18:55
☆ Re: 過去問。 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、こんばんは。
いよいよ今年も終わりですね。良いお年を迎えてくださいね。

さて、挨拶が逆になりましたが、

〉 cosθ＋?父ｿsinθ＝?父ｿだったら、
〉 (1＋α)sin^2θ−2αsinθ＋α−1＝0　になったんですけど…

そうです。それでいいんですよ。
検算のためにはαに3を入れてみるといいですね。問題(1)の式が出来たでしょ？

因数分解できませんか？
たすき掛けでできません？
2次の係数は 1 と 1+α ですね。
1次の係数が −2α ですから、定数項の 1 と α−1 の両方に − を付けてやらないといけませんね。
さあ、どうでしょうか。
No.4128 - 2009/12/31(Thu) 21:05:12
☆ Re: 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
あけましておめでとうございます。
新年早々、すみません。(汗



> 因数分解できませんか？
> たすき掛けでできません？
> 2次の係数は 1 と 1+α ですね。
> 1次の係数が −2α ですから、定数項の 1 と α−1 の両方に − を付けてやらないといけませんね。
> さあ、どうでしょうか。

あ、出来ました。
(sinθ−1)((sinθ＋α)−(α−1))でいいんですよね?思い込みで出来ませんでした…。
sinθ＝1，−1になっちゃったんですけど、あってるんでしょうか?
sinθに、−1なんてないですよね(汗
No.4133 - 2010/01/01(Fri) 17:15:38
☆ Re: 過去問。 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、あけましておめでとうございます。

> (sinθ−1)((sinθ＋α)−(α−1))でいいんですよね?

2次の係数が α＋1 ですからちょっと違いますね。でも、いい線いってますよ。
もう一度やってみませんか？

ちなみに、今回は違いますが、sin の値が ｰ1 になることもあります。
これは２年生になって『三角関数』というところを学べば分かります。
楽しみにしておいてくださいね^^
No.4135 - 2010/01/02(Sat) 00:56:14
☆ Re: 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]

> 2次の係数が α＋1 ですからちょっと違いますね。でも、いい線いってますよ。
> もう一度やってみませんか？

えーっと…
(sinθ−1)(sinθ(α＋1)−(α−1)）ですか?なんか、違いますよね(汗)

たすきがけは、
　1　　　−1
　1＋α　−(α−1)
っていう形になったんですけど、あっているんでしょうか?
何度もすみません。
No.4138 - 2010/01/02(Sat) 15:13:22
☆ Re: 過去問。 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ナナさん、こんばんは。

> (sinθ−1)(sinθ(α＋1)−(α−1)）ですか?なんか、違いますよね(汗)

いいえ、これで正解ですよ^^

(sinθ−1)(sinθ(α＋1)−(α−1)）= 0　　………（1）

という方程式ができましたね。
この(1)が解をもつ条件を求めましょう。

(1) は sinθ = 1 または (α−1) / (α＋1) ですが、
前述の通り sinθ = 1 は 0°≦θ≦45°の範囲に解をもちませんから、

sinθ = (α−1) / (α＋1)　　　………(2)

が解をもつ条件を求めることになりますね。
その条件は以前ナナさんが書かれた通り、

0 ≦ (α−1) / (α＋1) ≦ 1/??2　　　………(3)

です。
あとは(3)の不等式を解くことに全力を注ぎましょう。

ところで、スレが長くなりましたので、『次回の私の回答』から『ナナさんへ』という新スレを立てます。ご注意ください。
No.4140 - 2010/01/02(Sat) 21:18:37
☆ Re: 過去問。 / ナナ ♀ [甲信越] [高校１年生]
長々とお付き合いありがとうございます((汗


> 0 ≦ (α−1) / (α＋1) ≦ 1/√2　　　………(3)

解いたんですけど…変な数字が出てきちゃいました。
(√2＋1)/2 ≦　α　
No.4148 - 2010/01/03(Sun) 12:38:16
★ (No Subject) / めい ♀ [東海] [浪人生]
明けましておめでとうございます。5回目の質問になります。
同志社大学の類題です
---------------------------------------------------------------------------
a,b,x,yを実数、u,vを1以上の実数とする。

[1](a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2を証明せよ

[2]a^2+b^2=u^2-1かつx^2+y^2=v^2-1ならばuv-1≧ax+byが成り立つことを証明せよ
---------------------------------------------------------------------------
[1]はできました。分からないのは[2]なのですが解答では

辺々をかけて
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(u^2-1)(v^2-1)
uv-1≧0以上だからuv-1≧ax+byの両辺を2乗して
(uv-1)^2≧(ax+by)^2を示せばよい

変形が続いて・・・・(u-v)^2≧0
したがって、(uv-1)^2≧(ax+by)^2、よってuv-1≧ax+by

両辺を2乗したあとの式変形のプロセスなどはわかるのですが、
「uv-1≧0以上だからuv-1≧ax+byの両辺を2乗して」の部分が
どうして、そうしてもよいのか？と思うのです。
uv-1≧0以上はもちろんわかりますが、ax+byが負の場合になるとき
たとえばuv-1=2、ax+by=-3、としたら2乗したものを引き算すると
左辺引く右辺が0以上というのはおかしいと思うのです。
ax+byが負のとき明らかに成り立つということなのでしょうか？
解答には載っていませんでした。よろしくお願いいたします。
No.4142 - 2010/01/03(Sun) 05:42:22
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
めいさん，おはようございます．
難しく考えすぎのようですよ．

今，証明したいのは
uv-1≧ax+by
です
>たとえばuv-1=2、ax+by=-3、としたら
明らかにuv-1≧ax+byですよね．
No.4143 - 2010/01/03(Sun) 09:27:49
☆ Re: / めい ♀ [東海] [浪人生]
回答ありがとうございます。確かに明らかですよね。

答案としては
ax+byが0または負の場合uv-1≧0より与式は明らかに成り立つ。
ax+by＞0のとき両辺を平方して左辺-右辺≧0を示すという感じで
解答すればよいのでしょうか？
No.4144 - 2010/01/03(Sun) 09:43:35
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>ax+byが0または負の場合uv-1≧0より与式は明らかに成り立つ。
>ax+by＞0のとき両辺を平方して左辺-右辺≧0を示すという感じで
>解答すればよいのでしょうか？
それでもいいと思いますが，
「a≧0かつa^2≧b^2」⇒「a≧b」は常に成り立つので
>ax+byが0または負の場合uv-1≧0より与式は明らかに成り立つ。
は必要ないと思いますよ．
No.4145 - 2010/01/03(Sun) 10:56:31
★ (No Subject) / 崇 ♂ [東北] [高校2年生]
f(x)=ax+b,g(x)=cx^2+dx+eにおいて｛f(x)+g(x)}'=-3x-7 ,{f(x)g(x)}=9x^2+23x+1が成り立つときf(x),g(x)を求めよ。
という問題でまず最初にどうすべきなのか分かりません！教えてください！
No.4130 - 2010/01/01(Fri) 03:59:01
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はじめまして．londontrafficと申します．
最初に確認ですが，
>{f(x)g(x)}=9x^2+23x+1
は{f(x)g(x)}'=9x^2+23x+1
ですよね．

ご質問は
>まず最初にどうすべきなのか
ですが，はじめに崇さんはどのように考えたか教えていただけませんか？
No.4139 - 2010/01/02(Sat) 17:35:34
★ (No Subject) / はち ♀ [九州] [高校2年生]
はじめまして。
ベクトルの問題なのですが、参考書を見てもどう考えればよいか分かりません＾＾；

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、
辺ＡＢを１：２に内分する点をＥ、対角線ＢＤを１：３に内分する点をＦとする。
ＥＦをＡＢ、ＡＤで表せ（ﾍﾞｸﾄﾙ）。

ＡＥﾍﾞｸﾄﾙを３分の２ＡＢﾍﾞｸﾄﾙと表す、というところは合っていますか？＾＾；

ご指導宜しくお願いします。
No.4131 - 2010/01/01(Fri) 16:28:32
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
はちさん、 はじめまして。

> 辺ＡＢを１：２に内分する点をＥとする。

ですから
AE:BE＝1：2　ですよ。

ＢＡを１：２に内分する点をＥとする
だったら
AE:BE＝2：1　です。
No.4132 - 2010/01/01(Fri) 16:51:07
☆ Re: / はち ♀ [九州] [高校１年生]
ありがとうございます！
今からもう一度時間を掛けて考えてみます。
No.4134 - 2010/01/01(Fri) 18:19:34
★ 演習 / 崇 ♂ [東北] [高校2年生]
こんにちは！
座標平面上の原点Ｏと２点Ａ(3/1,3/2）B(1,3/1)を頂点とする三角形OABの重心、外心、内心をそれぞれＧＣＩで表す。これらＧＣＩの座標を求めよ。
という問題で重心と外心は求められたのですが、内心を求める中でＩを（c,d）と置きOA,OB,ABの直線方程式とＩの距離は等しいからそれを求めていく段階で絶対値記号が出で来るのですがそれをうまくはずせません！教えてください！
No.4116 - 2009/12/30(Wed) 02:52:25
☆ Re: 演習 / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
崇さん，こんにちは。

数II で「不等式の表す領域」を習いましたね。それを利用します。

点(p,q) が　直線　y=mx+n の上側の領域 (y＞mx+n ) にあれば

　q＞mp+n が成り立つので，mp-q+n＜0 となります。
No.4119 - 2009/12/30(Wed) 14:54:44
☆ Re: 演習 / 崇 ♂ [東北] [高校2年生]
ありがとうございました！！ばっちり理解できました！！
No.4129 - 2010/01/01(Fri) 03:50:43
★ (No Subject) / りか ♀ [東海] [高校2年生]
こんにちは。
わからない問題があるので質問させて頂きます。

f(x)＝x^2-2ax+2a+1 (x≧1)の最小値をg(a)とする。
(1)g(a)をaで表せ。
(2)g(a)の最大値を求めよ。

f(x)の頂点が(a,-a^2+2a+1)になるところは計算したのですが、
aの値がわからないので、ここからどう進めたらいいのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.4089 - 2009/12/27(Sun) 02:30:23
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．
りかさん，じっくりいきましょう．

まず，ｙ＝ｆ(ｘ) のグラフはどんなグラフでしょう？
頂点は (ａ，−ａ^2＋２ａ＋１) ですね．
それ以外にリカさんがわかることは何ですか？

次に，ｙ＝ｆ(ｘ) のグラフをかくことを考えましょう．
ところが，確かにりかさんの言うように，ａ の値がわからないので簡単にはかけませんよね？
でもこのグラフは，せいぜい２パターンを考えればよいのです．
ひとつはどういうパターンで，もうひとつはどういうパターンでしょう？

ここまでを考えて，わかったことを書き込んでみてください．
No.4097 - 2009/12/27(Sun) 20:23:05
☆ Re: / りか ♀ [東海] [高校１年生]
ありがとうございます。
よろしくお願いします。

> まず，ｙ＝ｆ(ｘ) のグラフはどんなグラフでしょう？

2時間数のグラフですね。
加えて、下に凸のグラフでしょうか

> でもこのグラフは，せいぜい２パターンを考えればよいのです．
> ひとつはどういうパターンで，もうひとつはどういうパターンでしょう？

頂点のx座標aがグラフの範囲x≧1に入るか入らないかということでしょうか。

こんな感じでいいでしょうか？
No.4100 - 2009/12/28(Mon) 15:26:35
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
りかさん，こんにちは．
全くその通りです．
では図をかきながら考えてみてください．

下に凸の放物線の軸が，直線 ｘ＝１ を境に (１) 左側にある場合と (２) 右側にある場合が考えられます．

まず，(１) 軸が左側にある場合，を考えましょう．
このとき，ａ の値の範囲はどうなるでしょう?
そして，最小値は ｘ の値がいくらのときで，最小値はいくらになるでしょう?
これができたのなら，(２) も同様に考えてください．
No.4101 - 2009/12/28(Mon) 15:54:07
☆ Re: / りか ♀ [東海] [高校１年生]
(1)の時は、最小値は2(x=1)
(2)の時は、最小値-a^2+2a+1(x=a)
でしょうか?
No.4110 - 2009/12/28(Mon) 23:49:20
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．

＞(1)の時は、最小値は2(x=1)
＞(2)の時は、最小値-a^2+2a+1(x=a)
　その通りです…，が！
　私の問はもうひとつ，
＞このとき，ａ の値の範囲はどうなるでしょう?
　もありました．この ａ の値の範囲はとても重要です！
　これも考えた上で，次の「ｇ(ａ) の最大値」に進んでください．
No.4111 - 2009/12/29(Tue) 07:11:16
☆ Re: / りか ♀ [東海] [高校１年生]
問（１）のg(a)をaで表せというものは-a^2+2a+1が答えでいいのですか？

> ＞このとき，ａ の値の範囲はどうなるでしょう?
(1)軸であるaがx=1より左にあるのですから、a<1
(2)aがx=1より右にあるのだから、a>1
ですか？


(２)最小値の最大値なので、(1)は2とでているので、(2)の-a^2+2a+1の最大値はどうだせばいいでしょうか？、
a>1なので、2<-a^2+2a+1とは考えたのですが、aの範囲がないので最大値をどう求めればいいのかわかりません・・・
No.4113 - 2009/12/29(Tue) 15:33:18
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞ 問（１）のg(a)をaで表せというものは-a^2+2a+1が答えでいいのですか？
　いえ，違います．ｇ(ａ)＝２ という場合もありましたよね？

＞ (1)軸であるaがx=1より左にあるのですから、a<1
＞ (2)aがx=1より右にあるのだから、a>1
　　ａ＝１ が抜けていますね．どちらでもかまいません，どちらかに含めましょう．

すると，最初の問題の答は，
　　　ａ＜１ のとき　ｇ(ａ)＝２
　　　ａ≧１ のとき　ｇ(ａ)＝−ａ^2＋２ａ＋１
となります．続いての問題は，このグラフをかけばわかります．
では，ａｂ 平面に ｂ＝ｇ(ａ) のグラフをかいてみてください．
No.4115 - 2009/12/29(Tue) 16:50:50
☆ Re: / りか ♀ [東海] [高校１年生]
> すると，最初の問題の答は，
> 　　　ａ＜１ のとき　ｇ(ａ)＝２
> 　　　ａ≧１ のとき　ｇ(ａ)＝−ａ^2＋２ａ＋１
> となります．

問いのaで表せというのがよくわからないのですが
a<1の時のg(a)=2というのもaで表すという条件にあてはまっているのでしょうか?


> では，ａｂ 平面に ｂ＝ｇ(ａ) のグラフをかいてみてください．

グラフは、a<1の部分はb=2の直線で、a>1の部分は(1,2)から下降する曲線でいいでしょうか・・・説明がわかりにくいとは思いますが。
最終的にグラフ内で一番高い点は2なので、g(a)の最大値は2ですか。

質問ばかりになってしまい申し訳ありません･･･根気強く付き合って下さりありがとうございます!
No.4122 - 2009/12/31(Thu) 00:52:18
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞a<1の時のg(a)=2というのもaで表すという条件にあてはまっているのでしょうか?
　はい，あてはまってます．
　例えば，ｇ(ａ)＝−ａ^2＋２ａ＋１ は ａ 以外に ２ や １ も使って表していますね？
　ｇ(ａ)＝２ は，たまたま ａ を使う必要がなく ２ だけで表せた，ということです．

＞グラフは、a<1の部分はb=2の直線で、a>1の部分は(1,2)から下降する曲線でいいでしょうか・・・説明がわかりにくいとは思いますが。
　いえ，わかります．
＞最終的にグラフ内で一番高い点は2なので、g(a)の最大値は2ですか。
　その通りです．
No.4124 - 2009/12/31(Thu) 14:57:08
☆ Re: / りか ♀ [東海] [高校2年生]
なるほど。納得できました!
長くかかってしまいましたが、やっとこの問題終えることができました...
ありがとうございました!よいお年を。
No.4125 - 2009/12/31(Thu) 17:50:39
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
年内に解決できてよかったですね．
よいお年をお迎えください．
No.4126 - 2009/12/31(Thu) 18:45:26
★ (No Subject) / ケイイチ ♂ [四国] [再受験生]
よろしくおねがいします。
A（３，０，０）B（２，２，２）C（０，０，４）の三角形ABCの周および
内部をZ軸周りに回転させてできる立体の体積を求めよ

という問題でZの範囲で２つに分けて
Z＝ｋ（０≦ｋ≦２）で切った交点・・・?@と　Z＝ｔ（２≦ｔ≦４）で切った交点・・?A
を求めると?@は（3-3k/4, 0,k)と(3-k/2,k,k) ?Aは(3-3t/4,0,t) と(4-t,4-t,t)
となって、それぞれ(0,0,k)と (0,0,t)との距離の2乗の差を考えてドーナツ形の断面積
になると考えて

体積V＝πint_{0}^{2} [(3-k/2)^2+k^2 -(3-3k/4)^2 ]dk
+πint_{2}^{4} [(4-t)^2+(4-t)^2-(3-3t/4)^2 ]dt

で答えが31π/3となったのですが、計算、式いずれかが間違っているのか
ご指導ください。おねがいします。







,k,k dx
No.4076 - 2009/12/23(Wed) 20:59:49
☆ Re: / kinopy [塾講師]
ケイイチさん，はじめまして。kinopyです。

まず，2つの部分に分けて考える際にt,kの2文字を使う必要はありません。
範囲が違いますからね。むしろ私はkだけ（tだけ）の方がわかりやすいです。



で…この問は良くやる間違い（落とし穴？）がある場合が多いので，最初「間違い箇所は式だろう」と以下のレスを書きました(^_^;)

%%%%%%%%%%%%%%%%勘違いのレス%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ケイイチさんの敗因は「断面積を考える」に重点を置くがあまりに，その断面をきちんと把握するのに失敗した。ってとこです(^_^;)
もちろん断面積を考えるのですが，この種の空間図形の回転体は回転させる前に切って，その断面を回転させるという順をたどると把握しやすいです。

ちょっと意味が通じにくいかもしれないので，もう少し詳しく書いておきます。

三角形ABCをz=k(0≦k≦2)で切った切り口は線分なのはＯＫですね？
書き込みを見ると線分ACとz=kの交点P（3-3k/4, 0,k)と線分ABとz=kの交点Q(3-k/2,k,k)の座標も正しく求められています。

そこで，平面z=k上の切り口である線分PQをx軸とy軸を取った上でテキトーに図示してみてください。
その線分を回転させたものが目的の切り口で，確かにドーナツですが少し思ってたのと違いませんか？
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%以上勘違い(^_^;)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

私が最初思い込んでたのは，小さいほうの円は平面と線分の交点でなく，(0,0,t)から線分に降ろした垂線の足であるケースの問題だと思ってました。

でも，この問題は珍しく（？）線分の端点を回転した円でＯＫですね(大汗)
その確認作業と同時に私も計算してみましたが，
∫_{0}^{2}( 21/16 k^2+3/2k) dk+23/16∫_{2}^{4}(k-4)^2 dk
となり，13/2+23/6=31/3
とケイイチさんと一致しましたが，模範解答の答えと違うのでしょうか？
No.4078 - 2009/12/24(Thu) 01:49:07
☆ Re: / ケイイチ ♂ [四国] [再受験生]
kinopyさん、解答ありがとうございます。

私も小さいほうの円は平面と線分の交点でなく，(0,0,t)から線分に降ろした垂線の足であるケースの問題だと思っていたのですが、図を描くと、ＰＱの傾きが正になることからＰＱの端点のほうが距離的に近いと判断して（垂線を引こうとしても範囲の外になる）線分の端点を回転した円でＯＫだとわかりました。

この判断の方法以外に、一般的には、端点か、垂線の足かを判断するのに
どのような方法がありますか？　　考えつくのは、その２つを　ｋの式で表して、その
差をとると（大小関係を調べる）ｋの値に関係なく端点の方が距離的に近いことが
わかるというぐらいしかわかりません。
No.4081 - 2009/12/24(Thu) 20:17:29
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

なるほど。答えが違ってるわけではないのですね？

> 考えつくのは、その２つを　ｋの式で表して、その差をとると…
差を取る必要はないです。
線分内に垂線の足が存在すれば，それが回転軸から線分上の点までの最短距離ですね。

線分内に垂線の足があるかどうかの判断はどうでしょうね？
問題によるような気がします。具体的に問題をお持ちであれば書き込みしていただいた方が答えやすいのでお願いします。
No.4082 - 2009/12/24(Thu) 23:07:06
☆ Re: / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]
返事が遅くなってすみません。問題を探していました。
神戸大の問題で
『座標空間の3点A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,0,3)を頂点とする△ABCの周および内部をz軸のまわりに回転してできる立体をKとするとき
(1)立体Kを平面z=t(0≦t≦3)で切ってできる断面の面積をS(t)とする。S(t)をtの式で表せ。
(2)立体Kの体積Vを求めよ。』

だと図をｔの範囲によって2つの場合分けをすることは解説をみてわかるのですが
その２つの場合があるかないかを気づけるようになるには、反復練習しかないの
でしょうか？
　線分内に垂線の足があるかどうかの判断は、図をかきながら、経験則から
２つの場合があるのではないかと疑ってかかるようにしてはじめて気づけるように
なるものなのか、ほかに基準みたいなものが存在するのか教えてください。
No.4084 - 2009/12/26(Sat) 15:53:08
☆ Re: / kinopy [塾講師]
こんばんは。

例をありがとうございます。

気づくにはもちろん「このようなケースがあり得る」という経験は必要です。
でも，立体の図だけでは無理ではないかと思います。
現に私は，最初の問題の立体の図を見て「場合分けは必要」と判断しまして最初の勘違いレスを書いてしまいました(^_^;)

で，計算の過程で「場合分けは必要ない」ことが分かりました。
最初の問題なら，回転前のz=k上の図を書くと，P(3-k/2,k)，Q(3-3/4k,0)
Pはy=3-x/2 (z=k)上，Qはy=0 （z=k）上を動きます。
しかし，Pのx座標とQのx座標の大小を比べるとPの方が常に大きいですね。
ケイイチさんのレスにも
> （垂線を引こうとしても範囲の外になる）
とありますので，これにはお気づきでしょう？


一方，神戸の問題は線分AB，ACとz=tの交点をP，Qとして同様に図を書くと
P(1-t,t)ですから，Pはy=1-x上を動き，Q(1,0)ですから止まっています。
常にQのx座標が大きいですから，場合分けの必要がある。と判断できます。

ケイイチさんのご質問に答えられたかは疑問ですが，見当違いの回答になってしまってたらご指摘ください。
No.4088 - 2009/12/26(Sat) 23:14:03
☆ Re: / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]
わかりました、ありがとうございました。

でも「Pはy=3-x/2 (z=k)上」にあるとありますが、ｘとｙが逆ではないですか？

P(3-k/2,k)より　ｘ=3-ｋ/2, y=kとして、ｋを消去した式ではないのでしょうか？
No.4092 - 2009/12/27(Sun) 16:58:56
☆ Re: / kinopy [塾講師]
おっしゃる通りです(^_^;)
すみません。
No.4099 - 2009/12/28(Mon) 04:31:05
★ (No Subject) / めい ♀ [東海] [浪人生]
こんにちは。4回目の質問になります。
長崎大学の問題です。
関数　f(θ)=a(√3sinθ+cosθ)+sinθ(sinθ+√3cosθ)について
次の問いにこたえよ。ただし、0≦θ≦πとする。

[1]t=√3sinθ+cosθのグラフを書け。
[2]sinθ(sinθ+√3cosθ)をtを用いて表せ。
[3]方程式f(θ)=0が相異なる3つの実数解を持つときのaの値の範囲を求めよ。

[1]、[2]はできました。分らないのは[3]なのですが、[1]のグラフを用いて
の答えの出し方です。g(t)=t^2+2at-1と変形しましたけどそこから先がよく
わかりません。よろしくお願いします。答えは(-3/4)＜a≦0となってます。
No.4083 - 2009/12/26(Sat) 12:49:46
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
めいさん，こんにちは．
早速いきましょう．

はじめに，[1]のグラフから，tの値によってθの個数を分類することができます．
今回θの個数は，0,1,2個のいずれかになるのですが，
・θが0個であるときのtの値の範囲
・θが1個であるときのtの値の範囲
・θが2個であるときのtの値の範囲
をカキコしてもらえませんか？
分からなかったらその旨をカキコしてください．よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.4085 - 2009/12/26(Sat) 16:18:23
☆ Re: / めい ♀ [東海] [浪人生]
回答ありがとうございます。以下のようになりました。
t=kをグラフにかさねて考えました。

・θが0個であるときのtの値の範囲
ｔ＞2、t＜-1

・θが1個であるときのtの値の範囲

t=2(θ=π/3)
-1≦t＜1[(2π)/3＜θ≦π]

・θが2個であるときのtの値の範囲

1≦t＜2
No.4086 - 2009/12/26(Sat) 18:25:53
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．その通りです．
アップするグラフを用意していたのですが，必要ありませんね．

では次です．
g(t)=0は２次方程式なので，最大でもg(t)=0を満たすtは２個しか存在しません．
よって「θの値が3個」であることから，θを1個と2個を値を持つtの値がg(t)=0の解になっていればよいわけです．
すなわち「t=2または-1≦t＜1」の解が１つと「1≦t＜2」の解が１つということになります．

ここまで了解していただけますか？
No.4087 - 2009/12/26(Sat) 19:01:53
☆ Re: / めい ♀ [東海] [浪人生]
回答ありがとうございます。アドバイスに従ってこのように
考えました。

g(t)=t^2+2at-1とおくと
グラフからg(t)=0が次の場合を考える。
ア：1≦t＜2、-1≦t＜1でそれぞれ実数解を一つずつ持つ
イ：t=2の解と1≦t＜2で一つの実数解を持つ

アのとき
判別式　a^2+1＞0
軸　-1≦-a＜2
f(-1)≧0　a≦1
f(1)≦0　a≦0
f(2)＞0　a＞(-3/4)　　これらより(-3/4)＜a≦0

イのとき
t=2を代入してa=(-3/4)
判別式a^2+1＞0
軸　1≦-a＜2
f(1)≧0　a≧0
f(2)＞0　a＞(-3/4)　　　　これらを満たすaは存在しない

したがって　　 (-3/4)＜a≦0
　　　　　　　~~~~~~~~~~~~~~~となりました。

判別式　a^2+1＞0なのでこの場合は軸の位置とか端っこの
条件など必要なものと必要でないものもでていると思うのですが
なにかアドバイスがあれば教えてください。イの場合t=2の解が
あるのにf(2)＞0も考えるのでなにか変な感じがします。よろしく
お願いいたします。
No.4093 - 2009/12/27(Sun) 17:35:52
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．
めいさんの答案はいいと思いまし，私なら満点を付けます．
でも必要のないもの等が入っていますから，
>なにかアドバイスがあれば教えてください。
お力になれそうな所を書いてみます．

アにおいては
>軸　-1≦-a＜2
は必要ないですね．判別式も必要なさそうですが，今回はあった方がいいように思えます．

イにおいて
>t=2の解があるのに
これですが，g(t)=0をt=2を代入するとa=-3/4が得られ，もう一つの解がt=-1/2なので条件を満たさない
と結論付けることができます．

こんなところでしょうか．
No.4094 - 2009/12/27(Sun) 18:56:52
☆ Re: / めい ♀ [東海] [浪人生]
親切な対応そしてすばやい対応ありがとうございました。
似かよった類問もやってみます！
No.4096 - 2009/12/27(Sun) 19:19:11
★ 数記法？ / KKK ♀ [近畿] [高校１年生]
こんにちは。KKKと申します。
聞きたい問題が沢山あるのですがよろしくお願いします。

〔問題?T〕
　150台の自動車が駐車できる駐車場がある。
　この駐車場では1台目の駐車スペースを1番、2台目の駐車スペースを2番としているが、　3、4、9、の数字は使わないことになっており、したがって3代目の駐車スペースは5番　である。
　この駐車場の150代目の駐車スペースの番号はなにか。

上のような問題なのですが、飛ばされる数字は
3.4.9.13…29.30〜49.53.54…89.90〜99.103105…129.130〜149
の79個ですよね。
では答えは単純に　150＋79をしたものが答えになるのですか？

〔問題?U〕
6進法で5432と表される数を4進法に直した数字は何か。

この問題でまず、6の三乗×5＋6の二乗×4…という風に10進法に直してみて1244という数字が出てきました。
でも、どうやって4進法に直すか分かりません。

よろしくお願いします。
No.4079 - 2009/12/24(Thu) 17:40:55
☆ Re: 数記法？ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
KKKさん、こんばんは。

> 飛ばされる数字は
> 3.4.9.13…29.30〜49.53.54…89.90〜99.103105…129.130〜149
> の79個ですよね。
> では答えは単純に　150＋79をしたものが答えになるのですか？

79個が正しいかどうかは確認していませんが違います。
間違っていることは 150＋79＝229　という番号は使われないことからも
分かりますね。
使われない数がいくつあるかではなく使う数がいくつあるかを考えましょう。
まず1桁にいくつあるかを考え、
それを利用して2桁の数のうち
10,20,50,60,70,80台にいくつずつあるかを考えます。
これで1から88までにいくつ使われるかが分かりますね？
あとは分かると思います。

2つ目の問題についてはこれが解決してから新しいスレッドでお願いします。
No.4080 - 2009/12/24(Thu) 19:25:15
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