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n,rは整数で、0<=r<=4とするときn^5を５で割った余りがrならば、nを５で割った余りもrであることを示せ。ただし、二項定理
（a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5を利用せよ。
解説n=5k+rとするとn^5=(5k+r)^5=(5k)^5+5・(5k)^4r+10・(5k)^3r^2+10・(5k)^2r^3+5・(5k)r^4+r^5
=5(625k^5+625k^4r+250k^3r^2+50k^2r^3+5kr^4)+r^5
( )内は整数であるから、n^5を５で割った余りは、r^5を５で割った余りに等しい。
よって、0＾5=0,1^5=1,2^5=32=5・6+2,3^5=243=5・48+3,4^5=1024=5・204+4であるから、nを５で割った余りrに対し、n^5
を５で割った余りをr`とすると次のことがが成り立つ。
?@r=0ならばr`=0
?Ar=1ならばr`=1
?Br=2 ならばr`=2
?Cr= 3ならばr`=3
?Dr=4 ならばr`=4
?@〜?Dにおいて、仮定はすべての場合を知り尽くしており、また、結論はどの２つも同時に成り立つことはない。よって
転換法によって、?@〜?Dの逆は全て成り立つ。
すなわち、r=0,1,2,3,4に対し、n^5を割った余りがrならば、ｎを５で割った余りもrである。
まず、僕のこの証明の論理展開としては、まずrであることを示すには当然rを用いることが必要である。よってまずはnをrを使って表す。 そして題の通りに5乗し、５で割り、さらにrを使って表した式も同様に５で割りそれぞれ余りがrとなるのかを確認する。
ここまでが僕の考えられた論理展開です。
しかし、解答は少し、違います。正直、論理展開がさっぱりわかりません。 転換法をいうものはそもそも文部科学省指定の教科書に書かれていないため、調べることが不可能です。
転換法がわかっていないことを考慮に入れ、この問題の論理展開を説明していただきたいです。
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No.3985 - 2009/11/16(Mon) 00:59:23
| ☆ Re: この問題の論理展開を説明できる方へ / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師] | | |  | このはさん，こんにちは。
回答がたいへん遅くなり申し訳ありません。
この問題の前に，少し簡単な問題でウォーミングアップしてみましょう。
「nを自然数とする。n^2が奇数のとき，nは奇数？偶数？」
nが奇数であることは当たり前と感じると思うのですが，証明してみてください。
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No.4000 - 2009/11/20(Fri) 14:49:56 |
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