 | 右の図で，はじめＱにいて，さいころを投げるごとに
次の２つの規則に従って移動するものとする。
＜図＞Ｐ−Ｑ−Ｒ のようになってます
?@Ｑにいるとき、さいころの偶数の目が出たらＰに
奇数の目が出たらＲに移動する
?AＰあるいはＲにいるとき、さいころの３または６の目が出たらＱに移動し
それ以外の数の目が出たらその場にとどまる
ｎ回さいころを投げて移動した後にＰ、Ｑにいる確率を，それぞれp[n]、q[n]とする。
以下の問いに答えよ。
（１）p[1],p[2],q[1],q[2]を求めよ。
（２）q[n+1]をq[n]を用いて表せ。
（３）p[n]をq[n]を用いて表せ。
（４）p[n],q[n]を求めよ。
＜解答＞
(1) p[1]=1/2,p[2]=1/3,q[1]=0,q[2]=1/3
(一応、r[1]=1/2,r[2]=1/3も求めました）
(2) n+1回目にＱにくるには、n回目にＰかＲにいなければならないので漸化式を
立てました。
q[n+1]=(1/3)p[n]+(1/3)r[n]
p[n]+q[n]+r[n]=1より，r[n]=1-p[n]-q[n]から
q[n+1]=(-1/3)q[n]+1/3となりました。
(3) ここが分かりません。
いきなりp[n]とq[n]の関係式は出ないと思ったので，
同じような方針でp[n+1]とp[n]の関係式を求めようと思いました。
(2)と同様に考えて，p[n+1]=(2/3)p[n]+(1/2)q[n]となりました。
この先が分かりません。
よろしくお願いします
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No.3916 - 2009/10/19(Mon) 23:54:33
| ☆ Re: 確率漸化式 / 河童 ♂ [中国] [塾講師] | | |  | 美樹さん、こんばんは。河童です。
非常に良くできていますね。あと一歩です。頑張りましょう。
さて、問の(1)で、美樹さんは r[1] と r[2] も求めていますね。
このふたつが、それぞれ、p[1] と p[2] に等しくなっていることに気付きましたか？
これは偶然でしょうか。それとも必然でしょうか。
もしも必然なら、問の(2)の途中式にも使えそうですし（といっても、手間はほとんど変わりませんが）、問の(3)のヒントにもなりそうですね。
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No.3917 - 2009/10/20(Tue) 03:29:03 |
| ☆ Re: 確率漸化式 / 美樹 ♀ [関東] [高校3年生] | | | | 河童さん、こんばんは。
p[1]=r[1]，p[2]=r[2]より，p[n]=r[n]
p[n]+q[n]+r[n]=1から，2p[n]=1-q[n]
よって，p[n]=(1-q[n])/2でよろしいでしょうか？
(4)の漸化式は解けました！
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No.3927 - 2009/10/21(Wed) 23:22:48 |
| ☆ Re: 確率漸化式 / 河童 ♂ [中国] [塾講師] | | | | 美樹さん、こんにちは。
＞ p[1]=r[1]，p[2]=r[2]より，p[n]=r[n]
ここはまずいですね。
初項と第２項が等しいからといって、すべて等しいとは言えませんね。
ここは、『対称性より（あるいは対等性）』p[n]=r[n] と書けば十分です。
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No.3929 - 2009/10/22(Thu) 13:57:53 |
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