 | 高校数学オリンピックの問題です。
x,y,zは実数とし、xyz=1を満たし、x,y,z≠1である。このとき次の不等式を証明せよ。
(x^2/(1-x)^2)+(y^2/(1-y)^2)+(z^2/(1-z)^2)≧1
また、等号が成立する場合、そのようなx,y,zがすべて有理数であるような組は無数に存在することを示せ。
(1)x,y,z≠0だから、それぞれ割って、
さらに、「xt=1 ys=1 zu=1」とおけば、
「tsu=1」
1/(1-t)^2+1/(1-s)^2+1/(1-u)^2≧1を示せば良い。
また、0≦t,s,u≦2とすれば、与えられた式を満たすから、それ以外の範囲で考えればよいが、
すべて正であるとすると、tsu＞8で不可能だから、一般性を失わず、
「t＞2 s＜0 u＜0」としてよい。
また、「su=α」とおけば、α＜1/2であるがここで、
f(k)=1/(1-k)^2とおいて、f'(k)と、f'(α/k)を計算すれば、
s,uが動く範囲内で凸と凹の関数になることがわかるから、
s=uのとき最小であり、これを「s=u=-√α」とおき、
（もちろん二次関数の平方完成をつかった不等式変形でも可能）
これを上の式に代入し、同値関係などにより計算することにより、
(2√α-1)^2≧0となる。
たしかにこのとき、s=u=-1/2 t=4の時与えられた式の等号を満たす。
なのですが、後ろの問いがわかりません。
半径^2が有理数の円は有理解を無限に持つとおもうのですが、
そのあたりを使うのでしょうか？それとも技巧的に次の有理解を作るのでしょうか？
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No.3833 - 2009/09/24(Thu) 21:13:03
| ☆ Re: / p^n+p+1 [高校１年生] | | | | 追記です。
1/(1-t)=a 1/(1-s)=b 1/(1-u)=c
a^2+b^2+c^2=1
abc=(1-a)(1-b)(1-c)
において、a^2+b^2+c^2≧1は証明されているのだから、
この２上式を(a,b,c)平面に書いたとき、
これは題意のことが本当だとすれば、ある曲線上に２つの式の
接点が存在して、三次元だとわかりにくいから、たとえばcを固定して
同様に切り口のように考えれば、半径が１以下の円と下の式に
共有点ができるということに他ならないとおもうのですが、
これはあっているのでしょうか？仮にこれがあっていたとして、
cが有理数だったとして、a,bは有理数であるとは限りませんが、
そもそも平面に書き写せるのでしょうか。連立すると接していることを
調べるだけで一苦労で出来ないような気がします。
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No.3836 - 2009/09/24(Thu) 22:23:03 |
| ☆ Re: / 一ノ谷 [社会人] | | |  | p^n+p+1 さん，こんにちは．一ノ谷です．
x/(1-x)=a などでも同様ですが
＞ 1/(1-t)=a 1/(1-s)=b 1/(1-u)=c
に気付いたなら，この置き換えのもと
stu=1
⇔(a-1)(b-1)(c-1)=abc
⇔ab+bc+ca+1=a+b+c
⇔a^{2}+b^{2}+c^{2}-1=(a+b+c-1)^{2}…（１）
であり，（１）が0となる条件は
a^{2}+b^{2}+c^{2}=1，a+b+c=1…（２）
なので，例えば，k を任意の有理数として a=k(b-1) と（２）とを連立すれば
a=-k/(1+k+k^{2})，b=(k+k^{2})/(1+k+k^{2})，c=(1+k)/(1+k+k^{2})
となりますね．
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No.3838 - 2009/09/25(Fri) 12:20:11 |
| ☆ Re: / p^n+p+1 [高校１年生] | | | | わかりました
まさか、こういう変形をするとは。
でも式を見てみるととても納得です。
ありがとうございます。
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No.3839 - 2009/09/26(Sat) 10:11:12 |
| ☆ Re: / p^n+p+1 [高校１年生] | | | | もう一問、他に解がないか不安になってしまっています。
他に解があるならそれを、ないのならどのようにすべて求めたと
判断すればよいかおしえてください。
x,y,z,w∈R wx=yzを満たし、
(f(w)^2+f(x)^2)/(f(y^2)+f(z^2))=(w^2+x^2)/(y^2+z^2)
とする。
このときf:(0,∞)→(0,∞)なる関数fを求めよ。
w=x=y=z=1とおけば、
f(1)=1がわかる。
つぎに,
w=1 x=a y=√a z=√a a>0として式を変形すると、
(f(a)-a)(1-1/af(a))=0
とかけるから、
f(a)=a,1/a
が求める解である。
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No.3845 - 2009/09/26(Sat) 20:28:19 |
| ☆ Re: / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞(f(a)-a)(1-1/af(a))=0
つまり
∀a(a＞0→(f(a)=aまたはf(a)=1/a))…（１）
であっても
∀a(a＞0→f(a)=a)または∀a(a＞0→f(a)=1/a)…（２）
とは限りません（f(2)=2,f(3)=1/3のようなfでも（１）を満たします）．結果的に本問では（２）となるのですが，それを示すには（１）だけでは不充分で，最初の条件から，例えば
∀a(a＞0→f(a)^2=f(a^2))
そして
∀a∀b(a＞0,b＞0→(f(a)+f(b))/(a+b)=(f(ab)+1)/(ab+1))
を得て
f(a)=a,f(b)=1/b,a≠1,b≠1
となるa,bが存在しないことを確かめるといった流れになります．
なお，この掲示板では１スレッド１問なので，質問があれば新スレッドを立てて下さい．
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No.3860 - 2009/09/27(Sun) 23:33:44 |
| ☆ Re: / p^n+p+1 [高校１年生] | | | | 長くなってしまいますね＾＾；次からは他のスレッドを立てます。
なるほど、確かにその関数でも条件を満たしてしまいますね。
なにやら不穏な感じがしたのですがこれは、
微分方程式あたりの脆さを知っていないと注意出来なさそうです。
これから気をつけることにします。
（いつも別なこういうことが出てくるところがこわいですが＾＾；）
これでこの問題が完璧に解けた感じがします＾＾
ありがとうございます。
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No.3861 - 2009/09/28(Mon) 09:45:19 |
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